第08讲 一元二次方程的应用（5大知识点+10大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

第08讲 一元二次方程的应用（5大知识点+10大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握解一元二次方程应用题的一般步骤； 2．掌握一元二次方程应用题的常见类型做法； 3．学会运用一元二次方程解决生活中的实际问题。 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 知识点02 一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 知识点04 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 知识点05 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 考点一：传播问题 例1．流感是一种传染性极高的疾病，我们要加强预防和治疗．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为多少？ 【答案】9 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为，则第一轮传染后的感染人数为，第二轮传染的人数为，根据两轮共有人患流感建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 根据题意得, 即， ∴， ∴或(舍去)， 答：每轮传染中平均一个人传染的人数为9． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立方程． 【变式1-1】某地方出现流感，开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． (1)求每轮传染中，平均一个人传染了多少个人？ (2)如果在第三轮传染开始前没有控制，仍保持相同的传播速度，则经三轮传染后共有__________人患了流感． 【答案】(1)5个人 (2)216 【分析】（1）设平均一人传染了人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可； （2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 解得：或（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：人， ∴经三轮传染后共有216人患了流感． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键；本题的等量关系是两轮传染后共有36人患了流感． 【变式1-2】为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式1-3】有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中一个人传染了x个人． (1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示） (2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病的情况发生，并说明理由． 【答案】(1) (2)第二轮传染后不会有63人患病的情况发生 【分析】（1）根据每轮的传染中平均一个人传染了x个人，可得答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，进而即可判断是否会有63人患病的情况． 【详解】（1）解：第一轮被感染的人数为x，第二轮被传染上流感人数是， 故答案为：； （2）解：经过两轮传染后不会有63人患病的情况发生，理由如下： 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∵不为正整数， ∴第二轮传染后不会有63人患病的情况发生． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一元二次方程是关键． 考点二：增长率问题 例2.交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据九月份售出300个，十一月份售出507个，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【变式2-1】“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，校外活动是课堂教学的延伸和补充，它帮助同学们实现理论和实践的结合，据我校对今年毕业班学生三年来参加的市级以上各项活动获奖情况的统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两年中获奖人次的平均年增长率为，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这两年中获奖人次的平均年增长率为，则八年级获奖人次为，九年级获奖人次为， 则可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：这两年中获奖人次的平均年增长率为． 【变式2-2】某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 【答案】进馆人次的月平均增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，根据到第三个月进馆人次，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次， 根据题意得：， 化简得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：进馆人次的月平均增长率为． 【变式2-3】某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． (1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利 10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)每千克水果应涨价5元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． （1）设每次降价的百分率为m，则两次降价后为，再列出方程求解即可； （2）设每千克涨价x元， 由题意得：，再解方程即可． 【详解】（1）解：设每次下降百分率为m， 根据题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克涨价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， 答：每千克水果应涨价5元． 考点三：与图形有关的问题 例3.某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为米，宽为米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少？    【答案】人行通道的宽度是2米． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设人行道的宽度为x米，根据两块相同的矩形绿地的面积之和为平方米，列出一元二次方程，再求解方程即可得出答案． 【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得： ， 整理得，， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：人行通道的宽度是2米． 【变式3-1】如图，宽为、长为的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积为，求铺设的石子路的宽度． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设铺设的石子路的宽度为，再列式计算出结果即为本题答案． 【详解】解：设铺设的石子路的宽度为， ∵宽为、长为的矩形花坛，种植花卉的面积为， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∴铺设的石子路的宽度为． 【变式3-2】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形的周长为，面积为，矩形的周长为，面积为，可得矩形是矩形的“减半”矩形． 任务： 已知一个矩形的长为6，宽为1，它是否存在“减半”矩形（“减半”矩形的长大于宽）？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，长为2，宽为 【分析】设“减半”矩形的长为，则宽为，根据题意可得，解方程即可求出答案． 【详解】解：存在，理由如下： 设“减半”矩形的长为，则宽为， 根据题意，可得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，故舍去， 长为6，宽为1的矩形存在“减半”矩形，其“减半”矩形的长为2，宽为． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用（与图形有关的问题），因式分解法解一元二次方程，代数式求值等知识点，理解题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 【变式3-3】学校停车场车位布局如图所示．已知矩形停车场的长为，宽为，共有五个等宽矩形停车区，其总面积为，其余部分是等宽通道，设通道宽． (1)用含的代数式表示：停车区宽为______，停车区的长为______． (2)停车场的通道宽为多少米？ 【答案】(1) (2)5m 【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据图示中，矩形停车场的宽为，是停车区与两条通道的宽的和，由此列式即可求解； （2）根据面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得停车区的宽为：， 停车区的长为：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 解得（舍去）， ∴停车场的通道宽为5米． 考点四：数字问题 例4.一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据题意，设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，由此列式求解即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意，得，整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， ， 这个两位数为． 【变式4-1】一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【答案】16或49 【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】设一位数为，则两位数为． 则根据题意可得：，   整理得：． 分解得：， 解得：，． 答：这个两位数为16或49． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 【变式4-2】直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由． 【答案】存在五个连续正整数，它们分别为： 【分析】假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，再根据题意，得出，解出然后再根据题意，得出符合题意的的值，进而即可得出第一个正整数，再通过计算即可得出这五个正整数． 【详解】解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、， ∴可得：， 解得：或， ∵这五个数为正整数， ∴， ∴，，，， ∴这五个正整数为：， ∴存在五个连续正整数，它们分别为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在设出这五个正整数，再找到等量关系准确列出方程． 【变式4-3】2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由． 【答案】最小的数是5，理由见解析 【分析】设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)， 由题意得x(x+8)=33， 解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合实际舍去； 由题意得x(x+8)=65， 解得x1=-13（舍去），x2=5， 所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 考点五：营销问题 例5.某商场经销的某种商品，每件成本为元，经市场调研，当售价为元时，平均每周可销售件；售价每增加元，平均每周销售量将减少件． (1)如果涨价后商场销售这批商品平均每周盈利元，那么每件商品的售价为多少元？ (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利是否可以达到元？请说明理由． 【答案】(1)每件商品的售价为元 (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1）设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． （2）设每件商品的售价为y元，则每件的利润为元，销售量为(件)根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 答：每件商品的售价为元； （2）涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元，理由如下： 设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件， 依题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元． 【变式5-1】某品牌服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，调查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件． (1)每件服装降价2元后，可售出商品________件； (2)每件服装降价元后，可售出商品________件（用含的代数式表示）； (3)如果每天要赢利2100元，且使消费者得到最大优惠，每件应降价多少元？ 【答案】(1)42 (2) (3)每件应降价30元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程解实际问题的方法，理解数量关系，正确列式是解题的关键． （1）根据每件降价1元，则每天可多售6件，可得每件服装降价2元，则每题可多售出12件，由此即可求解； （2）根据（1）中的信息进行计算即可； （3）每件服装降价元，可售出商品件，则每件衣服的盈利为元，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵每件降价1元，则每天可多售6件， ∴每件服装降价2元，则每题可多售出12件， ∴（件）， ∴降价2元，可售出商品42件， 故答案为：42； （2）解：根据题意，每件服装降价元后，可售出商品件， 故答案为：； （3）解：根据（2）可得，每件服装降价元，可售出商品件，则每件衣服的盈利为元， ∴，整理得，， ∴， 解得，， ∵使消费者得到最大优惠， ∴每件应降价30元． 【变式5-2】某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱元，若按每箱元出售，则每天可销售箱．现准备提价销售，经市场调研后发现：每箱每提价元，每天的销量就会减少箱．设该水果售价为每箱元． (1)用含的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱；（化为最简形式） (2)既要考虑经销商的利润，保证经销商每天可获得元利润，又要让利于消费者，则这批水果应按每箱多少元销售？ 【答案】(1) (2)应按每箱元销售 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，找出等量关系列一元二次方程是解题的关键； （1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量； （2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，即可确定的值． 【详解】（1）解：由题意得：（箱）， 故答案为：； （2）解：依题意得，， 解得，， ∵要让利于消费者， ∴． 答：若超市销售该水果每天想要获得元的利润，则应按每箱元销售． 【变式5-3】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价5元，当天可获利多少元？ (2)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 【答案】(1)1800元 (2)每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元 【分析】（1）根据“盈利=单件利润销售数量”即可得出结论； （2）根据“盈利=单件利润销售数量”即可列出关于 x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解： （元） 答：若某天该商品每件降价5元，当天可获利1800元． （2）由题意得： 化简得：，即， 解得： ∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴， 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元． 考点六：动态几何问题 例6.如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求：    (1)几秒后，的面积等于 (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用： （1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解． （2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， ∴， ∴的面积， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去， ∴； （2）解：不能，理由如下： 设秒后，的面积等于， 同（1）得：的面积， 整理，得：， ∵， ∴方程无解， ∴的面积不能等于． 【变式6-1】如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据路程速度时间得： ，， 则； 故答案为：． （2）解：∵的面积等于四边形的面积的 ∴面积等于面积的 ∴ 即 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 【变式6-2】如图，在中，，，，点P由C点出发以的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．求经过几秒的面积为的面积的？ 【答案】经过2秒或4秒，的面积为的面积的 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设经过x秒的面积为的面积的， 由题意得列出方程求解即可． 【详解】解：设经过x秒的面积为的面积的， 由题意得：，， 则， 解得：或． 答：经过2秒或4秒，的面积为的面积的． 【变式6-3】如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动．同时，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，当一个动点到达终点，另一动点随之停止运动．    (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？ 【答案】(1)1秒 (2)不能，理由见详解 【分析】（1）设运动是t秒，根据题意得：，，根据，得到关于t的方程，即可求解； （2）设运动是t秒，根据题意得：，，根据，得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：设运动是t秒， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， 解得：或4（不符合题意，舍去）． 所以1秒时，的面积等于； （2）解：设运动是t秒， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则原方程无解． 所以的面积不能等于． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 考点七：工程问题 例7.“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400 【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键． 【变式7-1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 【变式7-2】全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 【变式7-3】2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】（1）20%；（2）①4条；②不能，理由见解析． 【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论； ②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万个，即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论． 【详解】解：（1）设每天增长的百分率为x， 依题意，得：500（1+x）2=720， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：每天增长的百分率为20%； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天， 依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500， 解得：m1=4，m2=25， 又∵在增加产能同时又要节省投入， ∴m=4． 答：应该增加4条生产线； ②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天， 依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000， 化简得：a2-29a+270=0， ∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解． ∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 考点八：行程问题 例8.运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 【变式8-1】小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 【变式8-2】在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【变式8-3】月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 考点九：图表信息题 例9乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式9-1】如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式9-2】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 【变式9-3】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 考点十：其他问题 例10.作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 【答案】(1)设应邀请6支球队参加比赛 (2)实际共比赛22场 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设应该邀请支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛， 由题意得： 解得：，（不合题意，舍去）． 答：设应邀请6支球队参加比赛． （2）解：（场） 答：实际共比赛22场． 【变式10-1】阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 【答案】(1) (2)36场 (3)16支 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数与线段上的点数的关系式． （1）线段的总条数与线段上的点数的关系式； （2）先将代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数6即可； （3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 故答案为：； （2）解：每小组4个队单循环赛一共比赛：（场， 共6个组，（场． 答：第一轮共要进行36场比赛； （3）解：设共有几支球队参加比赛，根据题意得： ， 解得或（舍去）． 答：共有16支球队参加比赛． 【变式10-2】为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？ 【答案】20本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题中等量关系列出方程是解题的关键．设购买笔记本x本，钢笔为支，根据“笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元”列出方程求解即可． 【详解】解：设购买笔记本x本，钢笔为支，由题意得， 解得：． 答：本次活动中学校购买了20本笔记本． 【变式10-3】通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 【答案】(1)；；；二 (2)10； 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． （1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题． 【详解】（1）解：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ，方案二效果更好； 故答案为：，，；二； （2）解：， 当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好， 第一次用 10斤清水，漂洗效果最好， 二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 故答案为：二，． 1．如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，合理列出方程是解题的关键． 设小道的宽为米，则个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意知：． 故选：D． 2．宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元．则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数即可得解，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 【详解】∵房价定为x元，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用， ∴每间房的利润为元， ∵当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房， ∴可住间房， ∵宾馆当天的利润为10890元， ∴． 故选：A． 3．如图，矩形展牌的长、宽分别为和，展牌内四周有等宽边框，边框围成的矩形面积是展牌面积的四分之三、设边框宽为，则满足的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意表示出边框围成的矩形的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程． 【详解】解：设边框宽为， 所以整个挂画的长为，宽为， 根据题意，得：， 故选：C． 4．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ）尺． A．6 B．8 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程及勾股定理的应用，设门高是x尺，则门的对角线即竿高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设门高是x尺，则门的对角线即竿高为尺，门宽为尺， 由勾股定理得：， 即， 解得或（舍）， 故选B． 5．如图，小程爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则的长为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键． 设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 由题意得 ， 解得：或， 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； 当时，平行于墙的一边的长为，符合题意； ∴该矩形场地长为， 故选：D． 6．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中找到和的等量关系是解题的关键．根据图中大、小正方形的面积可以计算大、小正方形的边长，找到两直角边相差1，两直角边平方和等于斜边的平方的等量关系，从而求解． 【详解】解：设图中直角三角形的边长分别为、， ∵图中大、小正方形的面积为13和1，则大、小正方形的边长为、， 则、满足， ，代入 解得， ， 故较长的直角边为3， 故答案为：3． 7．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为 米． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米，根据停车位总占地面积为288平方米，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 即车道的宽度为6米． 故答案为：6． 8．小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为 ； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元二次不等式的应用 （1）设，则，根据围成的菜园面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）根据围成面积比大的菜园，可列出关于a的一元二次不等式，解之可得出a的取值范围，结合墙可利用的最大长度为，即可确定a的取值范围． 【详解】解：（1）设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴当围成的菜园面积为时，的长为， 故答案为：6； （2）根据题意得：， 即， 解得：， 又∵墙可利用的最大长度为， ∴， ∴a的范围为． 故答案为：． 9．园林绿化处有一块长、宽的矩形空地．现计划在矩形空地的中间设计横竖道路，各与矩形的一条边平行，且横竖道路的宽度比为，余下的种草坪，其中草坪的面积占这块空地面积的四分之一，若设横向道路的宽为，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设设横向道路的宽为，，则纵向道路的宽度为，余下的部分的面积等同于长为、宽为的矩形的面积，结合草坪的面积占这块空地面积的四分之一，可列出关于的一元二次方程，即可求出结论． 【详解】解：设横向道路的宽为，，则纵向道路的宽度为，余下的部分的面积等同于长为、宽为的矩形的面积， 根据题意得：． 故答案为：． 10．我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程的正数解的步骤为： （1）将方程变形为； （2）构造如图1所示的大正方形，其面积是，其中四个全等的矩形面积分别为，中间的小正方形面积为； （3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即； （4）由此可得方程：，则方程的正数解为． 根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程的正数解的构图是 （只填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、矩形面积的计算、正方形面积的计算等知识，正确理解求一元二次方程正数解的几何解法是解题的关键．按照例题正数解的步骤：方程可变形为，即可得出方程，则方程的正数解为，再结合图形判断即可． 【详解】方程可变形为， 构造的大正方形，其面积是， 其中四个全等的矩形面积分别为，中间的小正方形面积为； 大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即； 由此可得方程：， 则方程的正数解为， 能够得到方程的正数解的构图是③， 故答案为：③． 11．如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的无盖的方盒的底面积为，那么铁皮各角应该切去的正方形的边长是多少？ 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，设切去的正方形的边长为，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设正方形的边长为，则盒子底的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵当时，，，不合题意，舍去， ∴． 答：铁皮各角应该切去的正方形的边长是． 12．今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元． (1)该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？ (2)9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋•礼迎国庆”的促销活动，A礼盒按原价八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，B礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，B款礼盒的促销价应定为多少元？ 【答案】(1)该超市9月16日A礼盒的销量是200盒，B礼盒的销量是150盒 (2)B款礼盒的促销价应定为150元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒，利用销售总额=销售单价×销售数量，结合“该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设B款礼盒的促销价应定为m元，则9月17日B款礼盒的销售量为（）盒，根据9月17日超市的销售额达到54000元，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市9月16日A礼盒的销量是200盒，B礼盒的销量是150盒； （2）解：设B款礼盒的促销价应定为m元，则8月17日B款礼盒的销售量为盒， 根据题意得：， 化简得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：B款礼盒的促销价应定为150元． 13．在北师大九年级下册教材第页“二次函数”的学习中引入了这样一个情景：某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．请同学们进一步探索下面的问题： (1)假设果园多种了棵橙子树，直接写出平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系； (2)如果果园橙子的总产量要达到个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程，解题的关键是根据题意，找出等量关系，并列出函数关系式； （1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子列式即可； （2）根据题意列出方程，求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）根据题意，得， 解得， (不合题意，舍去)， 答：应该多种棵橙子树； 14．某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据平均增长率的等量关系：，列出方程进行求解即可； （2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设当商品降价元时，商品获利元， 根据题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：当商品降价元时，商场获利元． 15．如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)秒 (2)的面积不能等于； (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程求解； （2）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程，根据方程有无实数根进行判断即可； （3）设经过x秒，的长度等于，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设后，，. 根据三角形的面积公式列方程， 得：. 解得：，. 当时，，不合题意，舍去. 所以秒后，的面积等于； （2）的面积不能等于， 理由：根据三角形的面积公式列方程， 得：， 整理，得：. ∵， ∴没有实数根， 所以的面积不能等于. （3）根据勾股定理得到，， 得：. 解得：，（不符合题意，舍去）. 所以后，的长度等于． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 一元二次方程的应用（5大知识点+10大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握解一元二次方程应用题的一般步骤； 2．掌握一元二次方程应用题的常见类型做法； 3．学会运用一元二次方程解决生活中的实际问题。 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 知识点02 一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 知识点04 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 知识点05 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 考点一：传播问题 例1．流感是一种传染性极高的疾病，我们要加强预防和治疗．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为多少？ 【变式1-1】某地方出现流感，开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． (1)求每轮传染中，平均一个人传染了多少个人？ (2)如果在第三轮传染开始前没有控制，仍保持相同的传播速度，则经三轮传染后共有__________人患了流感． 【变式1-2】为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【变式1-3】有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中一个人传染了x个人． (1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示） (2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病的情况发生，并说明理由． 考点二：增长率问题 例2.交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【变式2-1】“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，校外活动是课堂教学的延伸和补充，它帮助同学们实现理论和实践的结合，据我校对今年毕业班学生三年来参加的市级以上各项活动获奖情况的统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率． 【变式2-2】某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 【变式2-3】某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． (1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利 10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 考点三：与图形有关的问题 例3.某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为米，宽为米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少？    【变式3-1】如图，宽为、长为的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积为，求铺设的石子路的宽度． 【变式3-2】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形的周长为，面积为，矩形的周长为，面积为，可得矩形是矩形的“减半”矩形． 任务： 已知一个矩形的长为6，宽为1，它是否存在“减半”矩形（“减半”矩形的长大于宽）？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】学校停车场车位布局如图所示．已知矩形停车场的长为，宽为，共有五个等宽矩形停车区，其总面积为，其余部分是等宽通道，设通道宽． (1)用含的代数式表示：停车区宽为______，停车区的长为______． (2)停车场的通道宽为多少米？ 考点四：数字问题 例4.一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 【变式4-1】一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【变式4-2】直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由． 考点五：营销问题 例5.某商场经销的某种商品，每件成本为元，经市场调研，当售价为元时，平均每周可销售件；售价每增加元，平均每周销售量将减少件． (1)如果涨价后商场销售这批商品平均每周盈利元，那么每件商品的售价为多少元？ (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利是否可以达到元？请说明理由． 【变式5-1】某品牌服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，调查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件． (1)每件服装降价2元后，可售出商品________件； (2)每件服装降价元后，可售出商品________件（用含的代数式表示）； (3)如果每天要赢利2100元，且使消费者得到最大优惠，每件应降价多少元？ 【变式5-2】某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱元，若按每箱元出售，则每天可销售箱．现准备提价销售，经市场调研后发现：每箱每提价元，每天的销量就会减少箱．设该水果售价为每箱元． (1)用含的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱；（化为最简形式） (2)既要考虑经销商的利润，保证经销商每天可获得元利润，又要让利于消费者，则这批水果应按每箱多少元销售？ 【变式5-3】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价5元，当天可获利多少元？ (2)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 考点六：动态几何问题 例6.如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求：    (1)几秒后，的面积等于 (2)的面积能否等于？说明理由． 【变式6-1】如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【变式6-2】如图，在中，，，，点P由C点出发以的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．求经过几秒的面积为的面积的？ 【变式6-3】如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动．同时，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，当一个动点到达终点，另一动点随之停止运动．    (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？ 考点七：工程问题 例7.“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【变式7-1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【变式7-2】全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【变式7-3】2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 考点八：行程问题 例8.运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【变式8-1】小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【变式8-2】在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【变式8-3】月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 考点九：图表信息题 例9乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【变式9-1】如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【变式9-2】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【变式9-3】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 考点十：其他问题 例10.作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 【变式10-1】阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 【变式10-2】为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？ 【变式10-3】通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 1．如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元．则有（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形展牌的长、宽分别为和，展牌内四周有等宽边框，边框围成的矩形面积是展牌面积的四分之三、设边框宽为，则满足的方程是（　　） A． B． C． D． 4．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ）尺． A．6 B．8 C．12 D．13 5．如图，小程爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则的长为（   ） A．或 B．或 C． D． 6．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为 ． 7．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为 米． 8．小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为 ； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为 ． 9．园林绿化处有一块长、宽的矩形空地．现计划在矩形空地的中间设计横竖道路，各与矩形的一条边平行，且横竖道路的宽度比为，余下的种草坪，其中草坪的面积占这块空地面积的四分之一，若设横向道路的宽为，可列方程为 ． 10．我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程的正数解的步骤为： （1）将方程变形为； （2）构造如图1所示的大正方形，其面积是，其中四个全等的矩形面积分别为，中间的小正方形面积为； （3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即； （4）由此可得方程：，则方程的正数解为． 根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程的正数解的构图是 （只填序号）． 11．如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的无盖的方盒的底面积为，那么铁皮各角应该切去的正方形的边长是多少？ 12．今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元． (1)该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？ (2)9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋•礼迎国庆”的促销活动，A礼盒按原价八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，B礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，B款礼盒的促销价应定为多少元？ 13．在北师大九年级下册教材第页“二次函数”的学习中引入了这样一个情景：某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．请同学们进一步探索下面的问题： (1)假设果园多种了棵橙子树，直接写出平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系； (2)如果果园橙子的总产量要达到个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树． 14．某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 15．如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$