第07讲 一元二次方程的解法（5大知识点+11大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

第07讲 一元二次方程的解法（5大知识点+11大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握一元二次方程的解法； 2．掌握一元二次方程根的判别式； 3．掌握一元二次方程的解法及其应用。 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点03 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 考点一：直接开方法解一元二次方程 例1．方程的两个根是（   ） A．， B． C． D．， 【变式1-1】方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 【变式1-3】一元二次方程的根是 ． 【变式1-4】解方程：． 考点二：直接开方法解一元二次方程的应用 例2.关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【变式2-1】若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【变式2-2】在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【变式2-3】方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【变式2-4】若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2-5】提出问题： 我们把形如（其中a是常数且）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如：，，…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程的思路是：由，，可得，． 解决问题： (1)填空：解方程：． 解题思路：我们只要把看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得或_______． 分别解这两个一元一次方程，得_____，______． (2)解方程． 考点三：配方法解一元二次方程 例3.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 【变式3-3】下面是用配方法解关于的一元二次方程的具体过程，． 解：第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 ． 【变式3-4】解方程：． 考点四：配方法的应用 例4.已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 【变式4-1】已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式4-2】已知实数满足，则代数式的最小值等于 ． 【变式4-3】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【变式4-4】阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）； ， ， 代数式的最小值为； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值； 【拓展提高】（2）求的最大值． 考点五：公式法解一元二次方程 例5.若用公式法解关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A．5、6、 B． C． D． 【变式5-2】用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【变式5-3】用公式法解方程，计算 ． 【变式5-4】用公式法解一元二次方程： 考点六：根据判别式判断一元二次方程根的情况 例6.方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【变式6-1】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【变式6-2】一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【变式6-3】一元二次方程根的判别式的值是 ，解是 ． 【变式6-4】已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 考点七：根据一元二次方程根的情况求参数 例7.若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则(    ) A． B．且 C． D．且 【变式8-2】若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 【变式8-3】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【变式8-4】已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 考点八：根的判别式综合应用 例8.已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的负实根 D．有两个不相等的正实根 【变式9-1】对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【变式9-2】已知关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是 ． 【变式9-3】已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ． 【变式9-4】已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【变式9-5】已知一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 考点九：因式分解解一元二次方程 例9.方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】一元二次方程的解是（  ） A． B． C．或 D．或 【变式10-2】方程的解为 ． 【变式10-3】一元二次方程的解是 ． 【变式10-4】解方程： (1) (2) 考点十：换元法解一元二次方程 例10.若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【变式11-1】若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（    ） A．2026 B．2024 C．2023 D．2025 【变式10-2】如果，那么 ． 【变式10-3】方程，若设， 则原方程可化为关于y的方程是： 【变式10-4】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 考点十一：一元二次方程的新定义解法 例11.对于实数a， b定义运算“⊗”为∶ 例如： 则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式11-1】定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式11-2】定义新运算“*”，规则：，如，．若的两根为，且，则 ． 【变式11-2】定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则 【变式11-4】对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【变式11-5】我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 1．若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定 2．若关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 3．定义新运算，对于任意实数，规定，若是关于的方程，则它的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．若等腰一条边的长度为1，另外两条边的长度分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，那么的周长是（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．不确定 6．若代数式与的值互为相反数，则整数的值为 ． 7．方程总有两个相等的实数根，则t的值为 8．有四组一元二次方程：和；和；和；和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 9．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 10．为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； 故原方程的解为． 以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为 ． 11．解方程： (1)； (2)（用公式法）． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何值，此方程总有两个实根． (2)若直角三角形的斜边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值． 13．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”． 根据所获信息解决下列问题： (1)以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号） ①，②； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (3)若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”． 14．计算 (1)（配方法）； (2)； (3)关于x的一元二次方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若m取最大整数，求此方程的根． 15．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 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即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 考点一：直接开方法解一元二次方程 例1．方程的两个根是（   ） A．， B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 将方程整理为，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 整理，得：， 两边开平方，得：， 解得：，， 故选：． 【变式1-1】方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：开平方，得， 解得，． 故选：B． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程，涉及平方根的性质，利用平方根的含义解方程，根据非负数才有平方根可得答案． 【详解】解： ∵方程可以用直接开平方法求解， ∴． 故答案为． 【变式1-3】一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题可以利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或 解得：，， 故答案为：，． 【变式1-4】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，化简得到，再直接开方即可． 【详解】解：移项得：， 开平方得：， 则或， 解得：． 考点二：直接开方法解一元二次方程的应用 例2.关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义及其解法，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．根据方程解的定义，将代入求解，再结合一元二次方程定义确定即可得出结论． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ，解得， 关于x的一元二次方程有一个根是1， ， 化简得，解得， 综上所述：， 故选：A． 【变式2-1】若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【变式2-2】在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义下，根据新定义得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2-3】方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答，熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键． 【详解】方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-4】若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 【变式2-5】提出问题： 我们把形如（其中a是常数且）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如：，，…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程的思路是：由，，可得，． 解决问题： (1)填空：解方程：． 解题思路：我们只要把看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得或_______． 分别解这两个一元一次方程，得_____，______． (2)解方程． 【答案】(1)－5，， (2)， 【分析】（1）根据乘方运算求解即可； （2）根据题中给出的解题思路求解即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵，解得 ，解得 故答案为：－5，，． （2）（2）解：两边同时除以3得：． 根据乘方运算，得：或 分别解这两个一元一次方程，得， 【点睛】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正确理解题意． 考点三：配方法解一元二次方程 例3.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选A． 【变式3-1】将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解：， 二次项化系数为1得：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：A． 【变式3-2】用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．对一元二次方程移项得，再对方程两边同时加上1，利用完全平方公式配方得，从而得出a、b的值，代入数据即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 将转化为的形式， ，， ． 故答案为：1． 【变式3-3】下面是用配方法解关于的一元二次方程的具体过程，． 解：第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 ． 【答案】④①③② 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤：二次项系数化为1，移项，配方，求解，进行解答即可． 【详解】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数； 第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； 第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方； 第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程； 故答案为：④①③②． 【变式3-4】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 考点四：配方法的应用 例4.已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据，可以得到，然后可以得到，进而得到，再设，即可得到，然后即可写出的最大值，从而可以得到的最大值．本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的最大值． 【详解】解：， ， ， ， 设，则， 则， 的最大值为， 即的最大值为， 故选：B． 【变式4-1】已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法，利用完全平方公式进行计算，能求出是解此题的关键．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，求出，再根据题意得出，，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成的形式， ∴，， ∴，， 即印刷不清的数字是2， 故选：A． 【变式4-2】已知实数满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：， ， 则原式化为：， ， 代数式的最小值等于， 故答案为：11． 【变式4-3】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【答案】 3 小 3 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3． 故答案为：3，小，3． 【变式4-4】阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）； ， ， 代数式的最小值为； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值； 【拓展提高】（2）求的最大值． 【答案】（1）3；（2）5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据二次项与一次项的特点凑成完全平方式，利用平方数的非负性是解题的关键； （1）根据，凑成完全平方式，得到，利用平方数的非负即可求得最小值； （2）根据，凑成完全平方式，得到，利用平方数的非负即可求得最大值． 【详解】解：（1） ； ∵， ∴， ∴的最小值为3； （2） ； ∵， ∴， ∴的最大值为5． 考点五：公式法解一元二次方程 例5.若用公式法解关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式得出a，b，c的值，即可得出答案． 【详解】解：∵的一元二次方程的根为 ∴，，， ∴这个方程是， 故选：C． 【变式5-1】用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A．5、6、 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将化为一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：将化为一元二次方程的一般形式为：， a、b、c的值分别是， 故选：C． 【变式5-2】用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 【变式5-3】用公式法解方程，计算 ． 【答案】13 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一般式，直接把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：13 【变式5-4】用公式法解一元二次方程： 【答案】 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，先求出，再利用求根公式直接求解即可． 【详解】解： 考点六：根据判别式判断一元二次方程根的情况 例6.方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式，计算一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【变式6-1】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵，即 ∴，，， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式6-2】一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据所给方程确定a、b、c的值，再根据进行计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】一元二次方程根的判别式的值是 ，解是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，直接求出一元二次方程根的判别式的值和运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：方程中， ∴； ， ， ∴， 故答案为：1；． 【变式6-4】已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根的判别式和解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． （1）先根据根的判别式求出，再由判别式证明即可； （2）把代入方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）已知方程， 其中， ， 对任意实数m，方程总有两个实数根． （2）当时， 原式变为， 整理得， 则或， 解得． 考点七：根据一元二次方程根的情况求参数 例7.若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根的判别式进行求解． 先根据一元二次方程的根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ，即， 解得：， 的取值范围是， 故选：C． 【变式8-1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则(    ) A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义；利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 又， ， 且， 故选：D． 【变式8-2】若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据负数没有平方根，解答即可． 本题考查了直接开平方法解方程，熟练掌握解方程的条件是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式．先根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】 解：根据题意得， 解得， 即的取值范围是． 故答案为：． 【变式8-4】已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键． （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程。则可求得的取值范围． 【详解】（1）根据题意，得， ， ； （2）是方程的一个实数根， ， 则， ， ， ， 解得或（舍） ． 考点八：根的判别式综合应用 例8.已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的负实根 D．有两个不相等的正实根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，三角形三边的关系，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．先求出根的判别式，再由三角形三边关系确定出判别式的符号，最后由根与系数的关系确定根的符号即可． 【详解】解：在此方程中， ∵a，b，c是三条边的长， ∴，即， ∴， 故方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是0，两根的积是0， ∴方程的根的情况是有两个不相等的负根． 故选：C． 【变式9-1】对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，先利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可． 【详解】， ， 方程化为一般式为， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故选：A． 【变式9-2】已知关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求字母系数取值范围．熟练掌握一元二次方程有解，则是银题的关键．注意分类讨论． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解，求解即可． 【详解】解：当时，原方程为：，则方程为一元一次方程，有一个实数解； 当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解， 解得：， 综上，关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是． 故答案为：． 【变式9-3】已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质．由一元二次方程根的判别式先求解，根据一元二次方程的解的定义得出代入代数式，进而即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 设此方程的一个实数根为， ， ， ， ，即． 故答案为：． 【变式9-4】已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到是非负数即可． （2）分两种情况讨论． 【详解】（1）证明：， ∴无论k取何值，方程总有实根； （2）解：①当时，则，即， ∴， 方程可化为， ∴， 而， ∴； ②当， ∵． ∴， ∴或， ∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴不满足三角形三边的关系，舍去； 综上所述，的周长为5． 【变式9-5】已知一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1) (2)m的值为或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式进行解答即可； （2）先根据题意得出，解方程，得出或，然后分别代入求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根 ∴， 解得：． （2）解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， ∴， 解得：或， 当时，得：； 当时，得：； 综上分析可知m的值为或． 考点九：因式分解解一元二次方程 例9.方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 【变式10-1】一元二次方程的解是（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．由已知方程得出或，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 则或， 故选：C． 【变式10-2】方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先把原式整理得，再运用因式分解法解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 解得，． 故答案为：，． 【变式10-3】一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解求一元二次方程，掌握因式分解的计算是解题的关键． 运用移项，提取公因式进行因式分解，整理得，，由此即可求解． 【详解】解： 移项得，， 提取公因式得，， 整理得，， ∴或， 解得，， 故答案为： ． 【变式10-4】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 考点十：换元法解一元二次方程 例10.若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，把原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵， ∴． 故选：D． 【变式11-1】若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（    ） A．2026 B．2024 C．2023 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程有一个根2024， ∴必有一根为， 解得：； 故选：A． 【变式10-2】如果，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． 令，则原方程可化为，然后展开利用因式分解法求解即可． 【详解】解：令， 则原方程可化为， 整理得，， 或 解得或m， ∴或（无意义，舍去）， 故答案为：． 【变式10-3】方程，若设， 则原方程可化为关于y的方程是： 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．利用换元法，将代入原方程，再化成整式方程即可． 【详解】解：设，则， 则原方程可化为， ∴ 故答案为：． 【变式10-4】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解方程，公式法解方程．依题意，设，则原式为，然后运用因式分解法，公式法分别进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， 设， 则原式为， ∴， 解得， 则或， 当时，即：， ， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 综上：的解是． 考点十一：一元二次方程的新定义解法 例11.对于实数a， b定义运算“⊗”为∶ 例如： 则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可． 本题考查了新定义，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式11-1】定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，理解“美妙方程”的定义是解答本题的关键．由“美妙方程”的定义得，根据方程有两个相等的实数根得，把代入即可求解． 【详解】∵是“美妙方程”， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选C． 【变式11-2】定义新运算“*”，规则：，如，．若的两根为，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程得到，再根据新定义即可得到． 【详解】解：解方程得：， ∵， ∴， 故答案为：1． 【变式11-2】定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则 【答案】 是 或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义： （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解方程得到，再根据“倍根方程”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∴方程 是 “倍根方程”． 故答案为：是； （2）解方程得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 故答案为：或． 【变式11-4】对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【变式11-5】我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可； （2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 2是1的2倍， 方程是倍根方程； （2）解： 解得：， ， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 1．若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定 【答案】B 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程、求代数式的值，可化为，两边直接开平方得出x的值，进而可得，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵一元二次方程的两个根是与， ∴， 解得． 故选：B． 2．若关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后解不等式与方程即可得到满足条件的a的值． 【详解】根据题意得，且， 解得且； 故选：B． 3．定义新运算，对于任意实数，规定，若是关于的方程，则它的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据新定义得到，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 5．若等腰一条边的长度为1，另外两条边的长度分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，那么的周长是（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 解得或，分两种情况讨论，需要检验是否符合三角形的三边关系． 【详解】解：， ， 解得：或， ①当时，三边为，则周长为； 当时，三边为，不满足三角形三边关系，舍， ∴的周长是5， 故选：B． 6．若代数式与的值互为相反数，则整数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相反数的定义可得，再解方程即可． 【详解】解：与的值互为相反数， ， 即 解得：，， 整数的值为， 故答案为：． 7．方程总有两个相等的实数根，则t的值为 【答案】或 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．整理方程得：，推出，据此即可求解． 【详解】解：整理方程得：， ∵方程总有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：或 8．有四组一元二次方程：和；和；和；和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“相关方程”是解题的关键． 根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，从而得解． 【详解】解：根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一）． 9．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得：， ， ， 代数式的最小值是． 故答案为：． 10．为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； 故原方程的解为． 以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为 ． 【答案】，，． 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是关键． 设，把方程转为，求出，再代入，求出的值． 【详解】解：， ， 设，原方程可化为：， 解得：，， 当时，， ，， 当时，， ， 原方程的解为：，，． 11．解方程： (1)； (2)（用公式法）． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用因式分解法求解即可； （）利用公式法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解：∵，，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴，． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k为何值，此方程总有两个实根． (2)若直角三角形的斜边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，勾股定理． （1）根据判别式公式，得到，即可得到答案； （2）对一元二次方程因式分解，求出方程的两个根为，，直角三角形另两边恰好是这个方程的两根，最后根据勾股定理，求出k即可． 【详解】（1）证明：对于一元二次方程 ， ∵ 无论k为何值，此方程总有2个实根； （2）解：， ， ， 直角三角形另两边恰好是这个方程的两根， 直角三角形另两边分别是， 直角三角形的斜边为4， ， ， ， ． 13．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”． 根据所获信息解决下列问题： (1)以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号） ①，②； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (3)若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”． 【答案】(1)② (2)0 (3) 【分析】（1）据倍根方程定义判断即可； （2）根据是倍根方程，且，得到或，从而得到或，进而得到； （3）根据题干信息得出，根据在一次函数的图象上，得出，求出m、n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：①， ， ，， ∴方程不是倍根方程； ②， ，， ∴方程是倍根方程； （2）解：由得： ，， ∵方程是倍根方程， ∴或， ∴或， ∴或， ∴； （3）解：∵关于的一元二次方程是“倍根方程”， ∴根据题意得：， ∴， ∵在一次函数的图象上， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此倍根方程为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 14．计算 (1)（配方法）； (2)； (3)关于x的一元二次方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若m取最大整数，求此方程的根． 【答案】(1) (2) (3)①，且；② 【分析】本题主要考查解一元二次方程，根的差别式心腹 一元二次方程的解，灵活选用二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可； （3）①根据判别式的意义得到，且，然后解不等式即可； ②由①得的最大整数，代入方程，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， , ， ∴； （3）解：①∵关于x的一元二次方程有两个实数根． ∴，且， 解得，，且； ②由①知，的最大整数为0， 所以，把代入方程得， ， 解得，． 15．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，是解题的关键． （1）选择公式法求解即可； （2）运用完全平方公式将原式变形后，选择开平方法，即可解得答案； （3）提取公因式，方程转化为两个一元一次方程，然后解方程即可； （4）选择开平方法，方程转化为两个一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴根判别式为：， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴左边化成完全平方，得， ∴． （3）解：∵， ∴提公因式分解因式，得， ∴， ∴． （4）解：∵， ∴两边开平方，得， ∴，， ∴． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$