第06讲 一元二次方程（3大知识点+7大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

第06讲 一元二次方程（3大知识点+7大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解一元二次方程的基本概念； 2．掌握一元二次方程的一般形式； 3．学会对一元二次方程进行估算。 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 考点一：一元二次方程的定义 例1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】方程 一元二次方程（填“是”或“不是”） 【变式1-3】写出一个关于x的一元二次方程，此方程可以为 ． 【变式1-4】判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 考点二：根据一元二次方程的定义求参数 例2.若关于的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若关于 的方程是一元二次方程，则 的取值范围为 ． 【变式2-3】若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【变式2-4】已知是关于的一元二次方程，求的值． 考点三：一元二次方程的一般形式 例3.将一元二次方程化成一般形式之后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1， B．， C．，1 D．3， 【变式3-1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】一元二次方程的一次项系数为 ． 【变式3-3】将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项的和为 ． 【变式3-4】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 考点四：一元二次方程的解 例4.已知方程有一个根为1，则（   ）． A．1 B． C．0 D．2 【变式4-1】关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知一元二次方程的一个根是3，则 【变式4-3】若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为 【变式4-4】已知一元二次方程． （1）如果这个方程有一个根是0，常数项c有什么特征？ （2）如果这个方程有一个根是1，那么满足怎样的关系？ （3）如果这个方程有一个根是﹣1，那么满足怎样的关系？ 考点五：赋值法求一元二次方程的解 例5.如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【变式5-1】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【变式5-2】一元二次方程的一个根是1，且满足，则 ， ， ． 【变式5-3】如果关于x的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是 ． 【变式5-4】已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【变式5-5】已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 考点六：降次求代数式的值 例6.若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【变式6-1】若是方程的根，则的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【变式6-2】若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【变式6-3】已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【变式6-4】已知是方程的一个根，求的值． 【变式6-5】已知m是方程的解，求式子的值． 考点七：一元二次方程解的估算 例7.在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】根据所给的表格，估计一元二次方程的解的近似范围（   ） x A． B． C． D． 【变式7-2】根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【变式7-3】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【变式7-4】25．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．把方程化成一般式，则正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．3 B．0 C．2 D． 4．方程不含x的一次项，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 6．如果关于的方程是一元二次方程，则常数k的值是 ． 7．已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ． 8．关于x的方程是一元二次方程的条件是 ． 9．已知一元二次方程的两根为，则的两根为 ． 10．若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ． 11．已知m是方程的根，求代数式的值． 12．已知m是方程的根，求代数式的值． 13．已知a是方程的一个根，求下列各式的值： (1)； (2)． 14．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 15．阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一元二次方程（3大知识点+7大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解一元二次方程的基本概念； 2．掌握一元二次方程的一般形式； 3．学会对一元二次方程进行估算。 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 考点一：一元二次方程的定义 例1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是2，这是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C. ，不是一个未知数，不符合题意；     D. ，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】方程 一元二次方程（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是先化简，再判定． 把方程移项，合并后为，据此判定． 【详解】解：方程， 移项，合并，得：， 这是一元一次方程，不是一元二次方程， 故答案为：不是． 【变式1-3】写出一个关于x的一元二次方程，此方程可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程的定义，写出方程，即可求解． 【详解】解：此方程可以为． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 【变式1-4】判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【答案】①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义逐个判定即可求解．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：①是一元二次方程； ②中有2个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④中未知数在分母上，是分式方程，不是一元二次方程； ⑤，即不是一元二次方程； ⑥是一元二次方程； 综上，①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是． 考点二：根据一元二次方程的定义求参数 例2.若关于的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的一般形式为（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故选：D． 【变式2-1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得，， 故选：A． 【变式2-2】若关于 的方程是一元二次方程，则 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，形如，且、、是常数，解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ． 解得． 故答案为：． 【变式2-3】若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得或， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】已知是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程，特别注意二次项系数不为，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：． 考点三：一元二次方程的一般形式 例3.将一元二次方程化成一般形式之后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1， B．， C．，1 D．3， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 【详解】解：化为一般式为， ∴一次项系数和常数项分别为1，， 故选：A． 【变式3-1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，解题的关键是掌握一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的求法．一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是． 故选：B． 【变式3-2】一元二次方程的一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．掌握“一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项”是解题关键．根据一元二次方程的一般形式的相关定义解答即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项为， ∴一次项系数为． 故答案为：． 【变式3-3】将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解答关键． 根据一元二次方程的定义先求出二次项系数，一次项系数，常数项，再求出它们的和即可． 【详解】解：将一元二次方程变化为：， 二次项系数为：4，一次项系数为：，常数项为：， 二次项系数，一次项系数，常数项的和为：． 故答案为：． 【变式3-4】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 考点四：一元二次方程的解 例4.已知方程有一个根为1，则（   ）． A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，即方程的解的定义，深刻理解根的定义是解题关键． 将代入方程即可得到关系式的值． 【详解】解：∵方程有一个根为1， ∴， 故选：C． 【变式4-1】关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 把代入方程得到一个关于的方程，再结合一元二次方程的定义即可确定的值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 解得：， ， ， 故选：B． 【变式4-2】已知一元二次方程的一个根是3，则 【答案】6 【分析】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键． 将代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴， 解得：； 故答案为：． 【变式4-3】若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．把代入原方程，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 故答案为： 【变式4-4】已知一元二次方程． （1）如果这个方程有一个根是0，常数项c有什么特征？ （2）如果这个方程有一个根是1，那么满足怎样的关系？ （3）如果这个方程有一个根是﹣1，那么满足怎样的关系？ 【答案】（1）常数项c为0；（2）；（3）. 【分析】根据一元二次方程解的意义，分别将x的值代入一元二次方程即可解决问题. 【详解】解：（1）∵x=0是方程的一个根，将x=0代入中可得：c=0， ∴常数项c为0； （2）∵x=1是方程的一个根，将x=1代入中可得：， ∴满足； （3）∵x=-1是方程的一个根，将x=-1代入中可得：， ∴满足. 【点睛】本题考查一元二次方程解的意义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 考点五：赋值法求一元二次方程的解 例5.如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 【变式5-1】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键． 将代入一元二次方程，求得，整体代入即可． 【详解】解：将代入一元二次方程得， ，即 ∴． 故选：D． 【变式5-2】一元二次方程的一个根是1，且满足，则 ， ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件得到，则可计算出，再根据一元二次方程解的定义得到，然后把a和b的值代入即可求出c的值． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴， ∴， ∵一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；； 【变式5-3】如果关于x的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据关于的一元二次方程的一个解是，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值整体代入，即可解答本题． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-4】已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 【变式5-5】已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【答案】(1)； (2)2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解； （2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】（1）解：是方程的一个根， ， ， ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形． 考点六：降次求代数式的值 例6.若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式6-1】若是方程的根，则的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可，运用整体代入思想是解决此问题的关键． 【详解】∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-2】若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 【变式6-3】已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：9． 【变式6-4】已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 【变式6-5】已知m是方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m是方程的解， ∴，即：， ∴ ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键． 考点七：一元二次方程解的估算 例7.在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与二次函数关系．根据题意可知函数值正负之间即为一个根的范围． 【详解】解：∵，， ∴一元二次方程的一个根x的大致范围是：， 故选：C． 【变式7-1】根据所给的表格，估计一元二次方程的解的近似范围（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 【变式7-2】根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 【变式7-3】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 【变式7-4】25．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】、，是一元二次方程，原选项符合题意； 、，没有说明，不能判定是否为一元二次方程，原选项不符合题意； 、，化简为是一元一次方程，原选项不符合题意； 、，不是一元二次方程，原选项不符合题意； 故选：． 2．把方程化成一般式，则正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相等即可得出答案． 【详解】解：将去括号得； 移项得 ∴，． 故选：B． 3．若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．3 B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意得出，再将式子变形为，代入计算即可得解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．方程不含x的一次项，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．本题关键是明白不含的一次项，即是一次项系数为0． 首先要把方程化成一般形式．不含的一次项，即是一次项系数为0，再解答即可． 【详解】解：解：， ， 不含的一次项， 则， 解得． 故选：D． 5．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，将关于的方程化为，由表格可知，当或时，，由此可得关于的方程的实数根，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：关于的方程可化为， 由表格可知，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，， 故选：． 6．如果关于的方程是一元二次方程，则常数k的值是 ． 【答案】 【分析】由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．本题考查了一元二次方程的定义． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 7．已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及已知式子的值求代数式的值，先把代入，得，则，即可作答． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 则． 故答案为：2028． 8．关于x的方程是一元二次方程的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据二次项的系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 9．已知一元二次方程的两根为，则的两根为 ． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换法求解一元二次方程的根，解题的关键是掌握利用整体代换法求解一元二次方程的根的方法． 首先将变形为，由题意可得：或，再进行转化即可得出根． 【详解】解：∵可变形为， 由题意可得：或， ∴或， 即方程的根为或． 故答案为：，． 10．若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的加减法、分式的化简求值等知识点，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 根据已知易得即，则，然后代入式子中计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程一个解， ∴，即， ∴ ∴． 故答案为：2． 11．已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 12．已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 根据方程解的定义得到，再将进行化简代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴ ． 13．已知a是方程的一个根，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义： （1）根据一元二次方程解的定义得到，再证明，则两边同时除以a即可得到答案； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再把代入所求式子中利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵a是方程的一个根， ∴， ∵当时，， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 14．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 15．阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可． 【详解】（1）解：， 两边同时除以x（），得 ， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵m是方程的根， ∴， 两边同时除以（），得 ， ∴， ∴， ∴ ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$