第09讲 一元二次方程根与系数的关系（2大知识点+8大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

第09讲 一元二次方程根与系数的关系（2大知识点+8大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握一元二次方程根与系数的关系； 2．掌握一元二次方程根与系数关系的应用。 知识点一 根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． 知识点二 根与系数的关系的应用 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 考点一：利用根与系数的关系直接求代数式的值 例1．方程的两根为、，则（   ） A．6 B． C．3 D． 【变式1-1】已知方程的两个根分别为和，则的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【变式1-2】若和是方程的两个根，则 ． 【变式1-3】设，分别是关于的方程的两个实数根，则的值是 ． 【变式1-4】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 考点二：利用根与系数的关系间接求代数式的值 例2.已知、是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C．3 D． 【变式2-1】已知是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 【变式2-2】已知方程的两根是，则 ． 【变式2-3】已知，是方程的两根，则的值为 ． 【变式2-4】已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 考点三：利用根与系数的关系降次求代数式的值 例3．已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 【变式3-1】已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式3-3】设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式3-4】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 考点四：构造一元二次方程求代数式的值 例4.已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 【变式4-1】若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】已知实数m，n满足，则 ． 【变式4-3】非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【变式4-4】阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 考点五：由两根关系求方程字母系数 例5.关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 【变式5-1】已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5-2】已知关于x的一元二次方程，若方程两实数根为，，且满足，则实数m的值为 ． 【变式5-3】已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【变式5-4】已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 考点六：根与系数关系的新定义问题 例6.定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a、b是方程（m＜0）的两根，则b*b﹣a*a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．与m有关 【变式6-2】定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 【变式6-3】对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【变式6-4】定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 考点七：一元二次方程根与系数关系多结论问题 例7.已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法： ①若a，c异号，则方程一定有实数根； ②若，则方程一定有两异实根； ③若，则方程一定有两实数根； ④若，由根与系数的关系可得 其中正确的结论是：（    ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．②③ 【变式7-1】已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-2】下列说法：①若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是②若，则是一元二次方程的一个根③若，则一元二次方程有不相等的两个实数根④当取整数或时，关于的一元二次方程与的解都是整数．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-3】对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．根的判别式 B．两根之和为 C．两根之积为 D．方程的解， 【变式7-4】对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为1；②若方程的两根为和，则；③若，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 考点八：一元二次方程根与系数关系的应用 例8.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【变式8-1】若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（   ） A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8 【变式8-2】已知菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 ． 【变式8-3】若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 【变式8-4】已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 1．若、是方程的两个根，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（   ） A． B． C．或8 D．2或 4．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 5．已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 6．关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 7．已知：，是关于的方程的两个实数根，，则的值为 ． 8．已知关于x的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 9．已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 10．若关于x的一元二次方程的两个根是a，b，且a，b，c，d都是正整数．现有以下结论：①当，时，；②当，时，；③；④a，b中至少有一个是偶数．其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 11．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 13．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 14．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 15．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 一元二次方程根与系数的关系（2大知识点+8大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握一元二次方程根与系数的关系； 2．掌握一元二次方程根与系数关系的应用。 知识点一 根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． 知识点二 根与系数的关系的应用 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 考点一：利用根与系数的关系直接求代数式的值 例1．方程的两根为、，则（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：移项得：， ∵方程的两根为、， ∴， 故选：C． 【变式1-1】已知方程的两个根分别为和，则的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴． 故选：C． 【变式1-2】若和是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系对所求代数式进行恒等变形是解决问题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后整体代入求解即可． 【详解】∵和是方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】设，分别是关于的方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系； （1）利用根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可； （2）先利用根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得，； 即b的值为或； （2）当时，方程化为， 根据根与系数的关系得， 所以． 考点二：利用根与系数的关系间接求代数式的值 例2.已知、是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据题意得出代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A 【变式2-1】已知是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：． 【变式2-2】已知方程的两根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 先利用根根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：． 【变式2-3】已知，是方程的两根，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴ ， 故答案为：6． 【变式2-4】已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． （1）由根与系数的关系可知，，．把变形成，代入，即可求解； （2）把变形成代入，即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知， ，． ； （2）解： ． 考点三：利用根与系数的关系降次求代数式的值 例3．已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后代入求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为、， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式3-1】已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 【变式3-2】设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到,， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， , ,， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解等知识点，根据根与系数的关系可以求出，根据方程的解得出，将可化为，代入求值即可解答，利用两根之和与的计算与转化是解决问题的关键． 【详解】∵α，β是方程的两个实数根， ∴， ， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：2024． 【变式3-4】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 考点四：构造一元二次方程求代数式的值 例4.已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可求出，进而可得是关于t的方程的两个实数根，则由根与系数的关系可求出，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴是关于t的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-1】若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 【变式4-2】已知实数m，n满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定是方程的两个根、掌握根与系数的关系是解题的关键．由两个方程的形式可知，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到与的数量关系再计算即可． 【详解】解：， ， 是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，分两种情况：当时，实数a，b是方程的两个不同的根；当时，实数a，b是方程的两个相同的根，分别计算即可得解． 【详解】解：∵非零实数a，b满足，， ∴当时，实数a，b是方程的两个不同的根，由根与系数的关系可得，，此时； 当时，实数a，b是方程的两个相同的根，此时； 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 【变式4-4】阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形计算、分式的混合运算等知识，掌握一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系为“，”是解题的关键； （1）利用根与系数的关系，即可得出的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求解； （3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，进而求得的值，再将其代入中，即可求解； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ； （3）解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 即或 当时， ； 当时， ； 考点五：由两根关系求方程字母系数 例5.关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-1】已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，，根据方程，先求出，，根据，得到，求出，再根据一元二次方程根的判别式，确定的值，即可． 【详解】解：∵关于的方程的两实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵方程有两实数根， ∴， 解得：， ∴（舍去）， ∴． 故选：A． 【变式5-2】已知关于x的一元二次方程，若方程两实数根为，，且满足，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系和，可以求得的值，然后代入，即可求得的值． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，， ， ， ， ， 解得， 将代入可得，， 解得， 故答案为：． 【变式5-3】已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到和的值，再通过对完全平方公式变形代入求值，最后根据根的情况利用判别式确定值即可． 【详解】解：∵、是关于x的方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴ 整理得， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-4】已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)的取值范围是 (2)的值为 【分析】（）先整理方程得整理得，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】（1）解：由整理得：， ∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：或， ∵， ∴的值为． 考点六：根与系数关系的新定义问题 例6.定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系可找出，根据新运算找出，将其中的1替换成，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键． 【变式6-1】定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a、b是方程（m＜0）的两根，则b*b﹣a*a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．与m有关 【答案】B 【分析】由根与系数的关系可找出a+b＝1，根据新运算找出b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程（m＜0）的两根， ∴a+b＝1， ∴b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，新定义下的实数运算，解题的关键是找出a+b＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键． 【变式6-2】定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：0 ． 【变式6-3】对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出，，再根据新定义计算即可． 【详解】解：方程的解为、， ，， ∴． 故答案为：6． 【变式6-4】定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【答案】(1)②③ (2) (3)（或） 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可； （3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可． 【详解】（1）解：①，则 ∴， ∴不满足，故不是“和谐方程”； ②， ∴ 满足，故是“和谐方程”； ③ 解得：， ∴， ∴满足，故是“和谐方程”； 故答案为：②③； （2）解：∵， ∴． ∵方程是“和谐方程”， ∴ ∴． 即． 解得：； （3）解：对于， 则 ∵方程为“和谐方程”， ∴， ∵， ∴，即（或）． 考点七：一元二次方程根与系数关系多结论问题 例7.已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法： ①若a，c异号，则方程一定有实数根； ②若，则方程一定有两异实根； ③若，则方程一定有两实数根； ④若，由根与系数的关系可得 其中正确的结论是：（    ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．②③ 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一元二次方程根的情况，若，，是一元二次方程的两根时，，．当a、c异号时，，则根据判别式的意义可对①进行判断；当时，，可判断方程一定有两异实数根，则可对②进行判断；当时，则，则根据判别式的意义可对③进行判断；若，计算出，根据根与系数的关系，对④进行判断． 【详解】解：∵， ∴当a、c异号时，， ∴， ∴此时方程一定有实数根，故①正确； 当，若a、c异号时，则，此时方程一定有两个不相等的实数根，若a、c同号或c为0时，则，此时方程一定有两个不相等的实根，故②正确； 若时，，则方程一定有两实数根，故③正确； 若， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故④错误． 综上分析可知：正确的有①②③． 故选：B． 【变式7-1】已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】当a、c异号时，，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；当时，则，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；若，，，计算出，则可对④进行判断． 【详解】解：， 当a、c异号时，，所以，所以此时方程一定有实数根，所以①正确； 若时，，则方程一定有两实数根，所以②正确； 若，，，，所以方程没有实数根，所以③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【变式7-2】下列说法：①若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是②若，则是一元二次方程的一个根③若，则一元二次方程有不相等的两个实数根④当取整数或时，关于的一元二次方程与的解都是整数．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①将根代入一元二次方程即可求解；②若，则，由此可判断；③代入判别式，即可求解；④关于的一元二次方程与，则，解都是整数，则，由此判断，而是整数，由此即可求解． 【详解】解：①若一元二次方程有一个根是，则， ∴，则代数式，故此选项正确； ②若，则是一元二次方程的一个根，故此选项错误； ③若，那么， 当，时，；当，时，；当时，， ∴Δ＞0，故此选项正确； ④∵关于的一元二次方程与有解，则， ∴，在中，，即； 在中，，则，； ∴，而是整数， ∴，（舍去），， 当时，方程，则，方程的解是；方程，则，方程的解是，； 当时，方程，则，不是一元二次方程，故舍去； 当时，方程，则，方程的解是，，不符合题意．故，故此选项错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别，根与系数的关系，理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． 【变式7-3】对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．根的判别式 B．两根之和为 C．两根之积为 D．方程的解， 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，是解本题的关键． 由已知方程，写出根的判别式，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，解一元二次方程，逐一判断，即得． 【详解】解：A、∵一元二次方程根的判别式为， ， ∴A正确； B、设一元二次方程的两根分别为， 则， ∴B正确； C、设一元二次方程的两根分别为， 则， ∴C正确； D、解方程， ， ∴， ∴， ∴D不正确． 故选：D． 【变式7-4】对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为1；②若方程的两根为和，则；③若，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】①根据方程的解得定义即可判断；②根据方程的根的定义得到，，进而得到答案；③根据得到，结合一元一次方程根与系数关系得到两根之和为2，即可得到答案；④根据是一元二次方程的根，得到，根据等式性质得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：①若，那么一定有一个根是1，故①正确； ②若方程的两根为和2，则，， ， ， ， ，故②正确； ③若，则，即两根之和为2， 方程有一根大于2， 另一个根必是负数，故③正确； ④若是一元二次方程的根，则，， ， ， ，故④错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数关系，等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论是解题的关键． 考点八：一元二次方程根与系数关系的应用 例8.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式8-1】若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（   ） A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8 【答案】C 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质．设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，即的两根为， 由题意得：， ∵菱形面积为20， ∴，解得：， ∴一元二次方程为， 整理得， 解得， ∴该菱形两对角线长分别为4与10， 故选：C． 【变式8-2】已知菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 ． 【答案】27 【分析】本题考查根与系数的关系，以及菱形的性质．根据根与系数的关系得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出结果．掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴菱形的面积是， 故答案为：27． 【变式8-3】若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、判断点所在的象限，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知，推出，，判断点所在的象限即可，掌握“对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则”是解题的关键． 【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴实数，异号，即一正一负， 又∵， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 【变式8-4】已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①m的取值范围为；②菱形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也考查了根的判别式和菱形的性质，灵活运用所学知识是关键． （1）计算判别式的值即可判定方程实数根的情况； （2）①根据根与系数关系可得，即可求出m的取值范围；②根据菱形边长和对角线的关系即可求出，再根据根与系数关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵        ∴不论m为何实数，方程总有实数根。 （2）解：①由题意得：   解得：，   ∴m的取值范围为 ②设菱形的边长为a，则 ∵ ∴ ∴ （舍） 所以，菱形的边长为 1．若、是方程的两个根，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式等知识点，掌握、是一元二次方程的两个根，则，成为解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得、，再根据完全平方公式可得，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴、， ∴． 故选∶C． 2．已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确，； 求出，再整体代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， 则，， ， 故选：D． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（   ） A． B． C．或8 D．2或 【答案】A 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，利用根与系数关系构建方程求出m，再利用判别式的值判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 当时，则有， ，不符合题意舍去， ∴m的值是， 故选：A． 4．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可求出，进而可得是关于t的方程的两个实数根，则由根与系数的关系可求出，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴是关于t的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 6．关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 根据韦达定理得，进而求解即可； 【详解】解：设、是关于的一元二次方程的两个根， 由韦达定理，得，即， 解得． 故另一个根为； 故答案为： 7．已知：，是关于的方程的两个实数根，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系、成为解题的关键． 根据根与系数的关系可得，根据题意可知，即，然后将代入得到关于a的一元二次方程求解，再检验即可得解． 【详解】解∶∵，是关于的方程的两个实数根， ∴， ∵，即， ∴，整理得：， 解得：或5． 当时，， ，符合题意； 当时，， ，不符合题意； 故答案为：． 8．已知关于x的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 【答案】或1 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根， 所以． 又因为， 所以， 解得， 经检验，两根都是原方程的解，且满足， 所以k的值为或﹣1． 故答案为：或1． 9．已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 由题意得所以，代入得到，换元解方程即可． 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根， 所以． 又因为， 所以， 解得， 经检验，两根都是原方程的解，且满足， 所以k的值为或． 故答案为：或． 10．若关于x的一元二次方程的两个根是a，b，且a，b，c，d都是正整数．现有以下结论：①当，时，；②当，时，；③；④a，b中至少有一个是偶数．其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系是解此题的关键． 先利用根与系数的关系得，，再利用和的值，依次判断各选项即可． 【详解】解：由方程的根与系数的关系可知： ，（，为方程的根）． ①当，时，，①正确； ②当，时，解得或（舍去），②正确； ③， ，③正确； ④， 的值为偶数． a，b中至少有一个是偶数．④正确． 故答案为：． 11．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方根根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）设方程的一个根为，则另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系可得，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：， 故方程总有两个实数根； （2）解：∵方程的一个根为另一个根的3倍， ∴设方程的一个根为，则另一个根为， 由题意可得：， 解得：，或， ∴m的值为或． 12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，然后解方程即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解得：； ∴的取值范围是； （2）解：由题意，得， 解得 ， 又∵， ∴的值为． 13．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 14．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【答案】(1)①② (2)7或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答 【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，，则该方程为“根差2方程”； ③的解为，，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）解：设关于x的方程的解为，则， ∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”， ∴，即， ∴，解得：或． （3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”， ∴，， ∴， ∵ ∴． 15．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)k的值为9 (3)或 【分析】本题考查了根与系数的关系，也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，则可求得，，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定的值； （3）利用因式分解法解方程得到或，再根据“限根方程”的定义得到时，当时，，然后解关于的不等式即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，， ，， 所以一元二次方程为“限根方程”， 故答案为：是； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ，即， 解得，， 当时，方程化为， 解得，， ，， 方程是“限根方程”， 当时，方程化为， 解得，， ， 方程化不是“限根方程”， 综上所述，的值为9； （3）解：， ， 或， 解得或， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为或． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$