高一数学第一学期期期末押题密卷03卷-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

高一数学第一学期期期末押题密卷03卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．下列两个函数为同一函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同一函数要满足中两个条件：第一：定义域相同，第二：对应关系完全一致，根据两个条件即可判断. 【详解】对于选项A，定义域为，定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故A不符合题意； 对于B，定义域为，定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故B不符合题意； 对于C，定义域为，函数定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故C不符合题意； 对于D，定义域为，定义域为，且，函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故D符合题意. 故选：D. 2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少总共需要花的时间为（    ） A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时 【答案】C 【分析】根据前5个小时消除了的污染物，由，求得k，再设污染物减少所用的时间为t，由求解. 【详解】因为在前5个小时消除了的污染物，所以， 解得，所以， 设污染物减少所用的时间为t， 所以， 所以，解得. 故选：C. 3．函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系转化为余弦函数，配方后求最小值. 【详解】因为， 所以当时，， 故选：B 4．函数的图象大致为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除. 【详解】因为，所以的图象关于原点对称，故排除； 当时，，当时，，所以，排除B． 故选A. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题. 5．已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】通过配凑，借助基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， ， 当且仅当，即，时，有最小值. 故选：C. 6．若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，结合二次函数的图象与性质，分，和，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数在上恰有一个零点， 当时，可得，令，解得，符合题意； 当时，由，则满足， 解得，即； 当时，要使得函数在上恰有一个零点， 则满足或，即， 解得或， 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：C. 7．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数式和对数式的转化，将表示为对数形式，结合对数的运算性质以及对数函数的性质比较大小，即可得答案. 【详解】由题意知，， 则， ， 因为，故， 又因为，故，即 故，即得， 同理可得，故，即， 故， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用指数式和对数式的转化，将表示为对数形式，然后再结合对数的运算性质以及对数函数的性质比较大小即可. 8．已知函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换整理得，由题意分析可得方程在上有且仅有个不同的零点，结合正弦函数的性质分析求解. 【详解】因为 ， 令，整理得， 由题意可知：方程在上有且仅有个不同的根， 因为，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．由知实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为 C． D．当时，的最大值为 【答案】AC 【分析】由不等式，可判定A正确；设，联立方程组，结合，可判定B不正确；设，联立方程组，可判定C正确；，转化为，结合三角函数的性质，可判定D不正确. 【详解】对于A中，由不等式，可得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B中，设，联立方程组，整理得， 由，解得，可得， 所以的最大值为，所以B不正确； 对于C中，设，联立方程组，整理得， 由，解得，可得， 所以的最大值为，所以C正确； 对于D中，由，即， 设，则， 设，可得，可得， 因为，可得，即， 不妨设，可得 则， 所以 又因为为单调递增函数，所以无最大值，所以D不正确. 故选：AC. 10．已知函数满足：对任意的，都存，且，则（    ） A．是奇函数 B． C．的值域为 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得函数是奇函数，且的图象关于对称，进而可求出函数的周期，再逐一分析即可得解. 【详解】因为，所以函数是奇函数， 因为，所以函数的图象关于对称， 对于A，若是奇函数，则， 故，与题意矛盾，所以不是奇函数，故A错误； 对于B，由，得， 所以，所以，故B正确； 对于C，根据题意不能得出函数的单调性，所以无法确定函数的值域，故C错误； 对于D，由B选项可得，所以函数是以为周期的周期函数， 因为是奇函数，所以，则，， 由，可得， 所以， 则，故D正确. 故选：BD. 11．已知函数在上恰有两个零点，且在上单调递减，则（    ） A．若，则的图象向右平移个单位长度后得到的图象 B． C．在上有且仅有两条对称轴 D．不存在，使得在上单调递减 【答案】BCD 【分析】根据余弦函数的图象和性质，分析可得正确结果. 【详解】在上恰有两个零点， 而：. 所以:. 求函数的递减区间，得： ， 因为函数在上递减，所以：，又，， 所以，. 综上：.故B正确； 对A：当时，向右平移个单位，得，故A错； 对C：当时，， 由可得. 所以函数在上有2条对称轴.故C正确； 对D：若函数在区间上单调递减，则：且， 所以：，结合可得：满足条件的不存在.故D正确. 故选：BCD 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若，则 . 【答案】 【分析】根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果. 【详解】因为，， 所以 所以 所以. 故答案为：. 13．已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别令，，，可求出，即可判断函数的奇偶性，再根据对，都有可判断函数在上的单调性，即可得出函数在上单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】在中， 令，得， 令，得， 令，，得， 又的定义域为，所以为偶函数， 又对，都有， 即对，都有， 所以在上为减函数，所以在上为减函数， 又，，为偶函数， 所以，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 14．如图，要在一块半径为6．圆心角为的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为 ，此时 ． 【答案】 / 【分析】根据题意，得到矩形的面积为，矩形的面积为，进而化简，结合三角函数的性质，以及基本关系式和正切的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意知，一块半径为6，圆心角为的扇形铁皮， 可得且， 在直角中，，所以， 所以， 所以矩形的面积为， 因为为的中点，所以， 所以矩形的面积为， 所以两块矩形铁皮的面积之和为： ， 其中，且， 所以，当时，取得最大值， 此时，即，所以， 因为，所以，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上可得，当时，取得最大值. 故答案为：9； 【点睛】知识方法点拨：求解三角函数实际应用问题的处理策略： 1.若已知三角函数模型，根据给定的三角函数模型，利用三角函数的图象与性质解决问题，其关键在于准确理解自变量的意义，以及自变量与函数之间的对应关系； 2、把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，结合三角函数的图象与性质等有关知识解决问题，其关键在于正确理解题意，合理建模. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．计算 (1)已知.求的值. (2)已知，且，，求角的值； 【答案】(1)4 (2) 【分析】 （1）利用诱导公式和齐次式化简，化为关于的式子，代入求值即可； （2）利用同角三角函数关系及角的范围得到和，从而利用余弦差角公式求出，从而求出角的值. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 故 ， 因为， 所以. 16．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)讨论函数在上的单调性，并加以证明． 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2)当时，单调递减， 当时，单调递增，理由见解析 【分析】（1）求出定义域，计算出，得到答案； （2）利用定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 的定义域为R， 又， 故为奇函数； （2）当时，单调递减， 当时，单调递增， ，且， 则 ， 因为，且，所以， 当时，，即， 故单调递减， 当时，，即， 故单调递增， 17．如图，有一块半径为R的扇形草地OMN，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN． (1)设，用分别表示AB和AD； (2)当为何值时，矩形场地ABCD的面积S最大？最大值为多少？ 【答案】(1)，. (2)当时，最大，为 【分析】借助三角函数表示和，进一步表示矩形的面积，可求矩形面积的最大值. 【详解】（1）如图：过做于. 则，所以，. （2） ， 当且仅当即时取“”. 故当时矩形场地的面积最大且最大为. 18．已知函数为奇函数，为偶函数，且，其中为常数． (1)求函数和的解析式； (2)若函数的最小值为16，求的值： (3)在（2）的条件下，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)；. (2) (3)答案见解析. 【分析】（1）根据奇函数和偶函数的定义，与已知条件联立方程组，即可求得. （2）化简，利用基本不等式，对分类讨论，求出的最小值，从而求出的值. （3）先化简，换元令，求得，将函数零点问题转化为两个函数与的交点问题，即可求解. 【详解】（1）因为为奇函数，为偶函数，所以，， 又因为 ①，所以， 即 ②， 由①②得，，. （2） ， ，当且仅当，即等号成立， 所以当时，，不满足题意，舍去； 当时，，所以或（舍去）； 当时，有最大值，无最小值，舍去，综上，的值为. （3）由（2）知，所以，， 所以 ， 令，因为，所以， 当且仅当，即等号成立，所以，所以， 所以，即， 因为在单调递减，在单调递增， 时，，时，，的值域为， 为偶函数，根据复合函数的单调性易得时为增函数，值域为，简图如下： ①当，即时，与无交点，所以的零点有个； ②当，即时，与有个公共点， 且公共点的横坐标，当时，根据的图象可知，与有2个交点， 所以的零点有2个. ③当，即时，与有个公共点， 且公共点的横坐标，当时，与各有2个公共点， 所以的零点有4个； ④当，即时，与有个公共点， 且公共点的横坐标为和，当时，根据的图象可知，与有1个公共点； 当时，根据的图象可知，与有2个公共点， 所以的零点有3个. ⑤当，即时，且公共点的横坐标， 当时，根据的图象可知，与有2个公共点， 所以的零点有2个. 综上，当时，的零点为个；当或时，的零点为2个； 当时，的零点有3个；当时，的零点为个. 【点睛】方法点睛：函数零点个数的判定方法主要有：①解方程法：根的个数就是零点个数；②数形结合法：把函数零点问题转化为两个函数图象公共点的个数问题，结合图象判定. 19．在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数，当时，，且满足：，均有 (1)证明：在上单调递增； (2)若函数满足上述函数的特征，求实数的取值范围； (3)若，求证：对任意，都有． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由，结合已知条件和函数单调性的定义推导即可； （2）根据题意结合恒成立问题分析求解即可； （3）令可得，用累乘法即可得对任意正整数与正数，都有，进而可得和，结合的范围及函数的单调性即可证明. 【详解】（1）任取，且， 则， 由，可知，则， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）当时，， 注意到，则，，可得， 即，可得； 又因为，均有， 即， 整理得， 即， 注意到，则，即， 可得，可得，即； 综上所述：实数的取值范围为. （3）由题意知，对任意， 且，均有， 令，可得，即， 故对任意正整数与正数，都有， 所以对任意正整数与正数，都有， 即对任意正整数与正数，都有， 令，则， 令，则， 对任意，可得， 由（1）可知：在上单调递增， 则，， 所以. 【点睛】关键点睛：1.根据题意证明对任意正整数与正数，都有； 2.根据1.中结论结合单调性证明，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学第一学期期期末押题密卷03卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．下列两个函数为同一函数的为（    ） A． B． C． D． 2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少总共需要花的时间为（    ） A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时 3．函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 4．函数的图象大致为 A． B． C． D． 5．已知，，，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 6．若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．由知实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为 C． D．当时，的最大值为 10．已知函数满足：对任意的，都存，且，则（    ） A．是奇函数 B． C．的值域为 D． 11．已知函数在上恰有两个零点，且在上单调递减，则（    ） A．若，则的图象向右平移个单位长度后得到的图象 B． C．在上有且仅有两条对称轴 D．不存在，使得在上单调递减 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若，则 . 13．已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 . 14．如图，要在一块半径为6．圆心角为的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为 ，此时 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．计算 (1)已知.求的值. (2)已知，且，，求角的值； 16．已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)讨论函数在上的单调性，并加以证明． 17．如图，有一块半径为R的扇形草地OMN，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN． (1)设，用分别表示AB和AD； (2)当为何值时，矩形场地ABCD的面积S最大？最大值为多少？ 18．已知函数为奇函数，为偶函数，且，其中为常数． (1)求函数和的解析式； (2)若函数的最小值为16，求的值： (3)在（2）的条件下，讨论函数的零点个数． 19．在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数，当时，，且满足：，均有 (1)证明：在上单调递增； (2)若函数满足上述函数的特征，求实数的取值范围； (3)若，求证：对任意，都有． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$