精品解析：山东省德州市2024-2025学年高一上学期校际联考（二）数学试题

2024级校际联考（二）数学学科试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知均为第一象限的角，那么是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象过点，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（ ） A. B. C. D. 7. 体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 关于函数，实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题（本题共3题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则________． 13. 定义运算，已知函数，若恒成立，则的取值范围为________． 14. 已知，若方程有四个根，，，，且，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中． （1）求出的值和锐角的大小； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值． 16. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，使成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）当时，求的定义域及单调递增区间； （2）若关于的方程在上有解，求的最小值． 18. 在国家大力推广新能源汽车的背景下，各大车企纷纷加大对新能源汽车的研发投入．某车企研发部有100名研发人员，原年人均投入40万元，现准备将这100名研发人员分成两部分：燃油车研发部和新能源车研发部，其中燃油车研发部有名研究人员．调整后新能源车研发部的年人均投入比原来增加，而燃油车研发部的年人均投入调整为万元． （1）若要使新能源车研发部的年总投入不低于调整前原100名研发人员的年总投入，求调整后新能源车研发人员最少为多少人？ （2）若要使新能源车研发部的年总投入始终不低于燃油车研发部的年总投入，求正整数的最大值． 19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级校际联考（二）数学学科试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合,再根据交集定义求解． 【详解】，又， 所以， 故选：B． 2. 已知均为第一象限的角，那么是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】均为第一象限的角，满足，但，因此不充分；均为第一象限的角，满足，但，因此不必要；所以选D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项后得正确结论． 【详解】易知函数定义域是， 又， 故是奇函数，图象关于原点对称，排除CD， 当时，，排除B， 故选：A． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数性质、指数函数性质判断． 【详解】，且，， 所以， 故选：C． 5. 已知函数的图象过点，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求得得且是增函数，由复合函数单调性得在上递减，且最小值大于0，结合二次函数性质可得参数范围． 【详解】函数的图象过点，则，解得， 所以，它是增函数， 函数在区间上单调递减，则在上递减，且最小值大于0， 所以，解得， 故选：A． 6. 中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形即可得解. 【详解】由题意，将信噪比从2000提升至10000， 则最大信息传递速率从增加至， 所以 . 故选：B. 7. 体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【详解】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 8. 已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知不等式转化后得出函数在上是增函数，不等式转化为，然后由偶函数与单调性求解即可． 【详解】不妨设，所以， 则， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得． 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性的定义和判定方法，结合指数函数与对数函数，以及复合函数的单调性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 又由函数在单调递增，且， 结合函数在定义域单调递减， 所以在单调递减，所以A正确； 对于B中，函数的定义域为，且，所以为偶函数， 当时，可得为单调递减函数，所以B正确； 对于C中，由的定义域为，且，所以为偶函数， 当时，函数在上单调递减，且函数为增函数， 所以在上单调递减，所以C正确； 对于D中，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数是奇函数，所以D错误． 故选：ABC． 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平方关系求得，从而确定可提范围，再由平方关系求得，用方程组思想求得，最后由商数关系求得 【详解】由得， ，又，，所以，所以，A正确； ，D正确； 结合可得，，B正确； ，C不正确． 故选：ABD． 11. 关于函数，实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将函数化为分段函数形式，作出函数图象，数形结合可判断A，结合及基本不等式判断B，利用表示出，结合范围确定范围判断CD． 【详解】因为， 当时，则， 当时，则，所以的图象如下所示： 对于A，因为实数，满足，且， 即与的图象有两个交点， 由图可知，故A正确； 对于B，因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以等号不成立，即， 则，所以，即， 因为，所以，故B正确； 对于C，当时，则，即，又，即， 所以，即， 又，所以，所以， 则，又， 所以，所以，即，故C错误； 对于D，由C选项知，所以当时， 所以，所以，所以， 即，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：本题考查方程根的分布问题，解题方法是把方程根转化为函数图象与直线的（函数图象）的交点问题，作出函数图象后利用数形结合思想得出根与参数关系，从而求得结论． 三、填空题（本题共3题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则________． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据分段函数的定义及对数、指数的运算法则计算． 【详解】由已知， ，， 所以， 故答案为：2025． 13. 定义运算，已知函数，若恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义确定的解析式，得出的最大值，然后解相应的不等式可得参数范围． 【详解】由，得， 因为函数和都是上的增函数， 所以在上单调递增， 又时，，所以方程有唯一解； 函数和的图象如下： 根据，可得，函数的图象如下： 由恒成立，得恒成立，即， 由图可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 所以，则，解得或， 则的取值范围是 故答案为：． 14. 已知，若方程有四个根，，，，且，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】方程的四个根转化为函数的图象与函数的图象有四个交点的横坐标，由图象可得，，，然后结合勾形函数的性质得所求取值范围． 【详解】因为方程有四个根，，，， 故函数的图象与函数的图象有四个交点， 它们的横坐标分别为，，，，如图所示， 当时，，且，故， 当时，，且，所以，解得， 因为函数的图象与函数的图象有四个交点， 由图可得，，故， 所以， 令，，在单调递增， 所以，，故的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合运用，解题关键是把方程的根转化为函数图象与直线的交点的横坐标，由数形结合思想得出根的关系与性质． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中． （1）求出的值和锐角的大小； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值． 【答案】（1）， （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由单位圆与三角函数的定义求解； （2）用诱导公式化简后可得； （3）已知条件代入得，由同角三角函数关系得，再由诱导公式化简后可得． 【小问1详解】 由于点在单位圆上，且是锐角， 可得，，则， 所以，且为锐角，可得； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由（1）可知， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以． 所以 ． 16. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在上是减函数， 证明如下：由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以， 又，，所以， 即，所以函数在上是减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，然后分离参数转化求函数最值． 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是减函数，故，即 ， 因为， 因为，所以有最大值9，所以， 故的取值范围为：． 17. 已知函数． （1）当时，求的定义域及单调递增区间； （2）若关于的方程在上有解，求的最小值． 【答案】（1）定义域为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由对数的真数大于0得定义域，由对数型复合函数的单调性得增区间； （2）问题为方程在有解且恒成立，分离参数转化为，从而转化为用基本不等式求的最小值即可得． 【小问1详解】 当时，， 令，即，解得或， 所以函数的定义域为； 因为在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增； 即的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为关于的方程在上有解， 所以关于的方程在上有解且恒成立， 即在上有解， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 又当时，注意到在上恒成立， 所以的最小值为． 18. 在国家大力推广新能源汽车的背景下，各大车企纷纷加大对新能源汽车的研发投入．某车企研发部有100名研发人员，原年人均投入40万元，现准备将这100名研发人员分成两部分：燃油车研发部和新能源车研发部，其中燃油车研发部有名研究人员．调整后新能源车研发部的年人均投入比原来增加，而燃油车研发部的年人均投入调整为万元． （1）若要使新能源车研发部的年总投入不低于调整前原100名研发人员的年总投入，求调整后新能源车研发人员最少为多少人？ （2）若要使新能源车研发部的年总投入始终不低于燃油车研发部的年总投入，求正整数的最大值． 【答案】（1）34； （2）6 【解析】 【分析】（1）列出新能源车研发部的年人均投入表达式，建立不等式，求得的最大值，即可得到调整后新能源车研发部最少的人数； （2）根据题意，列出不等式，解出含的取值范围表达式，根据基本不等式，即可求得正整数的最大值. 【小问1详解】 由题意，原100名研发人员年总投入为万元， 调整后新能源车研发部共有名研究人员，年人均投入为万元， 则有：，即：，所以， 即燃油车研发部最多有66名研究人员， 所以新能源车研发部人员最少为34人. 【小问2详解】 要使新能源车研发部的年总投入始终不低于燃油车研发部的年总投入， 则有：， 即：，显然， 当且仅当即时，取“＝”， 所以，即正整数的最大值为6. 19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）不是，理由：假设为“伪奇函数”，∴存在满足， ∴有解，化为，无解， 不是“伪奇函数”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推导出矛盾的结论即可得证； （2）由幂函数定义求得解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围； （3）将问题转化为“”在R上有解，然后通过换元法，结合二次函数的零点分布知识求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为幂函数，∴，∴． ∴， ∵为定义在的“伪奇函数”， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，∴在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，， ∴，，∴的值域为， ∴，∴； 【小问3详解】 设存在满足，即在上有解， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，取等号时， ∴在上有解， ∴在上有解（*）， ∵，解得， 记，且对称轴， 当时，在上递增， 若（*）有解，则，∴， 当时，在上递减，在上递增， 若（*）有解，则，即，此式恒成立，∴， 综上可知，． 【点睛】方法点睛：本题考查新定义问题，有判断与新定义有关的问题时可能用反证法，这样可能通过新定义进行转化，然后证得结论．本题(2)(3)小题都是通过新定义转化为方程在某个区间有解问题，再利用已知函数知识求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $