第02讲 任意角的三角比（3大知识点+7大题型+过关测试）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第02讲 任意角的三角比 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.借助单位圆理解任意角三角比(正弦、余弦、正切、余切)的定义．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用。会利用同角三角比的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(重点、难点) 2．掌握任意角三角比(正弦、余弦、正切、余切)在各象限的符号．(易错点) 知识点01任意角的三角比 1. 任意角的正弦、余弦、正切、余切 我们将锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限. 在角的终边上任取异于原点的一点，则点与原点的距离为 过P作x轴的垂线垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y. 锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义 ，， ，. 这说明锐角的正弦、余弦、正切及余切可以用角的终边上点的坐标来定义. 这样，就可以对任意给定的角，定义其相应的正弦、余弦、正切及余切. 在任意角的终边上任取异于原点的一点，设其坐标为，并令，必有. 这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为 ， ， （），（）. 【注意】当（），即角的终边位于轴上，无意义；而当（），即角的终边位于轴上时，无意义. 2. 任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 知识点02单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 知识点03同角三角比的基本关系 设角的终边经过异于原点的一点，并记. 由定义，有，，（），（）. 由，就有 . 当时，有 . 当时，有 . 当、都有意义时，有 . 【注意】（1）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：，. （2）利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符 号. 题型一：求任意角三角比的值 1．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，下列说法正确的是（    ）． A．的值越大，梯子越陡； B．的值越大，梯子越陡； C．的值越小，梯子越陡； D．陡缓程度与的三角函数值无关． 2．（23-24高一上·上海·期末）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3.（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，以下命题中所有正确的命题有（    ）个 ①已知的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ②已知的两个三角比的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ③已知的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值 ④已知的值和的符号，则可以确定所有六个三角比的值 A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知角的终边过点，则角的余弦值为 ． 6．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角的终边上的一点，则 . 7．（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的终边在直线上． (1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值； (2)求的值． 题型二：由三角比的值求终边上的点或参数 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知角α的终边与单位圆交于点P，若，则点P的坐标是 ； 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）若角的终边经过点，且，则 . 3．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）若角的终边上有一点，则实数a的值为 ． 题型三：确定角的范围或象限 1．（23-24高一下·上海·期中）在中，“是钝角三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则角的取值范围是 ． 4．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，求角的正弦和余弦值． 题型四：同角三角比的基本关系 1．（24-25高一上·上海·课前预习）结合与完全平方公式，思考与之间的关系. 2．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，是关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A．随的变化而变化 B． C． D． 3．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去．若第一次输入的是，则第2024次输出的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）若，，且为第四象限的角，则实数 ． 5．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设，若存在唯一一组使得成立，其中为实数，则的取值范围是 . 6．（2024高一下·上海·专题练习）化简的结果是 ． 题型五：利用同角三角比的基本关系计算或证明 1．（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，则 ． 3．（2024高一下·上海·专题练习）已知和是关于方程的两个实根． (1)求实数的值； (2)若，求的值． 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值 (1) (2) 5．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）证明： (1). (2)已知，，求证： 题型六：单位圆 1．（20-21高一下·上海·课后作业）以下不可能是的值的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）设是正整数，集合，若集合A有100个元素，则（    ） A．200或198 B．199或200 C．198或197 D．199或198 3．（20-21高一下·上海普陀·阶段练习）在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点 （1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B的坐标； （2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； （3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值. 题型七：sinα±cosα和sinα·cosα的关系 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 3．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，，则的值为 ； 4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知、是方程的两个实数根． (1)求实数的值； (2)求的值； (3)若,，求的值 5．（2024高一下·上海·专题练习）已知 (1)求的值； (2)求的值． 一、单选题 1．（23-24高一下·上海静安·期末）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为（    ） A．第一或第二 B．第二或第三 C．第三或第四 D．第四或第一 二、填空题 5．（22-23高一下·上海青浦·期中）若点是角终边上的一点，则 6．（23-24高一下·上海·期中）已知的终边过点，则 ． 7．（23-24高一下·上海·期末）已知角的终边经过点，则 . 8．（23-24高一下·上海·期中）已知角的终边上有一点，则 . 9．（23-24高一上·上海·期末）已知角是第四象限角，且，则 ． 10．（22-23高一下·上海静安·期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则 ． 11．（23-24高一下·上海·期中）已知角的终边经过点，则的值为 . 12．（22-23高一下·上海黄浦·期中）若点是角终边上的一点，且，则的值是 . 13．（23-24高一下·上海·期末） “，”是“”成立的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要” ） 14．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知，且，则 ； 15．（23-24高一下·上海·期末）若，且，则 ． 16．（23-24高一下·上海·期中）已知，且是第三象限的角，则 . 17．（22-23高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题的序号是 . 18．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知，则的取值范围是 . 三、解答题 19．（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 20．（22-23高一上·上海徐汇·期末）根据下列条件求、的值． (1)已知； (2)已知． 21．（22-23高一上·上海杨浦·期末）已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 22．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 任意角的三角比 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.借助单位圆理解任意角三角比(正弦、余弦、正切、余切)的定义．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用。会利用同角三角比的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(重点、难点) 2．掌握任意角三角比(正弦、余弦、正切、余切)在各象限的符号．(易错点) 知识点01任意角的三角比 1. 任意角的正弦、余弦、正切、余切 我们将锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限. 在角的终边上任取异于原点的一点，则点与原点的距离为 过P作x轴的垂线垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y. 锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义 ，， ，. 这说明锐角的正弦、余弦、正切及余切可以用角的终边上点的坐标来定义. 这样，就可以对任意给定的角，定义其相应的正弦、余弦、正切及余切. 在任意角的终边上任取异于原点的一点，设其坐标为，并令，必有. 这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为 ， ， （），（）. 【注意】当（），即角的终边位于轴上，无意义；而当（），即角的终边位于轴上时，无意义. 2. 任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 知识点02单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 知识点03同角三角比的基本关系 设角的终边经过异于原点的一点，并记. 由定义，有，，（），（）. 由，就有 . 当时，有 . 当时，有 . 当、都有意义时，有 . 【注意】（1）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：，. （2）利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符 号. 题型一：求任意角三角比的值 1．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，下列说法正确的是（    ）． A．的值越大，梯子越陡； B．的值越大，梯子越陡； C．的值越小，梯子越陡； D．陡缓程度与的三角函数值无关． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】直接由三角函数的定义以及实际意义即可得解. 【详解】根据“锐角的正弦、余弦、正切”的定义，点A竖立墙面的距离是“常数”； 对于A，的值越大，越大，梯子越陡，正确； 对于B，的值越大，越小，梯子越缓，错误； 对于C，的值越小，越小，梯子越缓，错误； 对于D，根据的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，错误． 故选：A. 2．（23-24高一上·上海·期末）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、判断命题的充分不必要条件 【分析】 根据同角三角函数基本关系进行判断即可. 【详解】充分性：若，则，故充分性成立； 必要性：若，则，故必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3.（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、特殊角的三角函数值 【分析】在中，，通过解不等式即可求解. 【详解】在中，，一方面，若，则，所以； 另一方面，若，取，则； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，以下命题中所有正确的命题有（    ）个 ①已知的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ②已知的两个三角比的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ③已知的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值 ④已知的值和的符号，则可以确定所有六个三角比的值 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用三角函数的定义，逐一判断各个命题即得. 【详解】依题意，，，，， 给定，可求出，，，，①正确； 已知的两个三角比的值，如给出与的值，由于，相当于只给出其中一个值， 显然值的正负不确定，此时不能确定的其余四个三角比的值，②错误； 由的值，可求出的值，由及可求出， 进而可求出，因此的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值，③正确； 由的值，可求出的值，由结合的符号可求出， 进而可求出，，，④正确， 所以所有正确的命题有3个. 故选：B 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知角的终边过点，则角的余弦值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】 根据三角函数的定义，结合点的坐标，即可求得结果. 【详解】根据三角函数定义可得：，故角的余弦值为. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角的终边上的一点，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用三角函数的定义即可求解. 【详解】因为钝角的终边上的一点，所以，则，故， 故答案为： 7．（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的终边在直线上． (1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，  ； (2) 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）求出点的坐标，再根据三角函数的定义求解即可； （2）任取的终边上一点，，分两种情况，根据三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）因为点的横坐标为， 所以， 即点的坐标为， 所以， 所以， ， （2）设的终边上任一点为， 则， 当时，， 所以， ， 所以； 当时，， 所以，， 所以； 综上：的值为0． 题型二：由三角比的值求终边上的点或参数 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知角α的终边与单位圆交于点P，若，则点P的坐标是 ； 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义即可得解. 【详解】由题意可得点P的坐标是，即. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）若角的终边经过点，且，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】借助三角函数定义计算即可得. 【详解】由三角函数定义可知， 即，解得. 故答案为：. 3．（22-23高一下·上海青浦·阶段练习）若角的终边上有一点，则实数a的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】利用终边上的点表示出，然后解方程即可. 【详解】角的终边上有一点, 则， ， 解得. 故答案为：. 题型三：确定角的范围或象限 1．（23-24高一下·上海·期中）在中，“是钝角三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据钝角三角形的定义结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若是钝角三角形，但不能确定那个角为钝角，故不能推出， 例如，可知是钝角三角形， 但，即充分性不成立； 若，且， 可知角A为钝角，所以是钝角三角形，即必要性成立； 综上所述：“是钝角三角形”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高一上·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用平方关系求参数、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由解得或，然后对、分别进行讨论，即可得出结果. 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 若，则，，此时所在象限是第四象限； 若，则，，此时所在象限是第二象限， 所以为第二象限或第四象限角. 故选：C. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则角的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】首先构造函数，利用定义法证明函数恒单调递增，则将原不等式变形后可得，由单调性可得，则答案可求. 【详解】构造函数，令， 则 ， 所以在R上单调递增， 原式变形得，即 所以，又，则. 故答案为：. 4．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，求角的正弦和余弦值． 【答案】,或， 【难度】0.85 【知识点】由条件等式求正、余弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用同角三角函数关系式联立方程组解出即可. 【详解】由，① 又，② 由①得：代入②有 ， 所以， 即， 当时，， 当时，. 题型四：同角三角比的基本关系 1．（24-25高一上·上海·课前预习）结合与完全平方公式，思考与之间的关系. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】计算结合即可得解. 【详解】因为， 又， 所以. 2．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，是关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A．随的变化而变化 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、由条件等式求正、余弦、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由题意，利用根与系数的关系，结合同角三角函数的基本关系、完全平方关系及判别式求解即可. 【详解】因为，是关于x的方程的两个根， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 由题意，是关于x的方程的两个根， 所以或， 所以， 所以， 故选：D. 3．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去．若第一次输入的是，则第2024次输出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据题意可代入求解前几次的输出结果，即可根据周期性求解. 【详解】由已知可得第一次输出的是， 第二次输出的是， 第三次输出的是． 于是，可知周期为3，,所以第2024次输出的是， 故选：． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）若，，且为第四象限的角，则实数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合角所在象限求出. 【详解】由，，为第四象限的角，得，则， 又，则，解得. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设，若存在唯一一组使得成立，其中为实数，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】用换元法，设，由已知方程有唯一解，故判别式等于零，再结合同角三角函数平方和为解出. 【详解】，设，则 是唯一的， ，与联立得 设，则 在上有唯一解，设， 或（舍）或 当时，最大值为2，符合题意， 当时，取值可能大于2，故舍， 综上， 故答案为：. 6．（2024高一下·上海·专题练习）化简的结果是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用立方和公式化简，结合 即可求解． 【详解】 ． 故答案为：． 题型五：利用同角三角比的基本关系计算或证明 1．（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将分式中的分子分母同时除以即弦化切即可求解. 【详解】由题. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用同角基本关系式，结合正余弦的齐次式法即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 3．（2024高一下·上海·专题练习）已知和是关于方程的两个实根． (1)求实数的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据根与系数的关系结合同角三角函数的关系求解即可； （2）由已知可得，化简后结合（1）的结果可求得答案. 【详解】（1）、是关于的方程的两个根， ，， ，解得或， 由，得或， ； （2）， 又由（1）可得，， ， ． 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）分子分母同时除以将弦化切即可求解. （2）利用将式子进行变形为分式齐次式形式，再进行弦化切即可求解. 【详解】（1）由题. （2）因为， 故 . 5．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）证明： (1). (2)已知，，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用作差法结合同角三角函数的平方关系可证得结论成立； （2）由已知条件可得，，再利用同角三角函数的平方关系计算可证得结论成立. 【详解】（1）证明：因为 ， 因此，. （2）证明：因为，，则，， 所以，. 故结论得证. 题型六：单位圆 1．（20-21高一下·上海·课后作业）以下不可能是的值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 【分析】根据的取值范围进行判断即可. 【详解】因为，、、均在范围之内，， 所以不可能是的值， 故选：D. 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）设是正整数，集合，若集合A有100个元素，则（    ） A．200或198 B．199或200 C．198或197 D．199或198 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】单位圆与周期性、根据集合中元素的个数求参数 【分析】原问题等价于单位圆盘n等分后，相应横坐标的所有可能数与n的对应关系，值得注意的是考虑上半圆盘以及即可. 【详解】如果集合A有100个元素，等价于单位圆盘n等分后，即相应横坐标的所有可能数为100， 则可能是和上半圆盘与下半圆盘各99个点的横坐标（它们关于轴对称），即此时 还有一种可能：即和，以及上半圆盘与下半圆盘各98个点的横坐标（它们关于轴对称）， 即此时， 综上所述，若集合A有100个元素，则或． 故选：D 3．（20-21高一下·上海普陀·阶段练习）在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点 （1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B的坐标； （2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； （3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值. 【答案】（1）；（2）；（3）。 【难度】0.85 【知识点】由单位圆求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）设点在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得再根据题意可知点在角的终边上，且，根据诱导公式即可求出点的坐标； （2）由题意利用任意角的三角函数的定义求得和的值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值； （3）由题意，角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，再利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，可得，平方可得，再利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】（1）设点在角的终边上， 又，则， 所以点在角的终边上，且， 所以点的横坐标为，纵坐标为，即点坐标为. （2）∵顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于， ∴，且，求得， 则，， 则 ． （3）角和角一个在第一象限，另一个在第二象限， 不妨假设在第一象限，则在第二象限， 根据题意可得，且， ∴，， ∴， 即，平方可得，，当且仅当时，取等号． ∴，当且仅当时，取等号，故当时，取得最大值为． 题型七：sinα±cosα和sinα·cosα的关系 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先利用的奇偶性与单调性，结合换元法将问题转化为恒成立，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】因为是在上的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由， 得， 所以， 令，则， 所以，即， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为恒成立，所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、利用平方关系求参数 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【详解】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 3．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，，则的值为 ； 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由求得，从而判断出的范围，进而可求出的值，得到的值. 【详解】将平方得， 所以， 因为，所以，所以， 而 所以 所以 故答案为： 4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知、是方程的两个实数根． (1)求实数的值； (2)求的值； (3)若,，求的值 【答案】(1)； (2)； (3) 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）利用韦达定理结合平方关系即可求解； （2）切化弦化简即可求解； （3）由韦达定理求出即可求解. 【详解】（1）因为、是方程的两个实数根， 由韦达定理得，， 由， 则， 所以；满足. （2） ； （3）因为，所以①，， 所以， 因为,，所以，，②， 所以由①②可得， 所以． 5．（2024高一下·上海·专题练习）已知 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)16 (2) 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】因为，两边平方得原式通分、化简，代入求值； 根据同角平方和的关系，即可求解，即可联立方程求解正余弦的值，进而根据代入正切的公式即可求值． 【详解】（1）因为， 所以， 所以． 所以； （2）因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 由可得． 所以． 一、单选题 1．（23-24高一下·上海静安·期末）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】借助象限角的三角函数符号判断即可得. 【详解】由，则角的终边所在的象限为第三象限. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件、特殊角的三角函数值 【分析】根据，得出值即得答案. 【详解】因为，所以或，所以是的充分非必要条件. 故选A. 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由三角函数定义计算即可得. 【详解】由三角函数定义可得，解得. 故选：C. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为（    ） A．第一或第二 B．第二或第三 C．第三或第四 D．第四或第一 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】变形得到，故，得到所在象限. 【详解】， 故且，故角的终边所在的象限为第一或第二象限. 故选：A 二、填空题 5．（22-23高一下·上海青浦·期中）若点是角终边上的一点，则 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、利用定义求某角的三角函数值 【分析】由终边上的点及三角函数的定义求余弦值即可. 【详解】由三角函数定义. 故答案为： 6．（23-24高一下·上海·期中）已知的终边过点，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先根据求出，再根据三角函数定义求出即可求解. 【详解】由题得， 所以， 所以. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期末）已知角的终边经过点，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据正切定义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海·期中）已知角的终边上有一点，则 . 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用正切函数定义求解即得. 【详解】角的终边上有一点，则. 故答案为： 9．（23-24高一上·上海·期末）已知角是第四象限角，且，则 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据同角三角函数关系和各象限三角函数值的特征进行求解即可. 【详解】因为角是第四象限角，所以， 因为，所以. 故答案为： 10．（22-23高一下·上海静安·期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、利用定义求某角的三角函数值 【分析】根据角的终边上的点的坐标，结合三角函数的定义，列式计算，即得答案. 【详解】由题意得点到原点O的距离为， 故由得，解得， 故答案为： 11．（23-24高一下·上海·期中）已知角的终边经过点，则的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义求解即可. 【详解】由角的终边经过点，得， 所以. 故答案为：. 12．（22-23高一下·上海黄浦·期中）若点是角终边上的一点，且，则的值是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义列式求解，注意三角函数符号的判断. 【详解】由题意可得：，且， 解得或（舍去）， 所以的值是. 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海·期末） “，”是“”成立的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要” ） 【答案】充分不必要 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、特殊角的三角函数值 【分析】，，反之不成立，例如．即可判断出关系． 【详解】，，反之不成立，例如． 因此，”是“”成立的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 14．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知，且，则 ； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用同角三角函数的基本关系式，先求出，然后求得. 【详解】因为，且，所以， 则. 故答案为：. 15．（23-24高一下·上海·期末）若，且，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由条件等式求正、余弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由已知条件结合平方和关系求出和即可求. 【详解】因为，所以， 又即， 故由平方和关系得即， 所以即，故， 所以. 故答案为：. 16．（23-24高一下·上海·期中）已知，且是第三象限的角，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用同角三角函数基本关系式，即可求解. 【详解】若，且是第三象限的角， 则. 故答案为： 17．（22-23高二下·上海浦东新·期末）下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题的序号是 . 【答案】② 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、三角函数定义的其他应用、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据三角函数的概念结合象限角、终边相同的角的概念判断每个命题即可. 【详解】当时，，此时不是象限角，则①错； 是第三象限角，则，，所以， 反之，若，则，是第三象限角， 所以且是为第三象限角的充要条件，则②正确； 若满足，但角和角的终边不相同，则③错； 当时，满足，但，不满足，则④错； 所以真命题的序号为②. 故答案为：② 18．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据题意得到，求得或，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 解得或， 又由 因为，或，所以. 故答案为：. 三、解答题 19．（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）显然，故则，解得. （2） 20．（22-23高一上·上海徐汇·期末）根据下列条件求、的值． (1)已知； (2)已知． 【答案】(1), (2)当为第一象限的角时，,  ， 当为第二象限的角时，，. 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）由同角基本关系式及的象限求解； （2）由同角基本关系式，并分的象限求解. 【详解】（1）由于，则， 所以，; （2）由于，所以为第一象限或第二象限的角， 当为第一象限的角时，，                       ， 当为第二象限的角时，，                       . 21．（22-23高一上·上海杨浦·期末）已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】利用平方关系求参数、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案； （2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可. 【详解】（1）、是关于的方程的两个根， ，解得或，则，， ， 解得或（舍），故； （2） . 22．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知，计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）令换元，得到关于的表达式，代入已知等式求得，从而求得的值； （2）利用三角函数的基本关系式化简所求即可得解； （3）利用立方和公式将所求转化为与的表达式，从而得解； （4）利用完全平方公式，结合配方法即可得解. 【详解】（1）因为， 令，则，， 所以，整理得，解得或， 又，故，即， 所以，即. （2）因为， 所以. （3）因为，， 所以 . （4）因为， 所以 . 23．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）先求出的值，在分式的分子分母中同时除以，实现弦化切，再将的值代入分式计算即可； （2）首先将原式变形为，再将齐次分式化简为表示，计算求值 【详解】（1）由， 所以 （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$