专题14 代数、函数综合训练（一元二次方程、概率、反比例函数、二次函数）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题14 代数、函数综合训练 （一元二次方程、概率、反比例函数、二次函数） 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知一元二次方程，则方程的根情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 2．（2024·湖北宜昌·一模）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（   ） A．某运动员在某种条件下“射中9环以上”的概率B．投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数的概率 C．某种柑橘在某运输过程中的损坏率 D．某种幼苗在一定条件的移植成活率 4．（24-25九年级上·湖南永州·期中）关于反比例函数，下列说法中错误的是（   ） A．时，y随x的增大而减小 B．当时， C．它的图象与坐标轴无交点 D．当时，y有最小值 5．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线与y轴交点的坐标是 6．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山西运城·期中）稷山麻花—家的味道，稷山饼子—老家的味道，稷山鸡蛋—妈妈的味道，稷山板枣—幸福的味道，“稷山四宝”走进了千家万户，小明的妈妈准备从中选择两种邮寄给外地的朋友，小明将分别写有“麻花”“饼子”“鸡蛋”“板枣”的四张卡片（除正面文字外，其余完全相同）背面朝上放在桌子上，然后随机抽取两张，则恰好抽到“麻花”“板枣”的概率是 ． 8．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 9．（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 10．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根、满足，求a的值； 11．（24-25九年级上·陕西西安·期中）2024年10月1日到7日，西安城墙景区开展“金秋共庆华诞·盛世同绘宏图”2024西安城墙国庆主题系列活动，通过非遗文化展演、唐文化互动主题演出．机器人巡游等内容，展现西安城墙活力新风尚．小明和小亮准备到这三个展区（分别记作）参加志愿服务活动． (1)若小明在这3个展区中随机选择1个展区，则选中机器人巡游的概率是_______；(2)小明和小亮在三个展区中，各自随机选择1个展区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同展区的概率． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资金额成正比；乙产品的利润与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点、、的坐标分别为，，．(1)分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式； (2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利； (3)该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 13．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）自今年4月底以来，惠水县好花红乡村旅游区的桔香花海山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为 ． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？(3)当围成的售卖区只有一种围法时，求墙长a的取值范围． 1．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）根据所给的表格，估计一元二次方程的解的近似范围（   ） x A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 3．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界练上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤ (其中)，其中正确的结论有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，点B在y轴上，轴．延长交x轴于点D，过点D作轴，交经过A，C两点的函数图象于点E，连接．当的面积为2时，k值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 6．（24-25九年级上·河北沧州·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 7．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）中国是“石头、剪刀、布”游戏的起源地，早在汉朝时期就开始流行这种手势的猜拳游戏．这个游戏古老而简单，其主要目的是为了解决争议．2024年，薛之谦巡回演唱会曲靖站1月13，14日在曲靖文化体育公园体育场进行，李丽和程飞都想去，但只有一张票，李丽和程飞用“石头、剪刀、布”的手势方式进行决策，谁赢谁去．游戏规则是“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负”．(1)李丽和程飞两人同时出“石头”的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，判断这个游戏规则对李丽、程飞双方是否公平？请说明理由． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程： 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴； 当时，即，∴； ∴原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程： 将其变形为；∴， ∴，∴， ∴，∴或， ∴原方程有三个根：，， (1)仿照以上方法解方程：①；②； (2)已知：，且，则的值为________． 9．（24-25九年级上·福建福州·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根等于另一根的倍，那么称这个方程为“系方程”．(1)若一元二次方程是“系方程”，求的值；(2)若一元二次方程是“系方程”，求证：． 10．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式；②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 11．（2024·四川眉山·二模）阅读材料，完成下列问题： 因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……②  即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数． (1)若，，求、的算术平均数和几何平均数； (2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值； (3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标． 12．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点．(1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标．(2)请直接写出的解集．(3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点A在x轴正半轴上，另一个顶点C的坐标为，D是抛物线上一点，且在x轴上方，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图所示，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；如此进行下去，直至得，若在第段抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和一元二次方程，可得．如，解根号下含有未知数的方程，可以通过方程两边平方把它转化为．解．再如求式子的最小值，可以得，整理得，当时，；当，方程有解， ，即，所以最小值为． (1)解下列方程：①，② (2)根据材料给你的启示，求函数的最小值． 6．（24-25九年级上·山西·阶段练习）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性来解决某些问题． 例：求代数式的最大值 解：原式． ，，的最大值为． 【探索探究】（1）若k，h满足，则__________，__________． （2）若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的周长． 【拓展应用】（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长．根据勾股定理，可得．我们把关于x的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”．已知代数式的最小值是勾系一元二次方程的一个根，且四边形的周长为，试求四边形的面积． 7．（24-25九年级上·福建漳州·期中）在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点…… 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现是三角形前行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前行的点数 ①， 由①式倒序： ②， ①②： 所以，即前行点数为个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】(1)根据以上材料，解决前面所提出的问题； 【应用延伸】(2)如图3，该点阵的点数从上到下依次为：，，，，，，这个点阵的点数和能是吗？请说明理由． 8．（24-25八年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． (1)已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积；②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值；(2)已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，二次函数与轴交于点和，与轴交于点．(1)求二次函数的表达式和直线的表达式；(2)若点为二次函数的顶点，连接，求的面积．(3)将（1）中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线，若抛物线与直线交于两点，点是抛物线上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 代数、函数综合训练 （一元二次方程、概率、反比例函数、二次函数） 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知一元二次方程，则方程的根情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵，，，，∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：A． 2．（2024·湖北宜昌·一模）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程解的意义．根据一元二次方程解的意义，得到，再根据根与系数的关系，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得：是一元二次方程的实数根，，， 又、是一元二次方程的两个实数根，， ，故选：B． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（   ） A．某运动员在某种条件下“射中9环以上”的概率B．投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数的概率 C．某种柑橘在某运输过程中的损坏率 D．某种幼苗在一定条件的移植成活率 【答案】B 【分析】此题是频率估计概率，主要考查了概率的几种求法．根据例举法和频率估计概率的特点确定正确的选项即可． 【详解】解：A、某运动员在某种条件下“射中9环以上”的概率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合题意；B、一枚均匀的骰子只有六个面，即：只有六个数，不是奇数，便是偶数，能一一的列举出来， 既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得概率；故符合题意； C、某种柑橘在某运输过程中的损坏率，只能用列举法，不能用频率求出；故不符合题意； D、某种幼苗在一定条件下的移植成活率，只能用频率估计，不能用列举法；故不符合题意；故选：B． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期中）关于反比例函数，下列说法中错误的是（   ） A．时，y随x的增大而减小 B．当时， C．它的图象与坐标轴无交点 D．当时，y有最小值 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的单调性、所在的象限进行判断即可． 【详解】解：A、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；故本选项正确，不符合题意； B、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，故本选项正确，不符合题意； C、，反比例函数位于第一、三象限，与坐标轴无交点，故本选项正确，不符合题意； D、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，或，则无最小值，故本选项错误，符合题意；故选：D． 5．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线与y轴交点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的性质，找到函数的开口方向、对称轴、与轴交点坐标及增减性后即可得到答案． 【详解】解：中，∵，∴抛物线开口向上，故选项A说法错误，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线，故选项B说法错误，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C说法正确，符合题意； 当时，，∴抛物线与y轴交点的坐标是，故选项D说法错误，不符合题意；故选：C． 6．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，小路此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当时，即，解得：（舍去），， 所以小宇此次实心球训练的成绩为．故选：B． 7．（24-25九年级上·山西运城·期中）稷山麻花—家的味道，稷山饼子—老家的味道，稷山鸡蛋—妈妈的味道，稷山板枣—幸福的味道，“稷山四宝”走进了千家万户，小明的妈妈准备从中选择两种邮寄给外地的朋友，小明将分别写有“麻花”“饼子”“鸡蛋”“板枣”的四张卡片（除正面文字外，其余完全相同）背面朝上放在桌子上，然后随机抽取两张，则恰好抽到“麻花”“板枣”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用树状图求概率，把“麻花”“饼子”“鸡蛋”“板枣”分别记作A，B，C，D．画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：把“麻花”“饼子”“鸡蛋”“板枣”分别记作A，B，C，D．画树状图如图所示： 由图可得共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片所写的都属于A和D的结果数为2，则恰好抽到“麻花”“板枣”的概率是，故答案为： 8．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．求出判别式，解不等式即可，注意二次项系数不为零． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：， ∵，∴的取值范围是且，故答案为：且． 9．（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人(2)第三轮感染后，患流感的共有1024人 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：，解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 10．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根、满足，求a的值； 【答案】(1)见解析(2)或 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系．（1）根据根的判别式，即可判断；（2）利用根与系数关系求出，，即，从而列出关于的方程，解出即得出结果． 【详解】（1）证明：∵，该方程总有两个实数根； （2）解：方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，， ， 即，或，∴或． 11．（24-25九年级上·陕西西安·期中）2024年10月1日到7日，西安城墙景区开展“金秋共庆华诞·盛世同绘宏图”2024西安城墙国庆主题系列活动，通过非遗文化展演、唐文化互动主题演出．机器人巡游等内容，展现西安城墙活力新风尚．小明和小亮准备到这三个展区（分别记作）参加志愿服务活动． (1)若小明在这3个展区中随机选择1个展区，则选中机器人巡游的概率是_______；(2)小明和小亮在三个展区中，各自随机选择1个展区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同展区的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选中机器人巡游的结果有1种，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选到相同展区的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选中机器人巡游的结果有1种， 选中机器人巡游的概率是．故答案为：． （2）列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选到相同展区的结果有3种， 小明和小亮选到相同展区的概率为． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资金额成正比；乙产品的利润与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点、、的坐标分别为，，．(1)分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式； (2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利； (3)该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 【答案】(1)；(2)该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过12万元资金才能使企业获利(3)该企业至少要筹集到80万元资金 【分析】本题考查正比例函数、二次函数的应用；（1）由待定系数法即可求解；（2）当时，解方程，即可求解；（3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元，进而求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设甲产品的利润为：， ∵在函数图象上，∴，解得：，∴甲产品的利润与投资之间的关系式为； 设乙产品的利润与投资金额的函数关系为： 将代入得，解得：∴， （2）当时，，解得：． ∴该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过万元资金才能使企业获利； （3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元，∴ 函数y的对称轴为直线，当时，， ∴，解得：，答：该企业至少要筹集到80万元资金． 13．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）自今年4月底以来，惠水县好花红乡村旅游区的桔香花海山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为 ． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？(3)当围成的售卖区只有一种围法时，求墙长a的取值范围． 【答案】(1)(2)售卖区的长为，宽为或长为，宽为．(3)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为，可得平行于墙的边长为，整理即可； （2）根据矩形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论； （3）根据（1）的结论可分、及三种情况，找出题目解的个数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵售卖区垂直于墙的边的长为， ∴边的长为． （2）解：依题意，得，整理，得，解得，． 当时，；当时，． 答：售卖区的长为，宽为或长为，宽为． （3）解：结合（2）可得：当时，不能围成售卖区，题目无解； 当时，围成的售卖区只有一种围法，题目只有一个解； 当时，围成的售卖区有两种围法，题目有两个解． 综上所述，当时，围成的售卖区只有一种围法， 即的取值范围是． 1．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）根据所给的表格，估计一元二次方程的解的近似范围（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是，故选：． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设，原方程变形为， 整理得：，解得：， 当时，，即，此时； 当时，，即，此时； 此时方程无实数根；故选：B． 3．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界练上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．设不规则图案的面积为，则有 解得：， 即不规则图案的面积为．故选：B． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤ (其中)，其中正确的结论有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，，，，，故此项不符合题意． ②∵抛物线与轴有两个交点，，故此项不符合题意． ③当时，，所以，故此项不符合题意． ④根据抛物线的对称性，可知：当时，． ∵，，代入得得，故此项符合题意． ⑤当时，的值最大，此时，而当时，， ，故，即(其中)，故此项符合题意． 综上所述，符合题意的有④⑤共2个．故选：A． 5．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，点B在y轴上，轴．延长交x轴于点D，过点D作轴，交经过A，C两点的函数图象于点E，连接．当的面积为2时，k值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】作轴交于点，轴，垂足为，设点，则，由平行线分线段成比例定理可知为中位线，得，则，，根据的面积为2列出求出值即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 【详解】解：作轴交于点，轴，垂足为， 设点，在中，点在轴上，，轴．，即C是的中点， ∵，，∴，∴H是的中点，为中位线， ，则，，的面积为2，，解得：．故选：B． 6．（24-25九年级上·河北沧州·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①将代入的倒方程求出的值即可作出判断； ②利用和根的判别式进行判断即可；③确定倒方程的判别式与零的关系即可作出判断； ④解一元二次方程与它的倒方程构成的方程组即可作出判断； 【详解】解：①∵的倒方程是， 又∵是的倒方程的解，∴，解得：，故结论①正确； ②一元二次方程是一元二次方程的倒方程， ∵，∴，∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故结论②正确； ③∵一元二次方程无解，∴，∴， ∵一元二次方程的倒方程是， 又∵，∴它的倒方程也无解，故结论③正确； ④∵一元二次方程与它的倒方程有相同的根， ∴解得：，∴这个根一定是，故结论④错误， 综上所述，正确的结论是①②③．故答案为：①②③． 【点睛】本题考查倒方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元一次方程，解方程组．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 7．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）中国是“石头、剪刀、布”游戏的起源地，早在汉朝时期就开始流行这种手势的猜拳游戏．这个游戏古老而简单，其主要目的是为了解决争议．2024年，薛之谦巡回演唱会曲靖站1月13，14日在曲靖文化体育公园体育场进行，李丽和程飞都想去，但只有一张票，李丽和程飞用“石头、剪刀、布”的手势方式进行决策，谁赢谁去．游戏规则是“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负”．(1)李丽和程飞两人同时出“石头”的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，判断这个游戏规则对李丽、程飞双方是否公平？请说明理由． 【答案】(1)(2)公平，理由见解析 【分析】（1）依据题意用列表法或画树状图法分析所有可能的出现结果；（2）根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是：熟练掌握列表法或树状图法求概率． 【详解】（1）解：用列表法得出所有可能的结果如下： 李丽 程飞 石头 剪子 布 石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） （布，布） 两人同时出“石头”的概率是：， （2）解：裁判员的这种作法对双方是公平的． 理由：根据表格得，（李丽获胜），（程飞获胜）． ∵（李丽获胜）（程飞获胜），∴裁判员这种作法对双方是公平的． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程： 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴； 当时，即，∴； ∴原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程： 将其变形为；∴， ∴，∴， ∴，∴或， ∴原方程有三个根：，， (1)仿照以上方法解方程：①；②； (2)已知：，且，则的值为________． 【答案】(1)①，．②，， (2) 【分析】本题考查了解高次方程化一元二次方程，换元法解一元二次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．（1）①仿照题中所给方法，换元法求解四次方程即可．②仿照题中所给方法，因式分解法求解三次方程即可．（2）先公式法求解，根据题意对所给代数式进行“降次”，再将代入原式化简，得，再代入即可求解． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴；当时，即，∴方程无解； ∴综上可得原方程有两个根：，． ②将变形为，∴， ∴，∴， ∴，∴或， ∴原方程有三个根：，，． （2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴， 又∵，，，， 将代入上式可得，故答案为：． 9．（24-25九年级上·福建福州·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根等于另一根的倍，那么称这个方程为“系方程”．(1)若一元二次方程是“系方程”，求的值；(2)若一元二次方程是“系方程”，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（）设、是的两个实数根，由根和系数的关系可得，，据此即可求解；（）由方程可得，， ，进而得或，得到或，分别代入方程计算即可求证；本题考查了一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程，理解方程的新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设，是的两个实数根， ，，∴，∴； （2）证明：由可得，， ， ∴方程是“系方程”，∴或，∴或，即或， ①当时，； ②当时，；综上所述，． 10．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式；②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)(2)①，②60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为m，利用该品牌头盔6月份的销售量该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；（2）①利用月销售量（该品牌头盔的售价），即可找出y关于x的函数关系式；②利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为m， 依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：①依题意，得：； ②依题意，得：，解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠，∴．答：该品牌头盔的实际售价应定为60元． 11．（2024·四川眉山·二模）阅读材料，完成下列问题： 因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……②  即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数． (1)若，，求、的算术平均数和几何平均数； (2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值； (3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标． 【答案】(1)算术平均数为4，几何平均数为 (2)时，代数式有最小值，最小值为0(3)25， 【分析】（1）根据算术平均数和几何平均数的定义求解；（2）将原式变形为，根据求解；（3）设，则，，四边形面积，根据即可求解． 本题考查新定义运算，反比例函数，坐标与图形，解题的关键是运用． 【详解】（1）解：，时，、的算术平均数为：， ，的几何平均数为：； （2）解：，，， ，当时，等号成立，解得，或（舍去）， ，即时，代数式有最小值，最小值为0； （3）解：如图，设，则，， ，，，，，， 四边形面积， ，当时，等号成立，解得（负值舍去）， 四边形面积的最小值，此时，即． 12．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点．(1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标．(2)请直接写出的解集．(3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为；正比例函数表达式为； (2)或(3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法确定即可得到表达式，再联立方程组求解即可得到答案；（2）的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合求解即可得答案；（3）由旋转性质，结合直线性质得到，根据点的对称性及中垂线的判定与性质得到，若使是以为底边的等腰三角形，则，结合含的直角三角形性质得到线段，最后由两点之间距离公式列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数图象与正比例函数图象相交于点， ，即反比例函数表达式为；，即正比例函数表达式为； 反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点， 联立，解得或，即； （2）解：的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，如图所示：、，当或时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即的解集是或 （3）解：如图所示：把的图象绕点顺时针旋转得到了， 直线垂直直线，与关于原点对称， 直线是线段的垂直平分线，当在直线上时，由垂直平分线性质可得， 若使是以为底边的等腰三角形，则，此时是等边三角形， 在中，，，则，由勾股定理可得， 设，则，解得或，或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、直线与双曲线的交点、利用图象法解不等式、函数与特殊三角形、中垂线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、两点之间距离公式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与性质、灵活运用相关几何性质是解决问题的关键． 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点A在x轴正半轴上，另一个顶点C的坐标为，D是抛物线上一点，且在x轴上方，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识点，通过点C的坐标确定菱形的边长，再利用三角形面积公式，即可求解，熟练掌握二次函数的性质，菱形的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵菱形顶点C的坐标为，∴，∴， 设点，∴的面积， ∵，故面积有最大值为，故选：A． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解． 【详解】解：∵，∴ 函数的图象和函数图象如下： 由图象可知，不等式的解集是或，故选：B． 3．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图所示，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；如此进行下去，直至得，若在第段抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，由函数解析式可得，即得，由图可知，抛物线在轴的上方，相当于抛物线向右平移个单位得到，据此可得抛物线的解析式为，最后把代入解析式即可求解，正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】解：令，则，解得，，∴，∴， 由图可知，抛物线在轴的上方，相当于抛物线向右平移个单位得到， ∵，∴抛物线的解析式为， ∵若在第段抛物线上，∴，故选：． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 【答案】(1)(2)1或(3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“互为友好方程”的定义． （1）直接根据新定义求解即可； （2）设这个公共根为，可得，有，可解得或； （3）由的两个根为，知，故，，即可得的两根为． 【详解】（1）解：根据定义的友好方程是；故答案为：； （2）设这个公共根为，则，∴， ∵，∴，解得或； （3）∵的两个根为，∴， ∵，∴，∴，， 即，，∴的两根为． 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和一元二次方程，可得．如，解根号下含有未知数的方程，可以通过方程两边平方把它转化为．解．再如求式子的最小值，可以得，整理得，当时，；当，方程有解， ，即，所以最小值为． (1)解下列方程：①，② (2)根据材料给你的启示，求函数的最小值． 【答案】(1)①，，；②(2) 【分析】本题是材料阅读题，考查了运用转化思想解方程，读懂材料是解题的关键．含有二次根式的方程要检验．（1）①方程左边分解因式即可完成求解；②通过方程两边平方即可完成求解； （2）根据材料转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：①， 因式分解得，∴或， 解，即，∴或，解得，，； ②，方程两边平方把它转化为， ，即，∴或，解得，， ∵，∴（舍去），∴； （2）解：，， 整理得，当时，，解得：； 当，方程有解，，∴，∴最小值为． 6．（24-25九年级上·山西·阶段练习）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性来解决某些问题． 例：求代数式的最大值 解：原式． ，，的最大值为． 【探索探究】（1）若k，h满足，则__________，__________． （2）若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的周长． 【拓展应用】（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长．根据勾股定理，可得．我们把关于x的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”．已知代数式的最小值是勾系一元二次方程的一个根，且四边形的周长为，试求四边形的面积． 【答案】（1）；2；（2）13或14；（3） 【分析】本题主要考查了配方法的应用、运用完全平方公式进行计算、等腰三角形的定义，构成三角形的条件，一元二次方程解的定义，勾股定理等知识，（1）利用配方法得到，据此可得答案；（2）利用完全平方公式把已知条件式变形为，再根据非负数的性质得到，，据此分腰长为4和腰长为5，根据构成三角形的条件和勾股定理求出底边上的高，最后根据三角形周长公式求解即可；（3）利用配方法得到求出的最小值，从而得出是的一个根，得到，由四边形的周长为求出，进而得，最后由即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，∴， ∴，∴，，故答案为：，2； （2）由题意，得，， ，，， 分两种情况：①当为腰时，，满足三角形的三边关系， 此时等腰的周长为； ②当为腰时，，满足三角形的三边关系，此时等腰的周长为． 综上所述，等腰的周长为13或14； （3）由题意，得，当时，取得最小值，最小值为， 的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴是方程的一个根，，， 四边形的周长为，，，，， ． 7．（24-25九年级上·福建漳州·期中）在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点…… 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现是三角形前行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前行的点数 ①， 由①式倒序： ②， ①②： 所以，即前行点数为个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】(1)根据以上材料，解决前面所提出的问题； 【应用延伸】(2)如图3，该点阵的点数从上到下依次为：，，，，，，这个点阵的点数和能是吗？请说明理由． 【答案】(1)前行的点数和是；(2)能；理由见解析． 【分析】本题考查一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，根据题目的探究过程列出一元二次方程是解题的关键．（1）理解题意，并按照探究的方法得到，再列出方程，即可求解；（2）设，，依据（1）中的方法可求得：，进而得到，再列出方程并判断是否有符合题意的解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得 ①，由①式倒序： ②， ①②：，所以，即前行点数为个． 当时，解得或（舍），即前行的点数和是； （2）这个点阵的点数和能是，理由如下： 设，， 则，依据（1）中的方法同理可求得：，所以， 当时，解得或（不合题意，舍去）， 所以当时，这个点阵的点数和能是． 8．（24-25八年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． (1)已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积；②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值；(2)已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①的面积为；②(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）①过点作轴于点，利用角平分线的性质可得，再证得，即可求得答案；②过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得，再利用中点坐标可得出，即可求得答案； （2）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：（1）①当时，，如图，过点作轴于点， 则，，，平分，，，， 在和中，，的面积为； ②如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 直线的表达式为，直线的表达式为， 设，则， 点是线段的中点， （2）点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；理由如下： 设，点在直线上，则直线的解析式为 点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点， ， 当点在线段上时，过点作于点，如图， 则，，点是的中点，的纵坐标为 化简得，，， 又点不与点重合，此时不存在点，使得； 当点在线段的延长线上时，过点作于点，如图， 同理可得：当点在线段的延长线上时，不存在点，使得； 综上所述，点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，中点坐标公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，二次函数与轴交于点和，与轴交于点．(1)求二次函数的表达式和直线的表达式；(2)若点为二次函数的顶点，连接，求的面积．(3)将（1）中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线，若抛物线与直线交于两点，点是抛物线上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值． 【答案】(1)，直线的表达式为；(2)；(3)． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）由得抛物线的顶点，过点作轴于，如图，则，从而根据即可得解；（3）由平移得平移后的二次函数表达式为，由，为绕坐标原点逆时针旋转后抛物线上的两点，且，在直线上，记旋转前，的对应点为，得在直线绕坐标原点顺时针旋转后的图像上，设直线绕坐标原点顺时针旋转后的表达式为，求得，进而得，由旋转性质得，过点作直线轴交直线于点，设则，根据铅锤法求得的面积函数，从而利用二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：把和，分别代入，得 解得，，∴抛物线的表达式为， 当时，，∴，设直线的为， 把、分别代入，得，解得∶∴直线的表达式为； （2）解：，∴抛物线的顶点，过点作轴于，如图，则， ∵、，， ． （3）解：∵，二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合， ∴平移后的二次函数表达式为， ∵，为绕坐标原点逆时针旋转后抛物线上的两点，且，在直线上， 记旋转前，的对应点为，∴在直线绕坐标原点顺时针旋转后的图像上， 设直线绕坐标原点顺时针旋转后的表达式为 ∵点、，绕坐标原点顺时针旋转后对应点为，， ∴解得，所以联立 解得，∴， ∵为旋转后抛物线上，左侧动点， ∴旋转前的对应点在上且在直线上方，， 过点作直线轴交直线于点，设则，∴， ∴， 当时，有最大值，∴最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移、旋转的性质，二次函数的性质，待定系数法求二次函数，求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的平移、旋转的性质及二次函数的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$