专题13 反比例函数（二次函数）与几何综合问题（7大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题13 反比例函数（二次函数）与几何综合问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一 与角度综合问题 题型二 与特殊三角形综合问题 题型三 与特殊四边形综合问题 题型四 与定值综合问题 题型五 与定点综合问题 题型六 与新定义相关的综合问题 题型七 与最值相关的问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 与角度综合问题 ⭐技巧积累与运用 反比例函数（或二次函数）与角度综合问题，常见类型：  1）特殊角问题：（1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。 2）角的数量关系问题 （1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决； （2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答； （3）角的和差问题：角度和为90度、45度等。 1．（23-24九年级·长沙·期末）如图1，在平面直角坐标系中，函数（为常数，，）的图象经过点和，直线与轴，轴分别交于，两点. （1）求的度数；（2）如图2，连接、，当时，求此时的值： 【答案】（1）；（2）； 【详解】（1）由，，得，∴， ∴，∴为等腰直角三角形，∴； （2）∵，∴， ∴易得， ∴，∴（舍负）； 2．（2024·成都·中考模拟预测）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；(2)(3) 【详解】（1）当时，．解方程，得，． ∵点A在点B的左侧，且，∴，． 当时，．∴．∴．∵，∴． （2）方法一：如图1，连接AE．∵， ∴，．∴，，． ∵点A，点B关于对称轴对称，∴．∴．∴． ∵，，∴，即． ∵，∴．∴．∵，∴解方程，得． 方法二：如图2，过点D作交BC于点H． 由方法一，得，．∴． ∵，∴， ．∴． ∵，，∴． ∴．∴，即．∵，∴解方程，得． （3）． 设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即． ∵，∴．， ，∴．解得，又，∴． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）利用尺规作图将一个角三等分已经被数学家证明不可能完成，但是数学家帕普斯利用反比例函数图象完成了将一个角三等分，具体方法如下： 第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 第二步：以为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点； 第三步：分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接，得到（如图1），这时．为什么呢？小静想要证明这个结论却没有思路，老师便组织同学们进行了研究讨论．讨论后有以下思路：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点（如图2），此时，四边形便构成了一个矩形；如果我们能再证明三点共线，就可以利用矩形性质证明这个结论了．研究讨论后，小静采用代数设点，设，．请你和小静一起完成下列问题． (1)请你写出的坐标（用含的式子表示）； (2)请你在第（）问的基础上证明三点共线；(3)请证明． 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)证明见解析． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，∴，； （2）证明：设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为，当时，， ∴点在直线上，即三点共线； （3）证明：设和交于点，∵ 轴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴． 与特殊三角形综合问题 ⭐技巧积累与运用 1）等腰三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 2）直角三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 3）相似三角形存在性问题：（1）若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系；①设点坐标；②表示线段长（或点坐标）；③列比例关系式求解；④将点坐标代入到满足的函数关系中求解；（2）若两个相似三角形对应关系末知，则需根据已知三角形分类讨论三角形的对应边关系，再由（1）中的步骤求解即可。 1．（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．    【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为(2)或或 【详解】（1）解：把点代入一次函数得，解得：， 故一次函数的解析式为，把点代入，得，， 把点代入，得，故反比例函数的解析式为； （2）解：，，， 当时，或，当时，点关于直线对称，， 综上所述：点的坐标为或或． 2．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），它的对称轴l与图象交于点P，直线所对应的函数表达式为    (1)请直接写出点P的坐标．(2)若为直角三角形，设直线与这个二次函数的图象的另一个交点为Q． ①求a、c的值与点Q的坐标；②若M为直线l上的点，且以M、B、Q为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点M的纵坐标t的取值范围． 【答案】(1)(2)①，；②或 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，∴点P的横坐标为， ∵直线的表达式为，当时，，； （2）①由抛物线的对称性可知，，∴是等腰直角三角形，    设抛物线的对称轴与x轴交于点E，则轴，， ,, 把代入得， ，解得，∴抛物线的解析式为， 令，解得或，当时，，； ②由题意可知，， 当为直角三角形时，分三种情况： 当为直角时，，即，解得； 当为直角时，，即解得； 当为直角时，，即，解得或， ∴当为锐角三角形时，t的取值范围为或． 3．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．(1)求抛物线的解析式；(2)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)当时，面积有最大值，为(3)、或 【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；（2）分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，当点在下方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线，对称轴为， 抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且， ，，则，解得，，， 将代入得，解得，抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，当时，，解得或， ，当在上方，即时，如图所示：， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，，， ，即，解得（舍去）或； 当时，，， ，即，解得（舍去）或（舍去）； 当在下方，即时，如图所示：， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，，， ，即，解得（舍去）或； 当时，，， ，即，解得（舍去）或； 综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或． 与特殊四边形综合问题 ⭐技巧积累与运用 1）平行四边形存在性问题处理技巧：（平移或中点思想） 关键：对角线互相平分，即对角线中点重合→中点公式。 ①当AB为对角线：xA+xB=xC+xD；yA+yB=yC+yD；②当AC为对角线：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD； ③当AD为对角线：xA+xD=xB+xC；yA+yD=yB+yC。 2）菱形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造等腰三角形，即邻边相等的点。 3）矩形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证直角三角形，即邻边垂直的点。 4）正方形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证等腰直角三角形的点。 注意：“四边形ABCD是 ....”和“以点A、B、C、D为顶点的四边形是....”的区别，前者顺序已定，后者可以随机顺序，需进一步讨论。 1．（2023年泸州市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．(1)求，的值；(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 【答案】(1)，；(2)点D的坐标为或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵直线经过点，∴，解得，，∴直线的解析式为， ∵点C的横坐标为2，∴，∴， ∵反比例函数的图象经过点C，∴； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为，令，则，∴点， 设点，则点， ∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，∴， ∴，整理得或， 由得，整理得，解得， ∵，∴，∴点；由得， 整理得，解得，∵，∴，∴点； 综上，点D的坐标为或． 2．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E．(1) ， ；(2)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，或 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于两点， ∴把代入得解得∴故答案为：； （2）解：存在，或 如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为 设点， ∵四边形为菱形∴即 则 由（2）知，此时∴∴ 即如下图所示： 如图：依题意，当四边形为菱形时 ∵点， ∴ 即 ∵∴∴解得，（舍去） ∴∴ 综上或 3．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2存在，的横坐标为或或或 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标列出关于、的方程组，求解即可；（2）分三种情况：①若是斜边，则；②若是斜边，则；③若是斜边，则，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴，解得：∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线交轴于、两点， 当时，得，解得：或，∴，， 设，则， ， ∵、、、构成的四边形是矩形，∴是直角三角形， ①若是斜边，则，∴， 解得：，，（舍去），（舍去），此时点的横坐标为或； ②若是斜边，则，∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标是； ③若是斜边，则，∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或或或． 4．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；(2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标．    【答案】(1)(2)(3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案；（2）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得，反比例函数的表达式为，     将代入，得解得，一次函数的表达式为，     联立方程组消得，即，解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3，点的坐标为 （3）分两种情况讨论：①当时，如图，过作于， ∵轴，∴， ∵四边形为正方形，∴，， ∴，∴，∴，      ∵，而，同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上，∴点的横坐标为2，当时，，∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，则四边形是矩形，∴，∴， ∵四边形为正方形，∴，，同理可得：，∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴，∴为等腰直角三角形，∴，，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，∴， ∵是的中点，∴，设，，∴， ∴（舍去）或，∴，∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，       同理可得：，，设，则， ∵直线为，∴，， ∴，解得，∴， 当点E在右侧时，同理可得， 设，则，∴，∴， ∵为中点，∴，∴，而在直线上， ∴，解得，且满足分式方程， ∵，∴，∴，综上，点的坐标为，或． 与定值综合问题 ⭐技巧积累与运用 线段比值为定值、线段乘积为定值、线段和差为定值：设点的坐标，用字母表示出线段的长，寻找等量关系，在恒等变换中消去字母，得到定值。 线段倒数和为定值：一种是与角平分线有关的纯几何问题，此时可通过角平分线上的点向角的两边作垂线，利用面积法用两种方式表示出三角形的面积，再通过恒等变换得到倒数和为定值，另一种是与抛物线的性质有关的代数问题（直线过交点），先设点的坐标，用字母表示出线段的长，利用根与系数的关系及恒等变换消去字母，得到定值。 1．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点．(1)求的值；(2)以线段为对角线作正方形（如图③，点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【答案】(1)(2)，，(3)结论：的值不发生改变，证明见解析 【详解】（1）解：，，为中点，， 设，又，，，，； （2）解：结论：的值不发生改变，理由：如图4，连、、， 是线段的垂直平分线，，四边形是正方形，， 在与中，，，，， 四边形中，，而， 所以，，所以，四边形内角和为， 所以．，． 2．（2024·山东济南·一模）【阅读材料】：解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】（1）解方程； 【拓展应用】（2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值； （3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）是定值， 【详解】（1）解：先两边同乘以，得， 解得：，，经检验无增根，∴原方程的解为，； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，； ∵，，∴，∴， ∵点坐标是，∴，， ∵，∴，，∴， ∵点在反比例函数图像上，∴，由（1）可知，，∵，∴． （3）是定值，理由如下：过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点， ∴∵∴ ∵∴∵∴ ∵，，∴，，∴，，∴， ∵，在反比例函数图象上，∴， ∴，解得，∴． 3．（2024·江苏无锡·一模）如图1，抛物线经过，两点，作垂直x轴于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点是抛物线上一点，满足，求点的坐标； (3)若点P为抛物线上一点，且在第四象限内．已知直线，与x轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)，(3)是定值，该定值为，理由见解析 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ∴，解得：，∴该抛物线的解析式为：； （2）①当点D在直线的上方时，如下图所示：∵，∴轴， ∵点A与点B对应函数值都是3，即轴，∴此时点A与点D重合，即； ②当点D在直线的下方时，设与x轴交于点M，如下图所示： ∵，∴，∵垂直x轴于点C，，∴，，， 设，则， 在中，，即，解得：，∴， 设直线的解析式是：，将点B、M代入得：，解得：， ∴直线的解析式是： 将直线的解析式与抛物线解析式联立得：，解得：，或(舍去)，∴； 综上所述：点D的坐标是：，； （3）是定值，该定值为，理由如下． 令，解得，即抛物线与x轴的交点是：和， 设点P的坐标是，则，设直线的解析式是：， 将点A、P代入得：，解得：， ∴直线的解析式是：，令， 解得：，即，∴，设直线的解析式是：， 将点B、P代入得：，解得：，∴直线的解析式是：， 令，解得：，即，∴，， ∴．∴是定值，该定值为． 与定点综合问题 ⭐技巧积累与运用 直线过定点：设点的坐标，用字母表示出直线的解析式，再分离变量，得到定点坐标或直线的横（纵）坐标为定值。 1．（2022·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为． (1)当时，求，两点的坐标；(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为(2)或(3)是， 【详解】（1）根据题意，得，整理得到，解方程，得， 当x=-3时，y=-9；当x=1时，y= -1； ∵点在点的左侧，∴点的坐标为（-3，-9），点的坐标为（1，-1）． （2）∵A，B是抛物线图像上的点，设A（m，），B（n，），则（-n，）， 当k＞0时， 根据题意，得，整理得到， ∴m，n是的两个根，∴， 设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3） ∴，， ∴==，∴3==，∴， ∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k= -(舍去)，故k=； 当k＜0时， 根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根， ∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3） ∴，， ∴==，∴3==-，∴-， ∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，故k=-； 综上所述，k的值为或． （3）直线A一定过定点（0，3）．理由如下： ∵A，B是抛物线图像上的点，∴设A（m，），B（n，），则（-n，）， 根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根， ∴，设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得 ，解得，∴直线A的解析式为y=（n-m）x-mn， ∵mn=-3，∴-mn=3，∴直线A的解析式为y=（n-m）x+3，故直线A一定过定点（0，3）． 2．（2023年浙江杭州中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是． (1)求的值．(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．    【答案】(1)，(2)见解析 【详解】（1）∵点的横坐标是2，∴将代入 ∴，∴将代入得，，∴， ∵点的纵坐标是，∴将代入得，，∴， ∴将代入得，，∴解得，∴； （2）如图所示，由题意可得，，，∴设所在直线的表达式为，    ∴，解得，∴，∴当时，，∴直线经过原点． 与新定义相关的综合问题 ⭐技巧积累与运用 所谓的“新定义”型问题是指给出一个学生未学过的新规定，要求学生现学现用，将陌生的问题转化成熟悉的问题，将非常规的问题转化成常规问题，从而解决问题。很好的锻炼了学生的阅读理解能力、数学抽象、数学归纳、类比迁移、转化等综合创新能力，很好地体现了数学核心素养的考查。 1．（2024.成都市校考期中）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，直线与抛物线分别相交于，两点（其中点在点的右侧），与抛物线的对称轴相交于点，若记，则称是直线与抛物线的“截积”． 【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线的函数表达式为． （1）若抛物线的函数表达式为，分别求出点，的坐标及的值；（2）在（1）的基础上，过点作直线的平行线，现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线上，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设抛物线的函数表达式为，若，，且点在点的下方，求的值． 【解答】解：（1）直线的函数表达式为①，抛物线的函数表达式为②， 联立①②解得，或，，，，针对于直线，令，则，， 抛物线的函数表达式为，顶点，，； （2）是定值，其值为；由（1）知，，，直线的解析式为①， 设平移后的抛物线的顶点坐标为， 抛物线的函数表达式为，平移后的抛物线的解析式为②， ，，联立①②整理得，， 或，，，，， ，即是定值，其值为． （3）抛物线的函数表达式为①的顶点坐标为，，， ，，， 直线的函数表达式为②，联立①②整理得，， 设，，，，，， ，，，，或， 抛物线的顶点在直线与抛物线的对称轴交点的下方，且与直线相交于， 两点，抛物线的开口向上，，即． 2．（2023·四川成都·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C．(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；(2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；(3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）∵过，∴，∴，则， 又∵过，∴，∴反比例函数的表达式为． ∴，解得：或，∴． （2）令，则，∴．设直线的解析式为设，∴，即：， ∵直线与反比例函数图象只有一个交点， ∴，∴，∴，令，则，∴，∴． （3）由图可知在第一象限、不可能相等，如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，，设点的坐标为， ∵，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴，∴，设（），∴， ∵点在一次函数图象上，∴，整理得， 解得（负数舍去），∴点的横坐标的值为． 与最值相关的问题 ⭐技巧积累与运用 函数的几何最值1（代数法）：引入新的变量，将所求的长度、面积、坐标等用新的变量表示出来，再运用二次函数的最值解决即可。 函数的几何最值2（几何法）：将我们要求的线段、多线段和差的最值问题转化为基本的几何模型（将军饮马、胡不归、费马点、阿氏圆、瓜豆原理等）进行解决即可。 1．（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点． (1)求点，的坐标；(2)随着点在线段上运动．①的大小是否发生变化？请说明理由； ②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)①的大小不变，理由见解析；②线段的长度存在最大值为 【详解】（1）解：∵，∴顶点为， 令，，解得或，∴； （2）解：①的大小不变，理由如下：在上取点，使得，连接，    ∵，∴抛物线对称轴为，即， ∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴，，∴是等边三角形，∴，， ∵，，，，∴，，， ∴，  ∴是等边三角形，，∴， ∵，，∴是等边三角形， ∴，，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∴，  ∴，∴， 又，∴是等边三角形，∴，即的大小不变； ②设，则，∵是等边三角形，，∴， ∵，∴，∴， ∴即，∴，∴当时，有最大值为． 2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)，(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，则， ∵点，，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，       ∴，∴， ∴，∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．∴，解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是，∴，∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得,∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接， ∴点A与点关于x轴对称，∴，， ∵，∴的最小值是的长度， ∵，即是定值，∴此时的周长为最小，设直线的解析式是，则，解得，∴直线的解析式是， 当时，，解得，即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 3．（2023·河南濮阳·三模）如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，交x轴于点C，已知点A的坐标为．(1)求反比例函数解析式；(2)直接写出不等式的解集_____． (3)在x轴是否存在点P，使得有最大值，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为：y＝．(2)． (3)在x轴上存在点P，使有最大值为此时P点坐标是． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为在一次函数上，∴，∴， ∵在反比例函数上，∴，∴反比例函数解析式为：． （2）联立一次函数和反比例函数得析式为：，解得或，∴，， 由图示可知：不等式的解集是． （3）∵直线的解析式是，令，则，则， ∴，∴当P点坐标是，有最大值理由如下： 在中，根据三边关系，， 当P在点C处时，．即最大值为． 故在x轴上存在点P，使有最大值为此时P点坐标是． 1．（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是 ．    【答案】或或或 【详解】（1）当，时，           设，代入，解得：（舍去），，，， 又，，，； （2）当，时， 过点作轴，垂足为，由（1）得，，， 由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：， 又，，；    （3）当，时， 设，代入，解得：（舍去），，，， ，，，； （4）当，时， 过点作轴，垂足为点，由（3）得，， 在中，由勾股定理得：，在中，，， 由勾股定理得：，又，，，， 综上所述，点A的坐标是或或或． 2．（2023·广东珠海·一模）如图，点为函数图象上一点，连接，点B在线段上，且，C是x轴的正半轴上一点，连接，．(1)求点B的坐标；(2)若M是线段上一点，且，求的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，即点， 分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为N、H，如图所示： 则，∴，∴， ∵，即，∴， 解得：，同理可得，，∴点B的坐标为； （2）解：∵，解得：， 设直线的表达式为：，把，代入得： ，解得：∴直线的表达式为：， 设点，∵，，∴， ∵，则，∴， 解得：，∴点，∴的面积为：． 3．（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．(1)求反比例函数的表达式：(2)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)(2)或 【分析】（1）将，代入,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；（2）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：，∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，∴， 把代入中得：，∴，∴反比例函数的表达式； （2）解：如图所示，设直线交y轴于点， ∵，，∴，，， ∵是以点A为直角顶点的直角三角形，∴， ∴，∴，解得，∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或，∴点P的坐标为或．    4．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)[尝试初探]点______“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)[深入探究]①若“美好点”在双曲线上，则______； ②在①的条件下，在双曲线，画出，求的值； (3)[拓展延伸]我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式；②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)不是(2)①18；②画图见解析， (3)①；②对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为 【详解】（1）解：∵，∴点不是“美好点”，故答案为：不是； （2）解：①∵是“美好点”，∴，解得：，∴， 将代入双曲线中，得，故答案为：18； ②∵，∴双曲线的解析式是：．∵在双曲线上，∴，∴， 设直线的解析式为：，∴，解得，∴直线的解析式为：， 令直线与轴交于点，当时，，解得：，∴，画出图如图所示：    ∴； （3）解：①∵点是第一象限内的“美好点”，∴，化简得：， ∵第一象限内的点的横坐标为正，∴，解得：， ∴y关于x的函数表达式为：； ②∵，∴， ∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）【阅读理解】对于任意正实数a、b，（只有当时，）． 【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若为定值p，则，只有当时，有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：(1)若，只有当_______时，有最小值_______． (2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．    【答案】(1)2，4(2)40 【详解】（1）解：根据题意得当时，，此时．故答案为：2，4； （2）解：连接，∵点是双曲线上的点，    ∴，即，设， ． 四边形的面积最小值为40． 6．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，为中点，点关于直线的对称点为点．(1)点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接，若四边形为正方形．①求的值； ②若点在轴上，当最大时，点的坐标为______． 【答案】(1)点在这个反比例函数的图象上，理由见解析(2)①；②． 【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上， 理由：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， 设点的坐标为，点关于直线的对称点为点，，平分， 如图．连接交于，，∵为中点，轴于点，∴， ，，，轴于，∴轴，， ，点在这个反比例函数的图象上； （2）解：①四边形为正方形，，垂直平分，， 设点的坐标为，，，，（负值舍去），，， 把，代入得，； ②延长交轴于，，，点与点关于轴对称， ，则点即为符合条件的点， 由①知，，，，，设直线的解析式为， ，，直线的解析式为， 当时，，．故当最大时，点的坐标为．故答案为：． 7．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题． 材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准． 请阅读上述材料，完成题目： 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；(2)存在．的最大值为； (3)点坐标为或或，． 【详解】（1）解：抛物线经过点，点， ，解得，抛物线的解析式为； （2）解：存在．当，，解得，则，设，则， ，， ，当时，有最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线，， 当时，则，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ，点坐标为或； 当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，， 点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点， 点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，设，则， 把代入得，解得，， 此时点坐标为，，综上所述，点坐标为或或，． 8．（2024·重庆·中考模拟预测）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长． 【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或 【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得 ，解得：，∴抛物线的解析式是； （2）令x=0，则y=2，即C（0，2）， ∵，，AB2=25，∴，∴∠ACB=90°， ∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，∴∠ACO=∠CBA， 在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，则CE=OE=2， ∴∠OCE=45°，∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，∴CE∥PQ， ∵C（0，2），E（2，0），∴直线CE的解析式为y=-x+2， 设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，∴直线PQ的解析式为y=-x-1， 解方程组，得或，∴点P的坐标是（6，-7）； （3）设直线AP交y轴于点G，如图，∵PH∥y轴，∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF， ∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形， ∵C（0，2），B（4，0），∴直线BC的解析式为， 设G（0，m），∵A（-1，0），∴直线AF的解析式为y=mx+m， 解方程组，得，∴点F的坐标是， ∴， 当CG=CF时，，解得：（舍去负值）， 此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或， ∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），∴PH=； 当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍）， 此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或， ∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），∴PH=2-=1.5； 当GF=GC时，，解得或m=2（舍去）， 此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或， ∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），∴PH=； 综上，PH=或1.5或． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．    (1)如图1，若点坐标为．①求，的值；②若点的横坐标为，连接，求的面积．(2)如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)①，；②(2) 【详解】（1）解：①点在上，，； 点在上，，     ②点的横坐标为，当时，，； 分别过点、作轴的垂线交轴于点、， ，， ；    （2）解：直线，经过原点且与反比例函数分别交于点，，，，反比例函数的图像关于原点中心对称，点，关于原点对称，点、关于原点对称， ，，四边形为平行四边形．当时，四边形是矩形． 点，的横坐标分别为，，点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， 又在上，， ，在上， ，． 1．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．(1)请直接写出，的值；(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为． ①求的最大值；②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标． 【答案】(1)，(2)①；②2或 【详解】（1）∵二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点 ∴解得：∴，，； （2）①如图1，过点作轴平行线分别交、于、． ∵，当时，，∴， ∴，，∴，∴． ∵，，∴， ∴，∴，∴． ∵ 设直线的解析式为∴解得：直线解析式为． 设，，， 当时，取得最大值为，的最大值为． ②如图2，已知，令，则， 在上取点，使得，∴， 设，则，则，解得， ∴，即． 如图3构造，且轴，相似比为， 又∵，设，则． 分类讨论：ⅰ当时，则， ∴与的相似比为，∴，， ∴，代入抛物线求得，（舍）．∴点横坐标为． ⅱ当时，则，∴相似比为， ∴，，∴， 代入抛物线求得，（舍）．∴点横坐标为．综上所示，点的横坐标为2或． 2．（23-24八年级·江苏泰州·期中）[定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”． 例如，图1中，矩形的边轴，轴，且顶点在反比例函数的图象上，则矩形是反比例函数的“伴随矩形”．    (1)已知，矩形中，点的坐标分别为：①②；③，其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ；（填序号） (2)如图1，已知点）是反比例函数的“伴随矩形”的顶点，求直线的函数解析式； (3)若反比例函数的“伴随矩形”如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点． 【答案】(1)①③(2)(3)见解析 【详解】（1）解：①∵，∴，∴满足同一个反比例函数， ②∵，∴，∴不满足同一个反比例函数， ③∵，∴，∴满足同一个反比例函数， ∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③，故答案为：①③； （2）∵的反比例函数的“伴随矩形”的顶点， ∴，∴，设直线的解析式为， 则，∴，∴； （3）证明：∵在反比例函数上，设，，则，， 设直线的解析式为， 则，∴，即，∴直线过原点． 3．（23-24九年级·山西晋中·期末）综合与探究:如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)点是轴上的一个动点，连接，，当线段与之和最小时，求点的坐标；(3)过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若点是直线上的一个动点，点是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，或或或 【详解】（1）解：把代入，得：，∴， ∴，∴反比例函数的解析式为：； （2）∵，当时间，，∴，作点关于轴的对称点， 则：，，∴当三点共线时，的值最小， 连接，与轴的交点即为点， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴，∴当时，，∴； （3）∵过点作直线轴，交反比例函数的图象于点， ∴点的纵坐标为，∴，设，设， 则：，，； 当点，，，为顶点的四边形是菱形，分两种情况： ①当为边时，则：，当时：，，则：，解得：， 当时：，，即：； 当时：，，即：； 当时，，，则：，解得：或（舍掉）， 当时，，，即：； ②当为对角线时：则，∴， 此时，即：，解得：，∴，即：； 综上：或或或． 4．（2024·江苏扬州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值； (3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．    【答案】(1)(2)1(3) 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴；设直线解析式为， ∴，∴，∴直线解析式为； 如图所示，过点D作轴，交于E，设，则， ∴； ∴ ， ∵，∴当时，有最大值，最大值为1； （3）解：∵，，∴，，，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，设，则，∴， ∴，∴当时，有最大值，最大值为1， ∴点F的横坐标的最大值为． 5．（2024·湖北武汉·三模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为．其中，．(1)直接写出该抛物线的解析式；(2)如图，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标；(3)如图，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，且经过点， ∴解得，∴该抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵，，∴，， 把代入得，，∴，∴， 设点，则，，∴， ∵，∴，∴，即， 整理得，，解得或（不合，舍去），∴； （3）解：设，设直线的解析式为：， ∴，即，∴直线的解析式为：，设， 由，得，即：，∴， ∴= ∵线段的中点是，∴，，∴，∴，∴， ∴当时，即时，是定值，∴． 6．（2024重庆中考模拟预测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为．（1）求的值及顶点的坐标；（2）点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图，求抛物线的表达式；（3）如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标． 【分析】（1）将点代入，即可求出，把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；（2）如图1，连接，作轴于，作轴于，由，可得，，故抛物线的顶点的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式为；（3）设点，如图2，作轴于，轴于，于，根据旋转可得：，进而可得：点的坐标为，点的坐标为，再分类讨论即可得出答案． 【解答】解：（1）由得，顶点的坐标为， 点在抛物线上，，解得：； （2）如图1，连接，作轴于，作轴于， 根据题意，点，关于点成中心对称，过点，且， 在和中，，， ，，抛物线的顶点的坐标为， 抛物线由绕点旋转后得到，抛物线的函数表达式为； （3）抛物线由绕轴上的点旋转后得到， 顶点，关于点成中心对称，由（2）知：点的纵坐标为8，设点， 如图2，作轴于，轴于，于， 旋转中心在轴上，，点的坐标为，点的坐标为， 根据勾股定理得，，显然，和不可能是直角三角形， ①当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得：， ，，解得：， ，点的坐标为，； ②当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得：， ，，解得：， ，点的坐标为，， ③当是直角三角形时，， ， 当时，，即，解得：， ，点的坐标为，； 当时，，即，解得：， ，点的坐标为，； ，， 综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，点的坐标为，或，或，． 7．（2024·四川成都·一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)的最大值为2，此时点P的坐标为 (3)点T在定直线上，该直线解析式为 【详解】（1）解：当时，则有，即；当时，则有；∴， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， 当时，则有，解得：，∴， 由可设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为，∴当时，则有，即， 连接，过点P作轴交于点M，如图所示： 设点，则，∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，开口向下，∴当时，则取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为； （3）解：点T在某条定直线上，理由如下：由题意可知平移后的二次函数解析式为， 则联立方程得：，解得：，∴， ∵点H是线段的中点，∴根据中点坐标公式可得：，即， 设点，直线的解析式为，则有： ，解得：，∴直线的解析式为， 代入点H得：，∴， 同理可得直线的解析式为，直线的解析式为， 联立上述两个函数表达式得：，解得：， ∴代入直线的解析式得，∴，设点T在直线，则有： ∴，即， 整理得：，比较系数得：， ∴当时，无论m、n为何值时，都符合题设条件，∴点T在定直线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 反比例函数（二次函数）与几何综合问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一 与角度综合问题 题型二 与特殊三角形综合问题 题型三 与特殊四边形综合问题 题型四 与定值综合问题 题型五 与定点综合问题 题型六 与新定义相关的综合问题 题型七 与最值相关的问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 与角度综合问题 ⭐技巧积累与运用 反比例函数（或二次函数）与角度综合问题，常见类型：  1）特殊角问题：（1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。 2）角的数量关系问题 （1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决； （2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答； （3）角的和差问题：角度和为90度、45度等。 1．（23-24九年级·长沙·期末）如图1，在平面直角坐标系中，函数（为常数，，）的图象经过点和，直线与轴，轴分别交于，两点. （1）求的度数；（2）如图2，连接、，当时，求此时的值： 2．（2024·成都·中考模拟预测）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）利用尺规作图将一个角三等分已经被数学家证明不可能完成，但是数学家帕普斯利用反比例函数图象完成了将一个角三等分，具体方法如下： 第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 第二步：以为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点； 第三步：分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接，得到（如图1），这时．为什么呢？小静想要证明这个结论却没有思路，老师便组织同学们进行了研究讨论．讨论后有以下思路：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点（如图2），此时，四边形便构成了一个矩形；如果我们能再证明三点共线，就可以利用矩形性质证明这个结论了．研究讨论后，小静采用代数设点，设，．请你和小静一起完成下列问题． (1)请你写出的坐标（用含的式子表示）； (2)请你在第（）问的基础上证明三点共线；(3)请证明． 与特殊三角形综合问题 ⭐技巧积累与运用 1）等腰三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 2）直角三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 3）相似三角形存在性问题：（1）若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系；①设点坐标；②表示线段长（或点坐标）；③列比例关系式求解；④将点坐标代入到满足的函数关系中求解；（2）若两个相似三角形对应关系末知，则需根据已知三角形分类讨论三角形的对应边关系，再由（1）中的步骤求解即可。 1．（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．    2．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），它的对称轴l与图象交于点P，直线所对应的函数表达式为 (1)请直接写出点P的坐标．(2)若为直角三角形，设直线与这个二次函数的图象的另一个交点为Q． ①求a、c的值与点Q的坐标；②若M为直线l上的点，且以M、B、Q为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点M的纵坐标t的取值范围．    3．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．(1)求抛物线的解析式；(2)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 与特殊四边形综合问题 ⭐技巧积累与运用 1）平行四边形存在性问题处理技巧：（平移或中点思想） 关键：对角线互相平分，即对角线中点重合→中点公式。 ①当AB为对角线：xA+xB=xC+xD；yA+yB=yC+yD；②当AC为对角线：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD； ③当AD为对角线：xA+xD=xB+xC；yA+yD=yB+yC。 2）菱形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造等腰三角形，即邻边相等的点。 3）矩形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证直角三角形，即邻边垂直的点。 4）正方形存在性问题处理技巧：先用中点公式证平行四边形，再构造证等腰直角三角形的点。 注意：“四边形ABCD是 ....”和“以点A、B、C、D为顶点的四边形是....”的区别，前者顺序已定，后者可以随机顺序，需进一步讨论。 1．（2023年泸州市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．(1)求，的值；(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 2．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E．(1) ， ；(2)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；(2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标．    与定值综合问题 ⭐技巧积累与运用 线段比值为定值、线段乘积为定值、线段和差为定值：设点的坐标，用字母表示出线段的长，寻找等量关系，在恒等变换中消去字母，得到定值。 线段倒数和为定值：一种是与角平分线有关的纯几何问题，此时可通过角平分线上的点向角的两边作垂线，利用面积法用两种方式表示出三角形的面积，再通过恒等变换得到倒数和为定值，另一种是与抛物线的性质有关的代数问题（直线过交点），先设点的坐标，用字母表示出线段的长，利用根与系数的关系及恒等变换消去字母，得到定值。 1．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点．(1)求的值；(2)以线段为对角线作正方形（如图③，点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 2．（2024·山东济南·一模）【阅读材料】：解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】（1）解方程； 【拓展应用】（2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值； （3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由． 3．（2024·江苏无锡·一模）如图1，抛物线经过，两点，作垂直x轴于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点是抛物线上一点，满足，求点的坐标； (3)若点P为抛物线上一点，且在第四象限内．已知直线，与x轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 与定点综合问题 ⭐技巧积累与运用 直线过定点：设点的坐标，用字母表示出直线的解析式，再分离变量，得到定点坐标或直线的横（纵）坐标为定值。 1．（2022·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为． (1)当时，求，两点的坐标；(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 2．（2023年浙江杭州中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是． (1)求的值．(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 与新定义相关的综合问题 ⭐技巧积累与运用 所谓的“新定义”型问题是指给出一个学生未学过的新规定，要求学生现学现用，将陌生的问题转化成熟悉的问题，将非常规的问题转化成常规问题，从而解决问题。很好的锻炼了学生的阅读理解能力、数学抽象、数学归纳、类比迁移、转化等综合创新能力，很好地体现了数学核心素养的考查。 1．（2024.成都市校考期中）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，直线与抛物线分别相交于，两点（其中点在点的右侧），与抛物线的对称轴相交于点，若记，则称是直线与抛物线的“截积”． 【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线的函数表达式为． （1）若抛物线的函数表达式为，分别求出点，的坐标及的值；（2）在（1）的基础上，过点作直线的平行线，现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线上，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设抛物线的函数表达式为，若，，且点在点的下方，求的值． 2．（2023·四川成都·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C．(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；(2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；(3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 与最值相关的问题 ⭐技巧积累与运用 函数的几何最值1（代数法）：引入新的变量，将所求的长度、面积、坐标等用新的变量表示出来，再运用二次函数的最值解决即可。 函数的几何最值2（几何法）：将我们要求的线段、多线段和差的最值问题转化为基本的几何模型（将军饮马、胡不归、费马点、阿氏圆、瓜豆原理等）进行解决即可。 1．（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点． (1)求点，的坐标；(2)随着点在线段上运动．①的大小是否发生变化？请说明理由； ②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．    3．（2023·河南濮阳·三模）如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，交x轴于点C，已知点A的坐标为．(1)求反比例函数解析式；(2)直接写出不等式的解集_____． (3)在x轴是否存在点P，使得有最大值，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 1．（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是 ．    2．（2023·广东珠海·一模）如图，点为函数图象上一点，连接，点B在线段上，且，C是x轴的正半轴上一点，连接，．(1)求点B的坐标；(2)若M是线段上一点，且，求的面积． 3．（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．(1)求反比例函数的表达式：(2)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．    4．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)[尝试初探]点______“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)[深入探究]①若“美好点”在双曲线上，则______； ②在①的条件下，在双曲线，画出，求的值； (3)[拓展延伸]我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式；②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）【阅读理解】对于任意正实数a、b，（只有当时，）． 【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若为定值p，则，只有当时，有最小值．【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：(1)若，只有当_______时，有最小值_______．(2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．    6．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，为中点，点关于直线的对称点为点．(1)点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接，若四边形为正方形．①求的值； ②若点在轴上，当最大时，点的坐标为______． 7．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题． 材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准． 请阅读上述材料，完成题目： 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 8．（2024·重庆·中考模拟预测）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．    (1)如图1，若点坐标为．①求，的值；②若点的横坐标为，连接，求的面积．(2)如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值． 1．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．(1)请直接写出，的值；(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为． ①求的最大值；②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标． 2．（23-24八年级·江苏泰州·期中）[定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”． 例如，图1中，矩形的边轴，轴，且顶点在反比例函数的图象上，则矩形是反比例函数的“伴随矩形”．    (1)已知，矩形中，点的坐标分别为：①②；③，其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ；（填序号） (2)如图1，已知点）是反比例函数的“伴随矩形”的顶点，求直线的函数解析式； (3)若反比例函数的“伴随矩形”如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点． 3．（23-24九年级·山西晋中·期末）综合与探究:如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)点是轴上的一个动点，连接，，当线段与之和最小时，求点的坐标；(3)过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若点是直线上的一个动点，点是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·江苏扬州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值； (3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．    5．（2024·湖北武汉·三模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为．其中，．(1)直接写出该抛物线的解析式；(2)如图，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标；(3)如图，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标． 6．（2024重庆中考模拟预测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为．（1）求的值及顶点的坐标；（2）点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图，求抛物线的表达式；（3）如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标． 7．（2024·四川成都·一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$