1.4 角平分线的性质 同步训练 2024-2025学年湘教版八年级数学下册

1.4 角平分线的性质 一、选择题： 1.如图，在中，线段表示的边上的高的图是(    ) A. B. C. D. 2.如图，射线是角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 3.如图，平分，于点，，，则长是(    ) A. B. C. D. 4.如图，是的平分线，，，则(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，是高，是角平分线，是中线则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为，则的周长是(    ) A. B. C. D. 7.如图，三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是(    ) A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 不确定 8.已知，点是边上一点，且到、的距离相等，则线段一定是(    ) A. 的角平分线 B. 的中线 C. 的高 D. 所在直线是的中垂线 二、填空题： 9. 如图，点在直线上，是的平分线若，则的度数为          ． 10.如图，中，，平分，，则的面积是           11.如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则的长为______． 12.如图，已知点为的两条角平分线的交点，过点作于点，且，若的周长是，则的面积为______． 13.如图，在中，，、分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，，则 ______度 14.如图，在中，，是的一条角平分线，若，则点到的距离为______． 15.如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为，则的面积为          ． 三、解答题： 16. 已知为直线上一点，，平分若，求、的度数． 17. 如图，直线和交于点，射线，在的内部． 若，，求的度数； 若平分，，，求的度数用舍的式子表示． 18. 如图，在中，，． 尺规作图：作的角平分线交于点，不写作图过程，需保留作图痕迹； 若点到的距离为，求的长． 19. 如图，中，平分，平分，过点作的平行线，交于，交于，若，，求的周长． 20. 如图，已知：在直角中，，平分且交于． 若，求的度数； 若平分且交于，求的度数． 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16. 解：，， ， 平分， ， ， 为直线上一点， ．  17. 解：直线和交于点，， ， ， ； 直线和交于点，， ， 平分， ， ， ， ．  18. 解：如图，即为所求． 过点作于点， ， 是的平分线，， ． ，， ． 在中，， ， ．  19. 解：平分， ， ， ， ， ； 同理：， 的周长， ， ， ， ，， 的周长．  20. 解：，， ， 平分， ， ； 平分， ， ， ．  【解析】 1. 解：过点作的垂线，且垂足在直线上， 所以正确画出边上的高的是选项， 故选：． 根据三角形高的定义判断即可． 本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 2. 解：作于，如图， 是的角平分线，，， ， ． 故选：． 作于，如图，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算． 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3. 解：作于， 平分，，， ， ， 解得，， 故选：． 作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 本题主要考查平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4. 【分析】 本题考查的是角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据平角得，进而可得答案． 【解答】 解：是的平分线，， ， ， ， 故选：． 5. 解：是的中线， ，说法正确，不符合题意； 是角平分线， ，说法正确，不符合题意； 是高， ， ，说法正确，不符合题意； ， ，说法错误，符合题意； 故选：． 根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 6. 解：点是边上的中点， ， 的周长为， ， ， ， ， 的周长， 故选：． 根据线段中点的概念得到，根据三角形的周长公式计算即可． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的概念是解题的关键． 7. 解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处． 故选：． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 8. 解：点是边上一点，且到、的距离相等， 线段一定是的平分线，即线段一定是的角平分线． 故选：． 根据角平分线的性质作答． 本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 9. 解：因为， 所以， 因为是的平分线， 所以， 故答案为：． 根据邻补角定义求得的度数，再根据角平分线定义即可求得答案． 本题主要考查角平分线的定义，邻补角，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握． 10. 本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积求解，过点作于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于， 平分，，， ， ， ， 故答案为：． 11. 解：如图，过点作于， 是的角平分线，，， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 12. 解：过点作于点，于点，连接，如图： 点为的两条角平分线的交点 平分，平分， 又，，，， ，， ，，， ， 的周长是， ， ． 首先过点作于点，于点，连接，由角平分线的性质得，，然后由三角形的面积公式分别求出，，，由此可得，最后再根据的周长是得，据此即可求出的面积． 此题主要考查了角平分线的性质，三角形的周长和面积，熟练掌握三角形的周长和面积公式，理解角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键． 13. 解：， ． 在中，，， ， ． 平分， ． 在中，，， ． 故答案为：． 由，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合，可求出的度数，由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 14. 解：过作于， 是的角平分线，， ， ， ， 故答案为：． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点到的距离长为等于的长，进行解答即可． 本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单． 15. 【分析】本题考查三角形的 面积、三角形中线的性质，连接，利用等高模型求出，的面积，再证明的面积的面积，求出，的面积即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 是中点，， ， 又， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 16. 先求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数，从而求出的度数；根据即可求出的度数． 本题考查了余角和补角，角的和差计算，角平分线的定义，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． 17. 先根据对顶角的性质得，再根据可得出答案； 先根据邻补角定义得，再根据角平分线定义得，然后根据垂直定义得，进而根据可得出答案． 此题主要考查了邻补角的定义，垂直的定义，角平分线的定义，对顶角的性质，理解邻补角的定义，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握对顶角的性质是解决问题的关键． 18. 根据角平分线的作图方法作图即可． 过点作于点，则，由角平分线的性质可得在中，，可得，根据可得答案． 本题考查作图基本作图、角平分线的性质、含度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得，同理可得，从而确定出等腰三角形，再求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 20. 根据，求出可得结论； 根据，求出可得结论． 本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$