1.2 直角三角形的性质和判定（II） 同步训练 2024-2025学年湘教版 八年级数学下册

1.2 直角三角形的性质和判定（II） 一、选择题： 1.如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得据此，可求得学校与工厂之间的距离等于(    ) A. B. C. D. 2.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，是的中点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，一根长为的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑动，在滑动的过程中的长度(    ) A. 减小 B. 增大 C. 不变 D. 先减小再增大 二、填空题： 9.如图中，，是高，，： ______． 10.如图，在中，，是边的中点，若，则 ______． 11.如图，长为的梯子搭在墙上与地面成角，那么梯子的顶端离地面的高度为________结果保留根号． 12.如图，已知中，，，，，则______． 13.如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别交，于点，，若，则 ______． 14.在中，，，，则边上的中线 ______． 15.如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点、、连接、若，则的长为______． 三、解答题： 16. 如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，求的长． 17. 如图，在中，，，求的面积． 18. 如图，在中，，是边上的高，点为的中点，连接并延长交于点若，，求长． 19. 上午时，一条船从港口出发，以海里时的速度向正北方向航行，时到达海岛处，从，两处望灯塔，分别测得，若该船从海岛继续向正北航行，求船与灯塔的最短距离． 20. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点． 若，，求线段的长； 求证：． 21. 如图，中，是高，是中线，，且是的中点． 求证：； 若，，求的面积． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长． 【详解】 ， ． 故选D． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 根据平行线的性质，即可得出，再根据等腰直角三角形中，，即可得到． 【解答】 解：如图， ， ， 又等腰直角三角形中，， ， 故选B． 3.【答案】  【解析】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：在中，，的垂直平分线交于，， ， ， ，， ， ， 在中，，， ， ． 故选：． 先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出，再由三角形内角和定理及和角差角的性质得出，然后在中根据角所对的直角边等于斜边的一半得出结论． 本题考查的是含度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出是解答此题的关键． 5.【答案】  【解析】解：，， ， 垂直平分， ， ， ， ， 故选：． 根据线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题注意掌握数形结合思想的应用． 6.【答案】  【解析】解：如图所示：过点作． 将三角板绕原点顺时针旋转， ，． ． ，． 的坐标为 故选：． 先根据题意画出点的位置，然后过点作，接下来依据旋转的定义和性质可得到的长和的度数，最后依据特殊锐角三角函数值求解即可． 本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用，得到是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：，， ， 为的中点， ， ， 故选：． 先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用等边对等角，即可解答． 本题考查了直角三角形斜边上的中线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：，点是的中点， ， 在滑动的过程中的长度不变． 故选C． 9.【答案】：  【解析】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ：：：：， 故答案为：：． 设，根据垂直定义可得：，从而可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，进而可得，最后进行计算即可解答． 本题考查了含度角的直角三角形，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：，是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 由直角三角形斜边中线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到． 本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出． 11.【答案】  【解析】解：根据题意得：梯子、墙和梯子底端距离墙的距离构成如图所示的直角三角形， 且，，， ， ． 故答案为． 由题意得到墙与地面垂直，梯子、墙和梯子底端距离墙的距离构成直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 本题考查了含角的直角三角形和勾股定理，解题的关键是从实际问题中构造直角三角形并求解． 12.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形中度所对的边等于斜边的一半等知识，正确把握等腰三角形的性质是解题关键． 利用等腰三角形的性质得出，进而利用三角形的外角以及直角三角形中度所对的边等于斜边的一半得出答案． 【解答】 解：，， ， 又， ， ， ， ，，， ， ． 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：连接， 由作图知，垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 连接，由作图知，垂直平分，求得，，推出，根据角平分线的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：在中，，，， ， 边上的中线， 故答案为：． 先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可 本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：， ， 线段的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， ， 故答案为：． 根据线段垂直平分线的性质得到，，求得，即可求出答案． 此题考查线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 16.【答案】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的长为．  【解析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质可得，即可解答． 本题考查了含度角的直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17.【答案】解：延长，作的延长线于点， ，， ，， ， 的面积为：．  【解析】延长，作的延长线于点，根据三角形外角性质和等腰三角形性质，得到，，再利用度所对直角边等于斜边一半，推出，最后根据三角形面积公式求解即可． 本题考查三角形外角性质，等腰三角形性质，掌握度所对直角边等于斜边一半是关键． 18.【答案】解：在中，，是边上的高， ， ，， ， 点为的中点， ， ，， ， ， ．  【解析】根据三角形内角和定理求出和，根据含角的直角三角形的性质得出，，代入求出即可． 本题考查了含角的直角三角形的性质，能根据含角的直角三角形的性质得出和是解此题的关键． 19.【答案】解：根据题意得，海里， 当船行驶到点时，与灯塔的距离最短，即为的长度， ，， ， 海里， 海里， 船与灯塔的最短距离海里．  【解析】根据题意得出海里，当船行驶到点时，与灯塔的距离最短，即为的长度，易证，进而可以求得． 本题主要含度角的直角三角形和等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 20.【答案】解：，，， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ； 证明：将绕点顺时针旋转得到， ， 又， ， ．  【解析】由直角三角形的性质及勾股定理求出和的长，由旋转的性质得出，由勾股定理可得出答案； 由旋转的性质得出，证出，则可得出． 本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 21.【答案】解：连接，如图： ，是的中点， ， 是中线， ， 是的高， 在中，， ． ， ，， ， 在中，， 的面积．  【解析】连接，由，是的中点，得到，再由是中线，是的高，得到即可； 根据题意得到，的长即可求解． 本题考查了直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$