重难专练(三)～(五)新课标下的一元一次方程&重难专练 巧设元，妙解题 分段收费问题-【名师学案】2024-2025学年新教材七年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

重难专练（一）有理数的运算 1.(1解：原式=(-6.5-3.5)+(4}+8是)=-10+13=3(2)解：原式=370 ×+7×24.5+5.5×=7×(370+24.5+5.5)=10,（3)解：原式=-8× 号+8×兽-8×号=8×（是+4）=8×(-吉）= .2.解：(1)21 (2)不相等.理由如下：因为7※（一3）=(7十2)×2一（一3）=9×2+3=21，（一3）※7 =(-3+2)×2-7=-2-7=一9，即：21≠一9.所以7※(-3)与(-3)※7的值不相 等.3.解：16(2)由题意，得[2@]@(-3)=[2+1÷2]@(-3)=是@( 3)=是+(-3÷(）=号÷6=4.4解：1xX1=5(25+52+ 6 …+992+100=(1+2+…+992+100)-(12+22+…+49+502)= 100×101×201_50×51X101=338350-42925=295425. 6 重难专练（二）数字、图形中的规律 1.D2.A3.A4.A5.B6.B7.40492-40472=8×20248.n(n+2)-(n+ 1)2=-19.D10.202311.①12.A13.B14.C15.A16.A17.5n+9 重难专练（三）新课标下的一元一次方程 1.解：(1)去分母等式性质2(2)①第二个代数式去分母时分子x+1没用括号 括起来(3)去分母时，不要漏乘没有分母的项或去分母时，多项式的分子要用括号 括起来（答案不唯一）；(4)正确解答如下：去分母，得：2(x一1)-(x十1)=3(3.x一1)一 6.去括号，得：2x-2-x-1=9.x-3-6.移项，得：2x-x-9x=-3-6+2+1.合并 同类项，得：-8x=-6.系数化为1，得x=是2.2503.④4.-55.解：1)2 (2)将4.x+3m+1=0写成4.x-(-3m-1)=0的形式，将5.x-n+2=0写成5x (n-2)=0的形式，因为4.x十3m+1=0与方程5x-n十2=0互为“伴生方程”，所以 -3m-1=5,n-2=4解得m=-2,n=6.所以m,n的值分别是-2,6. 重难专练（四）巧设元，妙解题 1.9 2.373.解：(1)3652(2)设调y名女工帮男工制作盒身，由题意，得50 (36+y)×2=(52一y)×120,解得：y=12.答：调12名女工帮男工制作盒身，才能使 每小时制作的盒身与盒底恰好配套.4.解：(1)5(2)设甲车每天的租金为y元，则 乙车每天的租金为(y+100)元，依题意，得(5+5)y十5(y十100)=6650，解得y= 410,所以y十100=510.答：甲车每天的租金为410元，乙车每天的租金为510元. 5.解：设爸爸出发x分钟后能把推车送给酒涵，根据题意，得4×(1十50%)×高十+4 ×高-4×品，解得：x=4.答：爸爸出发4分钟后能把推车送给涵通。6，解：1)设大 货车x辆，则小货车(15-x)辆，由题意，得12x十8(15-x)=160.解得：x=10,则15 一x=5.答：大货车10辆，小货车5辆；(2)设前往甲地的大货车为a辆，运往甲、乙两 地的总运费为：240a+200(9一a)十280(10-a)+260(a-4)=20a+3560:(3)12(10 -a)十8(a-4)=60.解得：a=7,则总运费为20×7+3560=3700，答：安排前往甲地 的大货车为7辆，总费用为3700元.7.解：(1)方案一的费用=160×0.85×5+60 ×3=860(元)，方案二的费用=100十0.75×(160×5+60×3)=835（元），因为860- 835=25(元)，所以方案二更优惠，优惠25元；(2)设购买甲品牌的篮球x个，由题意 可得：160×0.85.x+6×60×0.85=100+0.75(160x+60×6),解得：x=4.答：购买甲 品牌的篮球4个. 重难专练（五）分段收费问题 1.解：(1)依题意列方程，得：58+20x十88+40(x十0.05)=160，解得，x=0.2;(2)设 主叫时间为t分钟时，两种方式收费相同.所以58+(t一200)×0.2=88.解得t= 350.答：当主叫时间为350分钟时，两种方式收费相同；(3)若某月主叫时间为700分 -217 钟，则方式一收费为：58+(700一200)×0.2=158（元），方式二收费为：88+(700 400)×0.25=163(元)，因为158<163，所以某月主叫时间为700分钟时，选择方式一 收费更省钱.2.1.(1)44(2)(2.4.x+2.8)2.1.x(3)设打车的路程为m(m>6) 千米，依题意，得T3出行的收费为：0.5×(1.6m+×60X0.4)=L.1m元，滴谪快 车的收费为：l.2m十m×60×0.6-11=(2.1m-11)元，根据题意，可得，2.1m-11 40 -1.1m=20.解得m=31.答：m的值是31. 重难专练（六）与长（正）方体展开与折叠有关的计算 1.解：(1)如图所示： B (2)设长方体的高为acm,则宽为2acm,长为4acm,根据题意，得，4(a十2a十4a)= 56(cm).解得：a=2,则这个长方体的高为2cm,宽为4cm,长为8cm.则这个长方体 盒子的体积为：2×4×8=64(cm3).2.解：(1)⑤(2)①2x②长方形的长为2x cm,高为xcm,则长方体的宽为(54一2x)cm,由题意得，4.x十(54-2x)十x=99,解得 x=15.即长方体的高为15cm,当x=15时，长方体的长2x=30cm,宽为54一2x= 24cm,则长方体的体积为30×24×15=10800(cm).答：这个长方体的纸盒的体积 为10800cm.3.解：(1)如图所示：（答案不唯一） 5 1 7m 0 ☐2 (2)因为在①，②，③，④，⑤五个面上分别标有整式2(x十1)，一3x,3,6,8,且相对两 个面上的整式的和相等，所以2(x十1)十3=一3x十6.解得x=0.2.(3)由题意，得长 方体的高为2m=2,则长方体的宽为：5m一2m=3m=3,长方体的长为：7m一3m= 4m=4,所以该盒子的体积为2×3×4=24. 重难专练（七）与线段有关的计算 1解：D因为点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，所以BC=AC=司 AB=8,BD=号BC=4.因为AB=16,AD=AB-BD,所以AD=12:(2)因为NC 3AN,所以设AN=x,则NC=3.因为AN+CN=AC,所以x+3x=8,解得：x=2.所以 AN=2,NC=6.因为DN=AD-AN,所以DN=10:(3)①当M点在C点左边时， N 讨 D B 因为NC=6,MC=2, 所以MN=NC-MC=4.②当M点在C点右边时， 放 C话D8: 因为NC=6,MC=2,所以MN=NC+MC=8.所以，MN的长为4或8. 2.解：(1)①6②9(2)依题意有以下两种情况：①当点D在点B的左侧时，BD 1,如图所示： PB=x,PA=PB+AB=+12,PC=PB+BD+CD=x+1+6=x+7,PD= PB+BD=x+1,所以PA+PB-PC-PD=x+12+x-(x+7)-(x+1)=4;②当 点D在点B的右侧时，BD=1,如图所示： C B Dp PD=1,PA=PD+BD+AB=1+1+12=1+13,PB=PD+BD=1+1,PC= PD+CD=t+6,所以PA+PB-PC-PD=t+13+t+1-(t+6)-t=8.综上所述： -218重难专练（三）》 拔高选用 新课标下的一元一次方程 类型一 过程纠错型 3.有一堆实心的几何体：圆锥、正方体和球，已 1【新课标·过程纠错】小明在解方程。」 知相同的几何体具有相同的质量，某同学借 3 助天平探究三种几何体之间的质量关系时， x十1_3x一1-1时的步骤如下： 6 2 画出了如下四幅图，图中用“△”“口”和“O” 解：2(x-1)-x十1=3(3x-1)一6…第①步： 分别表示圆锥、正方体和球，其中有一幅图 2x-2-x+1=9x-3-6 …第②步： 画错了，它是 .(填序号》 2x一x-9x=一3一6十2-1…第③步； △A△ 000△0 一8x=一8…第④步； 第⑤步. 分 金 (1)以上解方程的过程中，第①步是进行 类型三 新运算（定义）型阅读理解题 ,变形的依据是 4.【新中考·新运算型阅读理解题】我们把 (2)以上步骤从第 步（填序号）开始出 错，错误的原因是 称为二阶行列式，且 ad- b d d 1 2 (3)请你根据平时的学习经验，就解一元一 bc,如 =1×(-4)-2×3=-10. -4 次方程需要注意的事项给其他同学提出 -4 7 一条建议； 若 =6,则m的值为 2 m (4)请聪明的你写出这题正确的解答过程， 5.【新中考·新定义型阅读理解题】定义：关 于x的方程a.x一b=0与方程bx一a=0(a,b 均为不等于0的常数)称互为“伴生方程”， 例如：方程2x一1=0与方程x一2=0互为 “伴生方程” (1)若关于x的方程2x一3=0与方程3.x c=0互为“伴生方程”，则c= ； (2)若关于x的方程4x+3m十1=0与方程 5.x一n十2=0互为“伴生方程”，求m,n 的值 类型二天平类型 2.如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①② 的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平 衡，需要在天平右盘中放人砝码 克 c3威4随克点之克 P18 拔高选用 重难专练（四） 巧设元，妙解题 类型一“古文化”问题 类型四工程问题 1.【新课标·数学文化】古代中国的数学专著 4.某公司计划租用甲、乙两辆车运送一批货 《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干 物，已知甲车单独运送这批货物需要20天， 之，耗三斤十二两.今有干丝一十二斤，问生 乙车单独运送需要10天，现由甲车先运5 丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后 天，然后甲、乙两车合作运完剩下的货物. 耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）. (1)甲、乙两车合作还需 天完成运 今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有 送任务； 生丝为 斤 (2)已知甲车每天的租金比乙车少100元， 类型二数字问题 运完这批货物公司共支付了租金6650 2.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字 元，则甲、乙两车的租金每天分别是多 大4，把个位上的数字和十位上的数字对 少元？ 调，新的两位数与原两位数之和为110，则 原两位数是 类型三配套问题 3.某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有 88名工人，其中女工人数比男工人数的2 倍少20人，并且每个工人平均每小时可以 制作盒身50个或盒底120个. (1)该工厂有男工人，有女工 人 (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工 类型五行程问题 负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒 5.在去市场的路上，涵涵以4km/h的速度走 底，那么调多少名女工帮男工制作盒身 了10分钟后发现忘记带推车，于是给爸爸 时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰 打电话，爸爸接到电话后立即按同样的路线 好配套？ 以比涵涵快一半的速度去送推车（接电话的 时间忽略不计).同时，涵涵掉头去取，速度 保持不变.请问爸爸出发多少分钟后能把推 车送给涵涵？ P19 类型六分配问题 类型七销售问题 6.现要把160吨物资从沈阳运往甲、乙两地， 7.【新情境·社会热点】2023年10月5日，杭 用大、小两种货车共15辆，恰好能一次性运 州第19届亚运会女子篮球决赛，中国队战 完这批物资，已知这两种货车的载重量分别 胜日本队，夺得金牌，这则消息提升了青少 为12吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运 年参加篮球运动的热情.某体育用品商店抓 费如表： 住时机，对甲、乙两品牌篮球开展促销活动， 运往甲、乙 甲地 乙地 已知甲、乙两品牌篮球的标价分别是160 两地车型 (元/辆) (元/辆) 元/个，60元/个，现有如下两种优惠方案： 方案一：不购买会员卡时，甲品牌篮球享受 大货车 240 280 8.5折优惠，乙品牌篮球5个以下按标价购 小货车 200 260 买，买5个（含5个）以上时所有球享受 (1)求这两种货车各用多少辆？（要求：列一 8.5折. 元一次方程解应用题) 方案二：办理一张会员卡100元，会员卡只 (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车 限本人使用，全部商品享受7.5折优惠， 前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆， (1)若购买甲品牌篮球5个，乙品牌篮球3 请直接写出用含a的代数式表示运往 个，哪一种方案更优惠？优惠多少元？ 甲、乙两地的总运费； (2)若购买甲品牌篮球若干个，乙品牌篮球 (3)在(2)的条件下，若运往乙地的物资为 6个，且方案一与方案二所付钱数一样 60吨，请求出安排前往甲地的大货车辆 多，求购买甲品牌篮球的个数. 数，及此时的总运费. P20 重难专练（五） 拔高选用 分段收费问题 1.下表中有两种移动电话计费方式： 2.随着出行方式的多样化，某市三类打车方式 的收费标准如下： 月使用 主叫限定 主叫超时 费/元 时间/min 费/元/min 出租车 滴滴快车 T3出行 路程：1.2元 路程：1.6元 方式 58 200 3千米以内：10元 千米 千米 方式二 88 400 x+0.05 超过3千米的部 时间：0.6元 时间：0.4元 其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时 分：2.4元/千米 分钟 分钟 间不再收费，主叫超过部分加收超时费.已 已知三种打车的平均车速均为40千米/小时. 知当方式一主叫超时20分钟，方式二主叫 如：乘坐8千米，耗时8÷40×60=12分钟 超时40分钟时，两种方式共收费160元. 出租车的收费为：10+2.4×(8一3)=22（元）： (1)求x的值； 滴滴快车的收费为：8×1.2+12×0.6 (2)若每月主叫时间不超过400分钟，当主 16.8(元)： 叫时间为多少分钟时，两种方式收费 T3出行的收费为：8×1.6+12×0.4=17.6（元）. 相同？ (1)如果乘车路程20千米，使用T3出行，需 (3)若某月主叫时间为700分钟，选择哪种 支付的费用是 元： 方式计费更省钱？ (2)如果乘车路程x(x>3)千米，使用出租车 出行，需支付的费用是 元； 使用滴滴快车出行，需支付的费用是 元 (3)T3出行和滴滴快车为了竞争客户，分别 推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路 程在6千米以上（含6千米）的客户每次 收费减免11元；T3出行车费半价优惠. 若乘车路程为m(m>6)千米，使用T3出 行比使用滴滴快车出行省20元，求m的值， P21