数学思想专题（二）利用数学思想求线段的长-【名师学案】2024-2025学年新教材七年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

跨单元整合 数学思想专题（二） 利用数学思想求线段的长 类型一整体思想 (2)若点O在线段AB的延长线上，其他条件 思想摄选 不变，画出图形，并求CD的长 整体思想是指从问题的整体性出发，对问题的整 体结构进行分析，发现问题的整体结构特征，在进行 C 0 D B 线段的计算时，可以把某些线段看成一个整体，从而 使问题得以解决。 税型展示 条件：如图，点C是线段AB所在直线上的一点， 点M,N分别是AC,BC的中点. 结论：MN=AB, 图①： A M 图②： A 图③： C M AN 【例】如图，点C在线段AB上，点M,N分别是 类型二方程思想 思想根述 AC,BC的中点 已知几条线段之间的比例关系或倍分关系，求相 M 关线段的长时，通常把某条线段的长度设为未知数， (1)若AC=9cm,CB=6cm,则线段MN的长 根据所求线段与其他线段之间的等量关系列方程求 为 cm. 解.通过列方程解决问题是数学中常用的解题方法。 (2)若AC=acm,CB=bcm,则线段MN的长 为 2.如图，线段AB和CD的公共部分BD=号AB cm. (3)若点C为线段AB上任意一点，且AB= =CD,线段AB,CD的中点E,F之间的距 ncm,其他条件不变，你能猜想MV的长度 离是10cm,求AB,CD的长. 吗？并用简洁的语言描述你发现的结论， E D B F 【针对练习】 1.如图，线段AB=10,点O是线段AB上一点， C,D分别是OA,OB的中点 (1)线段CD的长是 115七年级数学·上册 类型三分类讨论思想 :思想得述 解题技巧 解决与线段的长度有关的问题，有时会有多种情 如图，数轴上A,B两点对应的数分别为a,b. 况，需要对各种情况分类讨论，逐类求解，这就是分类 A C B 讨论思想.解决与线段有关的计算，应注意分析点是 (1)若，点C为线段AB的中点，则点C对应的数 位于已知线段上，还是其延长线上。 为0大6 2 3.已知线段AB=12cm,直线AB上有一点C, (2)点P从点A出发，以1个单位长度/秒的速 且BC=6cm,M是线段AC的中点，则线段 度沿数轴正方向运动，点Q从点B出发：以2个单位 AM的长为 () 长度/秒的速度沿数轴负方向运动.设运动时间为 A.9 cm B.3 cm 秒，则： C.9cm或3cm D.9cm或15cm ①点P对应的数为a十t: 4.如图，线段AB=12cm,点M为线段AB的 ②点Q对应的数为b一2t: 中点，点N为线段MB的中点，请回答下列 ③PQ=|(b-21)-(a+t)L. 问题. 5.直线l上线段AB=6,线段CD=2(点A在点 (1)求线段MN的长； B的左侧，点C在点D的左侧). (2)在直线AB上找一点C,使CN=5cm,线 B PQ c b 段MC的中点为点P,则PM= (1)若线段BC=1,则线段AD= cm. (2)如图，点P,Q分别为AD,BC的中点，则 线段PQ的长度是 ； (3)若线段CD从点B开始以1个单位/秒的 速度向右运动，同时，点M从点A开始以 2个单位/秒的速度向右运动，点N是线 段BD的中点，若MN=2DN,求线段CD 运动的时间. 类型四数形结合思想 思想概述 解决与线段有关的动点问题，可借助线段图，把 点的运动路程表示在线段上，将抽象的问题直观地体 现出来，这种把数与图形结合起来研究的思想就是数 形结合思想，应用数形结合思想可以使复杂的问题直 观化、形象化，更有利于解决问题。 助学助教优质高数1162.C3.B4.(1)CDBD(2)CDBC(3)BC5.两点之间，线段最短6.12 7.解：点P的位置如图所示. B 8.C9.(1)BC224(2)C10.解：因为点C是线段AB的五等分点.所以AB =5BC=5×2=10cm,因为AB=AC+BC,所以AC=AB-BC=10-2=8cm.因为 点D是AC的中点，所以AD=2AC=×8=4cm答：AD的长是4cm,1.C 12.C13.B14.解：如图，线段AF即为所求. ←b+ 15.解：(1)点E是线段AD的中点.理由如下：因为AC=BD,所以AB十BC=BC+ CD.所以AB=CD.因为E是线段BC的中点，所以BE=EC.所以AB+BE=CD+ EC,即AE=ED.又因为点E在线段AD上，所以点E是线段AD的中点.(2)2 16.解：画出图形 L A Q B 设AP=2xcm,PB=3.xcm,则AB=5xcm.因为AQ:QB=4:1,所以AQ=4xcm, QB=xcm.所以QP=PB-QB=2xcm.因为PQ=3cm,所以2x=3.所以x=1.5, 所以AP=3cm.QB=1.5cm.17.解：如图，沿线段BA爬行，根据 是：两点之间，线段最短. 数学思想专题（二）利用数学思想求线段的长 【例1)号(2)士(3)解：猜想：MN=2AB=号cm结论：若点C为线段AB 上一点，且点M,N分别是AC,BC的中点，则MN=子AB. 【针对练习】 1.(1)5(2)解：画图如下： CB DO 因为点C,D分别是0A,OB的中点，所以0C=2A0=(AB+BO,D0=2BO,. 因为CD=0C-OD,所以CD=(AB+B0)-2B0=7AB=号×10=5.2.解： 设BD=xcm则AB,CD,AC的长度表示为3.x,4x,6xcm.因为点E、点F分别为 AB,CD的中点，所以AE=AB=号xem,CF=合CD=2xcm.所以EF=AC-AE 一CF=号xcm.因为EF=10cm,所以号r=10解得：x=4.所以AB.CD的长分别 为12cm,16cm.3.C4.(1)解：因为线段AB=12cm,点M为线段AB的中点，所 以MB=2AB=6cm又因为点N为线段MB的中点，所以MN=号MB=3cm (2)1或45.解：(1)7或9(2)2(3)线段CD运动的时间为t,则AM=2t,BC=t, 所以BM=AB-AM=6-2t或BM=AM-AB=2t-6,BD=BC+CD=t+2,因为 点N是线段BD的中点，所以DN=BN=专BD=十1.因为MN=2DN,所以6 -2+2+1=2(21+1D或(21-6)-（分+1）=2(21+1)，解得：1=2或1=18.故 线段CD运动的时间为2s或18s. 6.3角 6.3.1角的概念 知识储备 1.两条射线旋转2.大写3.3601806060 —204