第04讲 一元二次方程的解法（6个知识点+6种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第04讲 一元二次方程的解法（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点4．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点5．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点6．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型强化 题型一、解一元二次方程——直接开平方法 1．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程两根为和3，则关于x的方程的实数根个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】根据关于x的一元二次方程两根为和3，可知或，分别解方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为和3， ∴或， 解，得， ∴此方程无实数解； 解，得， ∴， ∴关于x的方程的实数根个数为2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元二次方程，根据方程的解得出或是解题的关键． 2．（2024八年级下·安徽·专题练习）方程的一个较小的根为 ． 【答案】/ 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程通过直接开平方法解得，则易求该方程的两个根，通过比较即可知该方程的较小的根为． 【详解】解：由原方程，得 ， 解得，，． ，即 ，即方程的一个较小的根为． 故答案为：． 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【知识点】一元二次方程的解、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 题型二、解一元二次方程——配方法 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，； 小赵负责的步骤错误； 故选：D． 5．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）关于的方程，若通过配方得，则 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式． 【详解】 即 ∴ ∴ 依题意， ∴ ∴ 故答案为：． 6．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．利用配方法即可求解． 【详解】解： 配方得： 即 或， ，． 题型三、公式法解一元二次方程 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 8．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答． 【详解】解：根据与，可得， 从而得到一元二次方程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键． 9．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键． 原方程化为，得根的判别式，得到，即得，． 【详解】解：方程化为， ，，． ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 题型四、因式分解法解一元二次方程 10．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉其解法是解决问题的关键．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ，即， ，， 故选：D． 11．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，等腰三角形的底边长为6，它的腰长为方程的一个根，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系；解一元二次方程得，，由构成三角形的条件进行判断即可求解；掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：， 或， ，， ， 不合题意，舍去， ， 故答案：． 12．（23-24八年级下·安徽·单元测试）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解： 因式分解得：， 即，或， 解得：，； （2）解： 移项得：， 因式分解得：， 即或， 解得：，． 题型五、换元法解一元二次方程 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴，即．　 设，则． ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴一元二次方程必有一根为2026． 故选C． 14．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出整体将原式进行适当变形，转化为解一元二次方程是解题的关键，并注意根据已知条件判断的值．可用换元法将原式化为，解此方程可求出的值，即可得出结果． 【详解】解：设， 则原式可化为：， 即， 解得：或， ， 故， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 【答案】(1)； (2)，，，． 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】（）由已知等式设，得出，结合可得答案； （）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想． 【详解】（1）设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， （2）设最小正整数为，则， 即：， 设，则，解得：，， ∵为正整数， ∴，解得，（舍去）， ∴这四个连续正整数为，，，． 题型六、配方法的应用 16．（22-23八年级下·安徽·期末）将一元二次方程配方后得到的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】所给方程的二次项系数就是1，将常数项移到等号右边，再给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，结合完全平方公式即可解答． 【详解】解：移项得： 配方得： 由完全平方公式得： 即： 故选：A． 【点睛】此题主要考查用配方法解一元二次方程的知识，关键是掌握配方法的步骤． 17．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）把方程化为的形式，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】配方法的应用 【分析】先将方程进行配方，求出和的值，再代入求解即可． 【详解】解： ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方的方法和步骤是解题的关键． 18．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）【探究学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为； (2)当时，；当时，，理由见解析 (3)当时，长方形场地的面积最大，最大值为 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）先配方，再根据求解即可； （2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）由题意得：，， ∴， ∵， ∴当时，，即， ∴； 当时，，即， ∴； 综上所述，当时，；当时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为． 分层练习 一、单选题 1．方程x2=1的根是（ ） A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=﹣1 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【详解】试题分析：两边直接开平方即可． 解：x2=1， 两边直接开平方得：x=±=±1， 故：x1=1，x2=﹣1， 故选D． 考点：解一元二次方程-直接开平方法． 2．方程x（x﹣1）＝5（x﹣1）的解是（　　） A．1 B．5 C．1或5 D．无解 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】先把方程右边的因式移到左边，再提取公因式x﹣1，即可利用因式分解法求出x的值． 【详解】解：原方程可化为x（x﹣1）﹣5（x﹣1）＝0， 即（x﹣1）（x﹣5）＝0， 解得x1＝1，x2＝5． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，根据所给方程选择合适的求解方法是解此题的关键． 3．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：得， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查利用直接开平方法求解一元二次方程，注意计算得准确性． 4．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将常数项移到等号右边，两边同时加1，即可配方． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】此题考查了利用配方法解一元二次方程，正确掌握配方法的计算方法是解题的关键． 5．一元二次方程的根是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】先提取公因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可． 【详解】解： ∴或， 解得：，， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 6．用配方法解方程时，配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把1移到方程的右边，然后方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式． 【详解】解： 故选：B． 7．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先把化成＝3的形式，再配方即可； 【详解】解：∵, ∴＝3, ∴+4＝3+4, ∴(x-2)2=7; 故选B． 8．若菱形的一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（    ） A．24 B．12 C．20 D．12或20 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出是解决问题的关键．解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的周长． 【详解】解：如图所示：    ∵四边形是菱形， ∴， ∵ 因式分解得：， 解得：或， 分两种情况： ①当时，，不能构成三角形； ②当时，， ∴菱形的周长． 故选：C 9．已知m是整数，且满足，则关于x的方程的为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式组，求出m的值，再代入方程m2x2-4x-2=（m+2）x2+3x+4求出方程的解． 【详解】解不等式组得＜m＜1， ∵m是整数， ∴m=1， 当m=1时，方程为x2-4x-2=3x2+3x+4，解得x=-1.5或-2； 故选A． 【点睛】考查了不等式和方程的解法，解题关键是根据求出m的值，再将m的值代入计算. 10．若等腰三角形ABC的两边分别是方程的两个根，则三角形的周长为（    ） A．7 B．10 C．7或8 D．8或10 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、构成三角形的条件 【分析】先求出方程的两个根，再根据根的情况和三角形的三边关系判断三角形的三条边长，再求出三角形的周长即可． 【详解】解： ∴解得，， ∵等腰三角形ABC的两边分别是方程的两个根， ∴当三角形三边为2，2，4时，不能构成三角形， 当三角形三边为4，4，2时，此时能够成等腰三角形， ∴的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和三角形三边的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和三角形三边的关系是解答本题的关键．注意三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 二、填空题 11．已知实数a，b满足a2-a-6=0，b2-b-6=0（a≠b），则a+b= . 【答案】1 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】先分别解方程a2-a-6=0，b2-b-6=0，求出a与b的值，然后相加即可. 【详解】∵a2-a-6=0， ∴(a+2)(a-3)=0, ∴a1=-2，a2=3. ∵b2-b-6=0, ∴(b+2)(b-3)=0, ∴b1=-2，b2=3. ∵a≠b, ∴a+b=-2+3=1,或a+b=3+（-2）=1 故答案为1. 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想． 12．方程5x=x2的根是 . 【答案】x1=0，x2=5 【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【详解】5x=x2， x2-5x=0， x（x-5）=0， x=0或x-5=0， x1=0，x2=5． 故答案为x1=0，x2=5． 【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了． 13．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝ ． 【答案】或1 【知识点】换元法解一元二次方程 【详解】解：设a+b=x，则由原方程，得 4x（4x﹣2）﹣8=0，   整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0， 分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，   解得：x1=﹣，x2=1． 则a+b的值是﹣或1． 故答案为：或1． 14．在解方程时，通过换元并整理得方程，则 ． 【答案】 【分析】先对﹣2x2﹣1进行变形整理为﹣2（x2﹣1）﹣3，然后根据题意与y2﹣2y﹣3＝0进行对照，y是x2﹣1进行的等量代换，所以y＝x2﹣1． 【详解】方程整理，得：（x2﹣1）2﹣2（x2﹣1）﹣3＝0，故y＝x2﹣1． 故答案为x2﹣1． 【点睛】本题考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 三、解答题 15． 【答案】． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】试题分析：先乘开，再整理，然后用因式分解法即可． 试题解析： ． 考点：解一元二次方程—因式分解法． 16．用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用配方法化简即可得出答案． （2）利用求根公式法，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； ； ； 解得：，． （2）解：， 根据求根公式，分别代入， 解得：，． 17．（1）已知，求的值； （2）求证：不论x，y为何实数，的值总是正数； 【答案】（1）8；（2）见解析 【知识点】配方法的应用 【分析】（1）把13x2-6xy+y2-4x+1=0化为（3x-y）2+（2x-1）2=0，求出x，y的值再求出结果． （2）将多项式运用完全平方公式变形为，再根据非负数的性质，判断出代数式大于等于3，进而得知值是正数． 【详解】解：（1）∵13x2-6xy+y2-4x+1=0， ∴（3x-y）2+（2x-1）2=0， 解得，x=，y=， ∴==． （2） = =≥3， 即不论x、y为何实数，的值总是正数． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式与因式分解的应用，同学们在解题中特别要注意灵活运用非负数的性质． 18．某陶瓷厂有90名工人生产碗和盘子，3只碗和5个盘子配成一套餐具礼盒，已知一名工人一天可以生产6只碗或8个盘子． (1)分别安排多少名工人生产碗和盘子可使一天生产的碗和盘子正好配套？ (2)A、B两个车间接到任务生产一批套装餐具礼盒，若该任务由A车间单独完成，则恰好能在规定工期完成；若由B车间单独完成，则需要比规定工期多用6天时间．若A、B两个车间先合作4天，剩下的再由B车间继续加工3天后刚好完成．请求出完成这批餐具礼盒规定工期是多少天？ 【答案】(1)安排40名工人生产碗，则50名工人生产盘子可使一天生产的碗和盘子正好配套； (2)完成这批餐具礼盒规定工期是8天． 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、因式分解法解一元二次方程、分式方程的实际应用 【分析】（1）设安排x名工人生产碗，则名工人生产盘子可使一天生产的碗和盘子正好配套，根据3只碗和5个盘子配成一套餐具礼盒列出方程，并解方程即可得到答案； （2）设完成这批餐具礼盒规定工期是m天，根据“A、B两个车间先合作4天，剩下的再由B车间继续加工3天后刚好完成”列出方程，解分式方程并检验后即可得到答案． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产碗，则名工人生产盘子可使一天生产的碗和盘子正好配套，则 解得 则， 答：安排40名工人生产碗，则50名工人生产盘子可使一天生产的碗和盘子正好配套； （2）设完成这批餐具礼盒规定工期是m天，则 解得， 经检验都是分式方程的解，但符合题题意， 答：完成这批餐具礼盒规定工期是8天． 19．为美化市容，改善居民生活环境，区政府投入总资金9400万元修建一个游园．为使游园早日造福于市民，承建单位经预算拿出总资金用于购买某种名贵成树进行绿化．施工中，第一次用16万元从某林场购回若干棵；后经了解该林场出售此种名贵成树有优惠条件：即购买20万元以上者每棵树优惠40元，于是承建单位第二次将预算购买名贵成树的余下资金一次投入，因此比第一次多购买回200棵该种成树，问承建单位两次共购回这种名贵成树多少棵？ 【答案】承建单位两次共购回这种名贵成树1000棵 【知识点】因式分解法解一元二次方程、分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设第一次购买回这种名贵成树x棵，则第二次购买回这种名贵成树棵，根据第二次购买的单价比第一次购买的单价低40元列出方程求解即可． 【详解】解：设第一次购买回这种名贵成树x棵，则第二次购买回这种名贵成树棵， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：承建单位两次共购回这种名贵成树1000棵． 20．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式． 例如：x2+11x+24 ＝（x+8）（x+3） 根据以上材料，解答下列问题： (1)初步感知：用多项式的配方法将x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式； (2)问题探究：下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程： 解：x2﹣3x﹣40 ＝x2﹣3x+32﹣32﹣40 ＝（x﹣3）2﹣49 ＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7） ＝（x+4）（x﹣10） 老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“一一”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程． 【答案】(1) (2)标画出的错误见解析；正确解答过程见解析 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用 【分析】（1）根据配方法，可得答案； （2）根据配方法，可以看出该同学的错误；再根据配方法和平方差公式，分解因式，可得答案． 【详解】（1）解：x2+8x﹣1 （2）该同学第一步出现错误，如图所示： 正确的解答如下： 【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，熟练掌握配方法的基本步骤和平方差公式，是解题的关键． 21． 安全驾驶：合理车距的保持艺术 素材一 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离．司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为1秒，车辆可看作匀速直线运动，车辆行驶的距离称为反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离满足（其中a为汽车制动加速度，在城市道路约为）． 素材二 《道路交通安全法实施条例》第四十五条：机动车在没有限速标志、标线的道路上，机动车不得超过下列最高行驶速度：没有道路中心线的城市道路为每小时30千米，同方向只有1条机动车道的城市道路为每小时50千米． 《道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后50米到100米处设置警告标志． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离__________（用含v的代数式表示）．若汽车行驶速度为，则汽车的停车距离为__________米． 任务二 探索研究方法 老师开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 任务三 尝试解决问题 请你从停车距离的角度分析素材二中道路交通安全法的合理性． 【答案】任务一： ，36；任务二：车速不超过才能在刹车后避免连环追尾事故的发生；任务三：  见解析 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查的是函数的实际应用，一元二次方程的应用，理解题意是解本题的关键； 任务一：根据题干信息提示计算即可得到答案； 任务二：由题意可得方程，解方程后，再结合实际意义下结论即可； 任务三：把每小时30千米，每小时50千米，代入（1）中的函数关系式，计算停车距离与法律规定的数据进行比较即可得到结论． 【详解】解：任务一：∵反应距离为， 制动距离为：， ∴汽车的停车距离； 当时， ∴； 任务二：（2）由题意可得， ∴， 解得  ，（负根舍去）， ∴ 车速不超过才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．     任务三：当时， ∴， 当， ∴， ∴道路交通安全法规定合理． 22．某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价； (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； (3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值． 【答案】(1)甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元 (2)总利润的最大值为元 (3)或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数，分式方程以及一元一次不等式等的实际应用，理解题意，准确建立一次函数、不等式或方程进行求解是解题关键． （1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进甲坚果的数量为盒，总利润为，根据题意，列出不等式和一次函数的解析式，利用一次函数的性质，进行求解，即可； （3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意，列出一元一次不等式和二元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：， 解得：（舍去）或， 经检验：是原方程的根； ∴； 答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元； （2）设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒， 由题意，得：， 解得：， ∴的最大整数解为：35， 设总利润为，则：， ∴当时，有最大值：； 故总利润的最大值为元． （3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和， 由题意，得：， 解得：， ∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元， ∴， 整理，得：， ∵均为正整数， ∴或， ∴或． 23．已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． (1)探究：当时，求的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ (3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．    【答案】(1)5 (2)10年；2.5万元 (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、配方法的应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）直接利用可得结论； （2）先求解年平均保养费用，利用可得结论； （3）设直线为：，用含的代数式表示的坐标，求解的面积，利用求解面积最小值时的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 当，即时，的最小值为5； （2）解：由题意得：， 年平均费用． 当时， ， 即时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元； （3）解：设直线为：， 把代入解析式得：， ， 直线为：， 令，， ， 令， ， ， ， 由题意知：， ， 由题意得：， ． 当时，即时，最小， 直线为：． 【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元二次方程的解法（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点4．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点5．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点6．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型强化 题型一、解一元二次方程——直接开平方法 1．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程两根为和3，则关于x的方程的实数根个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024八年级下·安徽·专题练习）方程的一个较小的根为 ． 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 题型二、解一元二次方程——配方法 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 5．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）关于的方程，若通过配方得，则 ． 6．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）解方程：． 题型三、公式法解一元二次方程 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 9．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）解方程：． 题型四、因式分解法解一元二次方程 10．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 11．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，等腰三角形的底边长为6，它的腰长为方程的一个根，则m的值为 ． 12．（23-24八年级下·安徽·单元测试）解方程 (1)； (2)． 题型五、换元法解一元二次方程 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 14．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）若，则的值为 ． 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 题型六、配方法的应用 16．（22-23八年级下·安徽·期末）将一元二次方程配方后得到的结果是（　　） A． B． C． D． 17．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）把方程化为的形式，则的值是 ． 18．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）【探究学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 分层练习 一、单选题 1．方程x2=1的根是（ ） A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=﹣1 2．方程x（x﹣1）＝5（x﹣1）的解是（　　） A．1 B．5 C．1或5 D．无解 3．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 4．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根是（    ） A． B．， C． D．， 6．用配方法解方程时，配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 7．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）． A． B． C． D． 8．若菱形的一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（    ） A．24 B．12 C．20 D．12或20 9．已知m是整数，且满足，则关于x的方程的为（      ） A． B． C． D． 10．若等腰三角形ABC的两边分别是方程的两个根，则三角形的周长为（    ） A．7 B．10 C．7或8 D．8或10 二、填空题 11．已知实数a，b满足a2-a-6=0，b2-b-6=0（a≠b），则a+b= . 12．方程5x=x2的根是 . 13．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝ ． 14．在解方程时，通过换元并整理得方程，则 ． 三、解答题 15． 16．用适当的方法解下列方程 (1) (2) 17．（1）已知，求的值； （2）求证：不论x，y为何实数，的值总是正数； 18．某陶瓷厂有90名工人生产碗和盘子，3只碗和5个盘子配成一套餐具礼盒，已知一名工人一天可以生产6只碗或8个盘子． (1)分别安排多少名工人生产碗和盘子可使一天生产的碗和盘子正好配套？ (2)A、B两个车间接到任务生产一批套装餐具礼盒，若该任务由A车间单独完成，则恰好能在规定工期完成；若由B车间单独完成，则需要比规定工期多用6天时间．若A、B两个车间先合作4天，剩下的再由B车间继续加工3天后刚好完成．请求出完成这批餐具礼盒规定工期是多少天？ 19．为美化市容，改善居民生活环境，区政府投入总资金9400万元修建一个游园．为使游园早日造福于市民，承建单位经预算拿出总资金用于购买某种名贵成树进行绿化．施工中，第一次用16万元从某林场购回若干棵；后经了解该林场出售此种名贵成树有优惠条件：即购买20万元以上者每棵树优惠40元，于是承建单位第二次将预算购买名贵成树的余下资金一次投入，因此比第一次多购买回200棵该种成树，问承建单位两次共购回这种名贵成树多少棵？ 20．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式． 例如：x2+11x+24 ＝（x+8）（x+3） 根据以上材料，解答下列问题： (1)初步感知：用多项式的配方法将x2+8x﹣1化成（x+m）2+n的形式； (2)问题探究：下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程： 解：x2﹣3x﹣40 ＝x2﹣3x+32﹣32﹣40 ＝（x﹣3）2﹣49 ＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7） ＝（x+4）（x﹣10） 老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“一一”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程． 21． 安全驾驶：合理车距的保持艺术 素材一 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离．司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为1秒，车辆可看作匀速直线运动，车辆行驶的距离称为反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离满足（其中a为汽车制动加速度，在城市道路约为）． 素材二 《道路交通安全法实施条例》第四十五条：机动车在没有限速标志、标线的道路上，机动车不得超过下列最高行驶速度：没有道路中心线的城市道路为每小时30千米，同方向只有1条机动车道的城市道路为每小时50千米． 《道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后50米到100米处设置警告标志． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离__________（用含v的代数式表示）．若汽车行驶速度为，则汽车的停车距离为__________米． 任务二 探索研究方法 老师开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 任务三 尝试解决问题 请你从停车距离的角度分析素材二中道路交通安全法的合理性． 22．某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价； (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； (3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值． 23．已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． (1)探究：当时，求的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ (3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．    学科网（北京）股份有限公司 $$