第04讲 勾股定理（2个知识点+11种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第04讲 勾股定理（2个知识点+11种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 题型强化 题型一、用勾股定理解三角形 1．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环  境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（    ）    A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，根据三边上的树苗的数分别求得三边的长为13、47、49，根据三边的长判断三角形的形状即可，熟练掌握勾股定理并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米， ∴三边的长分别为13米、47米、49米， 假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x， ∴， ∵， ∴该三角形为钝角三角形， 故选：B． 2．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，则这个三角形的面积为 ． 【答案】12 【知识点】根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据等腰三角形三线合一性质得到，然后利用勾股定理求出，进而得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，，底边上的中线， ∴ ∴ ∴ ∴这个三角形的面积为． 故答案为：12． 3．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）已知与中，，，将与按如图位置摆放，其中点，，，在同一直线上，点，在直线的同侧，点是的中点，求，两点之间的距离． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．根据、，利用勾股定理可以得到，又因为点是的中点，所以可得，所以点是的中点，根据三线合一可得，，利用勾股定理可求． 【详解】解：如下图所示，连接 、， ，， ， 点是的中点， ， ， ，， ． 题型二、已知两点坐标求两点距离 4．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：C 5．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中，A 、B两点的坐标分别为，那么两点之间的距离 ． 【答案】5 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】根据两点间距离公式计算解答即可． 本题考查了两点间距离公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A 、B两点的坐标分别为， 故， 故答案为：5． 6．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知平面内两点，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，点A的纵坐标为______； (2)已知点，，试求A，B两点间的距离． 【答案】(1)点A的纵坐标为6或 (2)A，B两点间的距离为13 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查两点间的距离公式及勾股定理，熟记以上知识是解题的关键． （1）由于横坐标相同，所以、两点间的距离等于纵坐标差的绝对值； （2）用勾股定理，根据两点间的距离公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4， ∴A的纵坐标为或者．即点A的纵坐标为6或． （2）解：， 即A，B两点间的距离为13． 题型三、勾股树（数）问题 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各组数是勾股数的是（    ） A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1.5，2，2.5 D．5，11，12 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数，勾股数必须是正整数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小小数的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A选项，，7，24，25是勾股数； B选项，三个数都不是正整数，0.3，0.4，0.5不是勾股数； C选项，1.5和2.5不是正整数，1.5，2，2.5不是勾股数； D选项，，5，11，12不是勾股数； 故选：A． 8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【答案】 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键． 根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 【答案】见详解 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，分别算出、、，再得到，即可求解；理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：n为整数（）， a，b，c为整数， ， ， ， ， ， a，b，c为勾股数． 题型四、以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（22-23八年级下·四川南充·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2023次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理．设第一个直角三角形的两条直角边是，，斜边是．则，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，从而得出规律． 【详解】解：设第一个直角三角形的两条直角边是，，斜边是． 根据勾股定理，得， 由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 即所有正方形的面积和是， 由图2可知，“生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 故选：D． 11．（23-24八年级下·广东韶关·期中）如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ． 【答案】18 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，根据勾股定理可得，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为， 根据题意，可得， ∵所有三角形都是直角三角形， ∴， ∴， 即正方形的面积为18． 故答案为：18． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所围成的两个新月形，它的面积与直角三角形的面积有什么关系？请说明理由． 【答案】两个新月形的面积等于直角三角形的面积，理由见解析 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据得到，再由勾股定理推出，据此可得结论． 【详解】解：两个新月形的面积等于直角三角形的面积，理由如下： 由题意得，， ， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴两个新月形的面积等于直角三角形的面积． 题型五、勾股定理与网格问题 13．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出可能的距离，即可得到答案． 【详解】解：∵在的正方形网格中，若小正方形的边长是1， ∴任意两个格点间的距离有， 故任意两个格点间的距离不可能是， 故选：C． 14．（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【答案】2 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 的面积， ， ． 故答案为：2． 15．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长．    【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据网格的特点，作图的性质可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型六、勾股定理的证明方法 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】A 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，分别用不同的方法表示出大正方形的面积，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：甲方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴，即，可以证明勾股定理，故甲正确； 乙方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴，不可以证明勾股定理，故乙错误； 故选：A． 17．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    【答案】 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 【答案】证明见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，连接， 首先说明再用两种方法表示出四边形的面积，化简即可，运用两种方法表示四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵两个三角形全等， ∴四边形的面积为： ． 题型七、勾股定理与无理数 19．（21-22八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D. 20．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在数轴上以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， 以点为圆心，为半径画弧交数轴于点， 所表示的数为， 的值为， 故答案为：． 21．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）利用勾股定理，可以作出长为、、、的线段，如图：在中，，，，则的长等于______．在按同样的方法，可以在数轴上画出表示、、、的点．      （）在数轴上作出表示的点（尺规作图，保留痕迹）． （）在数轴上作出表示的点（尺规作图，保留痕迹）． 【答案】；（）作图见解析；（）作图见解析． 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理，在数轴上表示无理数，利用勾股定理正确作出直角三角形是解题的关键．利用勾股定理即可求出的长度； （）如图，在数轴上作出直角边为的等腰直角三角形，由勾股定理得斜边长为，以原点为圆心，为半径画圆，与数轴的负半轴交于点，点表示的数即为； （）如图，先在数轴上作出直角边为的等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜边为直角边，另一条直角边为作一个直角三角形，由勾股定理可得，它的斜边为，然后以原点为圆心，为半径画圆，与数轴的正半轴交于点，点表示的数即为； 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：； （）如图，点即为所求； （）如图，点即为所求． 题型八、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）一架长10米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端6米，如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那么梯足将滑（     ） A．米 B．米 C．1米 D．2米 【答案】D 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接着利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯足将滑2米， 故选：D． 23．（23-24八年级下·全国·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离与梯子底端B向外移的距离相等时，的长是 ． 【答案】 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，先根据勾股定理求出的长，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解： 设 解得： 故答案为：． 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是4米，将梯子的底端向方向挪动1米，如图2，求梯子的顶端向上移动了多少米（即求的长）？ 【答案】梯子的顶端向上移动了1米． 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得米，在中由勾股定理可得的长，即而可得答案． 【详解】解：由题意可得，米，米，米， 在中，， ， ∴ 米， 答：梯子的顶端向上移动了1米． 题型九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 25．（22-23八年级下·广西柳州·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（     ） A．10米 B．8米 C．6米 D．4米 【答案】A 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过C点作于点E，则四边形是矩形．，长度可求，在中，可根据勾股定理求出长． 【详解】解：如图，连接，设大树高为米，小树高为米， 过C点作于点E，则四边形是矩形． 米，米， （米）． 在中，根据勾股定理得： （米）， 故选：A． 26．（2024八年级下·全国·专题练习）有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间 才能赶回巢中． 【答案】5 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过A作于E．则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意知，． 过A作于E．则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴它至少需要才能赶回巢中． 故答案为：． 27．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 题型十、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 28．（22-23八年级下·广东珠海·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 【答案】/8米 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 29．（2024八年级下·全国·专题练习）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】超速了，理由见解析 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案． 【详解】解：由题意知，米，米，且在中，是斜边， ∴，即 ∴米千米， 且2秒时，所以速度为千米/时， ∵， ∴该小汽车超速了． 题型十一、求最短路径(勾股定理的应用) 30．（23-24八年级下·全国·期末）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可． 本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理，正确确定展开图中个线段的长度是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，， 如图所示：， 故选：A． 31．（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，圆柱体的高为，底面周长为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面B处的食物，已知B处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是 ． 【答案】5 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，勾股定理的应用；先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，C、H分别是、的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是， 故答案为：5． 32．（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？   【答案】蚂蚁爬行的最短路线长为． 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查圆柱的侧面展开图和勾股定理．将圆柱的侧面展开，然后利用勾股定理即可求得最短路线． 【详解】解：展开之后如图，此时的长度即为最短路线长，    此时，， ∴ ， 答：蚂蚁爬行的最短路线长为． 分层练习 一、单选题 1．在△ABC中，若∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得： 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 2．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为3和8，则c的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可． 【详解】解： 如图， 由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°； ∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE， ∠ABC=∠CED=90°，AC=CD， ∴△ACB≌△CDE， ∴AB=CE，BC=DE； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2， 即Sc=Sb−Sa=8−3=5． 故选B． 【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强. 3．点M在x轴上，且点M到点的距离为5，则点M的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知两点坐标求两点距离 【分析】分点M在x轴的正半轴与负半轴两种情况讨论，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， 当点M在x轴的正半轴时， 那么，，那么； 当点M在x轴的负半轴时，那么，，那么； 综上：点M的坐标为 或． 故选：C． 【点睛】本题考查的是点的坐标以及勾股定理内容，难点在于分情况讨论． 4．若直角三角形两条直角边长分别为2, 3,则该直角三角形斜边上的高为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】已知两直角边长度，根据勾股定理即可求得斜边长，三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高. 【详解】解：设该直角三角形斜边上的高为， 直角三角形的两条直角边长分别为2和3， 斜边， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键. 5．我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1和图3可以验证勾股定理；根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断图2可以验证勾股定理． 【详解】解：图1和图3：∵，， ∴， ∴， ∴，故图1和图3都可以验证勾股定理； 图2：图形的总面积可以表示为：， 也可以表示为：， ∴， ∴．故图2可以验证勾股定理； 图4不可以验证勾股定理． 综上，图1、图2和图3可以验证勾股定理，共3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，观察图形，利用两种方法表示出图形的面积是解题的关键． 6．如图，在的网格中，A，都在格点上，以为斜边作，若点也在格点上，这样的能作出（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】根据题意作出直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，符合题意的直角三角形有4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了在网格中做直角三角形，解题的关键是熟练掌握格点特点，数形结合． 7．在直角坐标系中，点P（2，3）到原点的距离是（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】勾股定理及逆定理 【详解】试题分析：根据勾股定理可得：点P到原点的距离=． 考点：勾股定理． 8．在边长为6的等边三角形中，D为边AC上的一个三等分点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】过点D作于点E，利用等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】过点D作于点E，    ∵边长为6的等边三角形中，D为边AC上的一个三等分点， ∴,, ∴, ∴， ∴， 过点作于点F， ∵边长为6的等边三角形中，为边AC上的一个三等分点， ∴,, ∴, ∴， ∴， 故选A． 9．如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，可得，从而可得，然后再利用角平分线的定义以及平角定义可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：平分平分， 在中， 故选：C． 10．房梁的一部分如图所示，其中，，，点D是AB的中点，且，垂足为E，则AE的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，根据为的中点可求出的长，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半即可求出的长度，然后用勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵，，， ∴，， ∴， ∵点是的中点，且， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．如图，的边在数轴上，，，，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数为 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，先利用勾股定理求出，再由作图方法得到，由此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图方法可知， ∴点C表示的实数为， 故答案为：． 12．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？” 如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为 ． 【答案】102+（x﹣5+1）2=x2 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】由题意可得OE的长，在Rt△OBE中由勾股定理建立方程即可． 【详解】∵绳索长OA=OB=x尺，CE=BD=5尺，在Rt△OBE中，由勾股定理得，102+（x﹣5+1）2=x2． 故答案为：102+（x﹣5+1）2=x2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，结合图形运用勾股定理建立方程是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，D为AC中点，将∠CBD沿AB翻折，得到，过F作于G，则FG= ； ； 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、含30度角的直角三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】连接FD交AB于点H，根据折叠的性质，可知BF=BD，FDAB，结合已知，可解得BC=4，AC=，再由中点性质，求得AD，BD、BF的长，根据三角形面积公式及勾股定理可解得FG、BG的长，进而求DG即可解题． 【详解】如图，连接FD交AB于点H， 由折叠得BF=BD，FDAB， BC=AB=4，AC= D为AC中点， AD=CD=AC=2，BD= BF=BD= AD=2，∠A=30°， DH=，BH=5，FD=2 在Rt△BFG中，BG= 所以DG=BD-BG= 故答案为： 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形、勾股定理、中点性质、三角形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14．命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是 ，是 （填“真命题”或“假命题”） 【答案】 在同一个三角形中，等角对等边； 真. 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析题设是否能推出结论，从而得出命题的真假． 【详解】“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是：“在同一个三角形中”，等角对等边，是真命题； 故答案为“在同一个三角形中，等角对等边；真． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 15．如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．若，，则 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，连接，首先根据轴对称的性质，三角形内角和定理和等边对等角得到，设，然后利用勾股定理即可求出的长度，进而求出的长度即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点和点关于直线对称 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴可设， ∵， ∴由勾股定理得， ∴ 解得， ∴， ∴ 故答案为：． 16．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于两点，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4-x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ∴． 故答案为: ． 【点睛】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质．由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 17．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，直角三角形两条直角边分别为x，y，那么= ． 【答案】100 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据题意，结合图形求出xy与的值，原式利用完全平方公式展开后，代入计算即可求出其值． 【详解】解：根据勾股定理可得=52， 四个直角三角形的面积之和是：×4=52-4=48, 即2xy=48， ∴==52+48=100． 故答案是：100． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及完全平方公式的应用，根据图形的面积关系，求得和xy的值是解题的关键． 18．如图，在中，点在边上，且，，交的延长线于点．若，，则边的长为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】延长至点，使得，连接，过点作，交于点，证明，易得，进而可得，再证明，进而可得，然后在中和在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，延长至点，使得，连接，过点作，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的定义和性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题 19．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°． （1）请用尺规作图法，作AC的垂直平分线DE，垂足为E，交BC于D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若线段AB＝12，CB＝18，求线段AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）13 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到DE； （2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，设AD＝x，则CD＝x，BD＝18﹣x，利用勾股定理得到（18﹣x）2＋122＝x2，然后解方程即可． 【详解】解：（1）如图，DE为所作； （2）∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC， 设AD＝x，则CD＝x，BD＝18﹣x， 在Rt△ABD中，∵BD2＋AB2＝AD2， ∴（18﹣x）2＋122＝x2，解得x＝13， 即AD的长为13． 【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键． 20．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    【答案】尺 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得， 解得： 答：折断处离地面的高度是尺． 21．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间．    【答案】3h 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【详解】解：由题意，得，，，． 在中，，即， ∴，∴． 在中，，即． ． 故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h． 22．如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点飞向点，在直线的正下方有一个着火点，且点与两点的距离分别为和，又两点距离为，飞机与着火点距离在以内可以受到洒水影响．    (1)请通过计算说明，着火点是否受洒水影响； (2)若救火飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要13秒，请你通过计算说明在救火飞机从点飞到点的过程中，着火点能否被扑灭． 【答案】(1)着火点洒水影响，见解析 (2)着火点能被扑灭，见解析 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为，   ，，， ，， ， 是直角三角形， ， （米）， ， 着火点C受洒水影响 （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点，   ， ， 在中，， ， 飞机的速度为， （秒）， 14秒13秒， 着火点能被扑灭， 答：着火点能被扑灭． 23．校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路旁取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得米，已知本路段对校车限速是千米/时，若测得某校车从到匀速行驶用时秒．（参考数据：） (1)求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； (2)利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 【答案】(1)到线段的距离为米 (2)这辆车在本路段未超速 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用． （1）过作于E，根据直角三角形两锐角互余求得，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值； （2）根据直角三角形两锐角互余求得，，推得平分，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得，求得的值，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值；即可判断是否超速． 【详解】（1）解：过作于E，如图： 则， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， 故到线段的距离为米． （2）解：∵，，， ∴，，， 则， 即平分， ∵，， ∴（米）， 则（米）， 在中，，， ∴（米）， 故（米）， 车速为（米/秒） 米/秒千米/时千米/时． 故这辆车在本路段未超速． 24．如图1，点A的坐标为，点B的坐标为，且a，b满足，点C在y轴负半轴上，交x轴于点E，点D在x轴正半轴上，且． (1)判断的形状，并说明理由． (2)探究线段之间的数量关系并证明． (3)如图2，点F在x轴负半轴上，，探究之间的数量关系并证明． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见详解 (2) (3)，证明见详解 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1），满足可得到、的值和点、点的坐标，求出三边长度，从而可得是等腰直角三角形； （2）证明可得，且即可得答案； （3）过作交轴于，连接，先证得，，再证即可得到． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由见详解 ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，且， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 而是等腰直角三角形，可得， ； （3）解：，理由如下： 过作交轴于，连接，如图： 是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形判定性质、算术平方根非负性以及绝对值的非负性，等腰直角三角形性质及勾股定理等知识，解题的关键是利用等腰直角三角形性质证明三角形全等． 25．【问题背景】 如图，已知A，B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． 【基础应用】 （1）写出汽车行驶到离B村最近的点的坐标． 【数学理解】 （2）汽车行驶到x轴的某一点P时到A，B两村的距离的差最大． ①请写出点P的坐标，并在图中标出点P； ②求出的最大值． 【深入思考】 （3）在y轴上有一村庄Q，若Q村到B村的距离为13，请你求出Q村的坐标．    【答案】（1） （2），图见解析； （3）或 【知识点】垂线段最短、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）由题意及垂线段最短即可直接得出答案； （2）①由三角形三边之间的关系可知，当点P在的延长线上时，的值最大，据此写出点P的坐标，并在图中标出点P；②利用勾股定理求出的最大值即可； （3）设点Q的坐标为，点N的坐标为，则为直角三角形，利用勾股定理可建立关于的关系式并求出的值，于是可得Q村的坐标． 【详解】解：（1）由题意及垂线段最短可知，汽车行驶到离B村最近的点的坐标是； （2）①如图，点P即为所求：   点P的坐标为； ②， 当点P在的延长线上时，的值最大，其最大值； （3）设点Q的坐标为，点N的坐标为，则为直角三角形， 在中，，，， ， ， 即：， ， 或， 点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标系中的动点问题，垂线段最短，写出直角坐标系中点的坐标，坐标系中描点，三角形三边关系的应用，勾股定理，已知两点坐标求两点距离，求一个数的平方根等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 26．先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下：     ①     ②         ③ ．        ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为______； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简______； (3)在中，，，，求的长． 【答案】(1)④， (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】 本题考查了二次根式的应用，二次根式的性质和化简，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握被开方数能转化为完全平方的形式， （1）根据算术平方根为非负数，即可求解； （2）根据（1）中的材料把被开方数转化为完全平方的形式化简即可 （3）根据勾股定理和化简即可求解； 【详解】（1） 解：                   ．         故在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为， 故答案为：④， （2）解： 故答案为：； （3）解：中，，， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 勾股定理（2个知识点+11种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 题型强化 题型一、用勾股定理解三角形 1．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环  境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（    ）    A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 2．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，则这个三角形的面积为 ． 3．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）已知与中，，，将与按如图位置摆放，其中点，，，在同一直线上，点，在直线的同侧，点是的中点，求，两点之间的距离． 题型二、已知两点坐标求两点距离 4．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．3 5．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中，A 、B两点的坐标分别为，那么两点之间的距离 ． 6．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）已知平面内两点，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，点A的纵坐标为______； (2)已知点，，试求A，B两点间的距离． 题型三、勾股树（数）问题 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各组数是勾股数的是（    ） A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1.5，2，2.5 D．5，11，12 8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 题型四、以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（22-23八年级下·四川南充·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2023次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 11．（23-24八年级下·广东韶关·期中）如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所围成的两个新月形，它的面积与直角三角形的面积有什么关系？请说明理由． 题型五、勾股定理与网格问题 13．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 15．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长．    题型六、勾股定理的证明方法 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 17．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    18．（23-24八年级下·全国·单元测试）将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 题型七、勾股定理与无理数 19．（21-22八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（    ）    A． B．4 C． D． 20．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在数轴上以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数为 ． 21．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）利用勾股定理，可以作出长为、、、的线段，如图：在中，，，，则的长等于______．在按同样的方法，可以在数轴上画出表示、、、的点．      （）在数轴上作出表示的点（尺规作图，保留痕迹）． （）在数轴上作出表示的点（尺规作图，保留痕迹）． 题型八、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）一架长10米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端6米，如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那么梯足将滑（     ） A．米 B．米 C．1米 D．2米 23．（23-24八年级下·全国·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离与梯子底端B向外移的距离相等时，的长是 ． 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是4米，将梯子的底端向方向挪动1米，如图2，求梯子的顶端向上移动了多少米（即求的长）？ 题型九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 25．（22-23八年级下·广西柳州·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（     ） A．10米 B．8米 C．6米 D．4米 26．（2024八年级下·全国·专题练习）有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间 才能赶回巢中． 27．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 题型十、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 28．（22-23八年级下·广东珠海·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 29．（2024八年级下·全国·专题练习）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 题型十一、求最短路径(勾股定理的应用) 30．（23-24八年级下·全国·期末）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 31．（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，圆柱体的高为，底面周长为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面B处的食物，已知B处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是 ． 32．（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？   分层练习 一、单选题 1．在△ABC中，若∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为3和8，则c的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．点M在x轴上，且点M到点的距离为5，则点M的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 4．若直角三角形两条直角边长分别为2, 3,则该直角三角形斜边上的高为( ) A． B． C． D． 5．我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在的网格中，A，都在格点上，以为斜边作，若点也在格点上，这样的能作出（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在直角坐标系中，点P（2，3）到原点的距离是（ ） A． B． C． D．2 8．在边长为6的等边三角形中，D为边AC上的一个三等分点，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（） A． B． C． D． 10．房梁的一部分如图所示，其中，，，点D是AB的中点，且，垂足为E，则AE的长是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，的边在数轴上，，，，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数为 ． 12．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？” 如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为 ． 13．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，D为AC中点，将∠CBD沿AB翻折，得到，过F作于G，则FG= ； ； 14．命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是 ，是 （填“真命题”或“假命题”） 15．如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．若，，则 ． 16．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于两点，若，，则的长为 ． 17．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，直角三角形两条直角边分别为x，y，那么= ． 18．如图，在中，点在边上，且，，交的延长线于点．若，，则边的长为 ． 三、解答题 19．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°． （1）请用尺规作图法，作AC的垂直平分线DE，垂足为E，交BC于D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若线段AB＝12，CB＝18，求线段AD的长． 20．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    21．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间．    22．如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点飞向点，在直线的正下方有一个着火点，且点与两点的距离分别为和，又两点距离为，飞机与着火点距离在以内可以受到洒水影响．    (1)请通过计算说明，着火点是否受洒水影响； (2)若救火飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要13秒，请你通过计算说明在救火飞机从点飞到点的过程中，着火点能否被扑灭． 23．校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路旁取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得米，已知本路段对校车限速是千米/时，若测得某校车从到匀速行驶用时秒．（参考数据：） (1)求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； (2)利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 24．如图1，点A的坐标为，点B的坐标为，且a，b满足，点C在y轴负半轴上，交x轴于点E，点D在x轴正半轴上，且． (1)判断的形状，并说明理由． (2)探究线段之间的数量关系并证明． (3)如图2，点F在x轴负半轴上，，探究之间的数量关系并证明． 25．【问题背景】 如图，已知A，B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． 【基础应用】 （1）写出汽车行驶到离B村最近的点的坐标． 【数学理解】 （2）汽车行驶到x轴的某一点P时到A，B两村的距离的差最大． ①请写出点P的坐标，并在图中标出点P； ②求出的最大值． 【深入思考】 （3）在y轴上有一村庄Q，若Q村到B村的距离为13，请你求出Q村的坐标．    26．先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下：     ①     ②         ③ ．        ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为______； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简______； (3)在中，，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$