4.2 整式的加法与减法-【名师学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

多项式 3a-1 -3x+5.x2+2 -2xy+6.xy+3 常数项 -1 2 3 次数 1 2 5 最高次项 3a 5.x 6xy 几次几项式 一次二项式 二次三项式 五次三项式 5.解：(1)100-6a,它们的项是100，一6a,次数是1；(2)2ab+2ac+2bc,它们的项是 2a6,2ac,2c,次数是2.6.C7.C8单项式：.0，-3，-号y,多项式： “r-2十1，整式：30，-3，-号y,“,r-2r十1,9解：1)该旅游 团应付门票费(10.x+5y)元.(2)当x=30,y=15时，10x+5y=10×30+5×15= 375.答：他们应付375元门票费.10.D11.-212.-113.-2x3y-x+1(答案 不唯一)14.解：(1)a+2a+2b+2c(2)90(a+2a+2b+2c)=90×(25+10+8+ 9)=4680(元).答：这套新房铺地板砖的总费用是4680元.15.解：(1)n=50-0. 8m:(2)当m=13时，n=50-0.8×13=39.6(元).答：乘了13次车还剩39.6元. 16.解：(1)按字母y的升幂排列为：x3+3.xy-4.xy2-5y;(2)补入缺项，并按x的降 幂排列为：x十0·x3+0·x2-x十1. 4.2整式的加法与减法 第1课时合并同类项 知识储备 1.相同相同指数常数项2.合并同类项3.和不变 A基础练 1.(1)C(2)22(3)-6.x37x-52.C3.B4.B5.(1)-3.x25.xx2+ 8.x+6同类相加不变(2)①解：原式=(-9+1-6)ab=-14ab;②解：原式 =(-1+5-3)mn=mn;③解：原式=5a2-4a.6.解：原式=(-5+3-2)x2+ (6-5)x+(8-7)=-4x2十x十1当x=-2时，原式=-17.7.(4a+10)8.2m 2.2m+26m9B10.2x-1y-6(x-11.-412.解：原式-号a-a6十 心，由题意得a-1=0,62=0,解得a=1,6=2,当a=1b=2时，号c-a6十号 1 a6=号-2+×1X2=号.1B.解：11=2×2x·x+2x+2y=x+2x+2: (2)当x=40,y=120时，l=xx+2x+2y≈40×3.14+2×40+2×120≈445.6(cm) 14.解：我同意小明的观点.因为7a3一6a3b十3ab+3a3+6ab-3ab一10a3+2024 =(7+3-10)a3+(-6+6)a3b+(3-3)ab+2024=2024,所以a=0.35,b=-0.28 是多余的条件，故小明的观点正确.15.解：由题意，得2x2十kx十6十(-2x2一3x十 k-1)=n,整理得(k一3)x十k十5=n,因为n为定值，所以(k-3)x+k十5的值与x 的值无关，所以k一3=0，则k=3,所以n=k十5=8. 第2课时去括号 知识储备 1.每一项相加2.分配律 A基础练 1.B2.C3.D4.B5.A6.(1)解：原式=6.x-9+7x+8=13x-1;(2)解：原 式=-2a2+b;(3)解：原式=-2x2+7xy-24:(4)解：原式=a2-2a2+2a-4a 十12a=-5a2十14a.7.(1)去括号去括号法则(2)一①去括号时漏乘；②去 括号后有一项没变号(3)解：原式=2ab-5ab-2ab+2ab=4ab-7ab.8.D 9.解：(1)第二条边长为(x十2)-5=(x-3)cm,第三条边长为2(.x-3)=(2x-6) cm:则这个三角形的周长是(x十2)十(x-3)十(2x-6)=(4.x一7)(cm).(2)当x=6 时，这个三角形的周长是4×6-7=17(cm).10.A11.512.解：原式=-x+ 2y2.由|x+21+(y-1)2=0,得x+2=0,y-1=0.即x=-2,y=1.当x=-2,y=1 -194- 时，原式=一x+2y2=-（-2)+2×1=4.13.解：(1)共需铝合金的长度为2(3x+ 2y)十2(2x十2y)=(10x十8y)(米).(2)因为1米铝合金的平均费用为100元，x= 1.2,y=1.5,所以该用户所需铝合金的，总费用为100×(10×1.2+8×1.5)=100× (12+12)=2400(元).答：该用户所需铝合金的总费用为2400元.14.解：它与去 括号正好是相反的过程，添括号时，如果括号前是“十”号，括到括号里的各项都不变 符号：如果括号前面是“一”号，括到括号里的各项都改变符号.解：(1)原式=一(2x +3.xy-y2)+(-3x+y)+1;(2)-1+a2+b+b2=-(1-b)+(a2+b)=-(-2)+ 10=12. 第3课时 整式的加减 知识储备 1.去括号合并同类项2.化简数值 A基础练 1.B2.B3.A4.(1)3b3b+5b(2)①解：原式=-7x2+11y2；②解：原 式=2-2y+4红-2-2y=2+4r-号5.-1620237.解：原式= 2xy叶2xy3xy叶3xy-4ry=-5xy+5y当x=-3,y=号时，原式=-5dy叶 5x)-5x(-3×号+5X(-3)x号=-12.8B9A1mC1.C12.-31B. 解：(1)A-2B=4a2-7ab+b-2(2a2+6ab+7)=4a-7ab+b-4a2-12ab-14=- 19ab+b-14;(2)因为A+B+C=0,所以4a2-7ab+b+2a2+6ab+7+C=0,6a2- ab+b+7+C=0,C=-6a+ab-b-7.14.解：(1)(10a-6b)-[(6a-6h) 之(6a一60)]=10a-60-3a十3h=7a-36.答：上车的乘客有(7a-30)人：(2)当a= 3,b=2时.原式=7a-3b=7×3-3×2=15人答：上车的乘客有15人.15.解：(1) ①②(2)xy3(答案不唯一).(3)因为A=2a2+4b,B=a-2ab,所以A十2B= 2a2+4b+2(a2-2ab)=2a2+4b2+2a2-4ab=4a2+4b2-4ah.因为4a2+4b-4ab 是对称式，所以A十2B的结果是对称式. 微专题（四）整体思想在整式求值中的运用 1.A2.C3.14.25.解：因为2x2+4y-6=0,所以2x2+4y=6.原式=3.x2+ 6.xy-x2-6xy+4y=2.x2+4y=6. 微专题（五）整式的加减与数轴、绝对值的综合应用 【例】<<<<><[-(c-b)]c-ba十c 【针对练习】 1.A2.A3.-a十2c4.解：由图可知a<0<b<c,a>b,原式=-a十c-b- [-(a+b-c)]=-a+c-b+a+b-c=0. 回归教材专题（三）整式的化简与求值 110解：原式=2a-24-日-3a+8=(2a2a-3)+(-名+3)=-多a+2 (2)解：原式=-3.xy十xy+3.xy-2xy2+xy=-xy+xy.(3)解：原式=3.x -5x+(2x-3)-3r=3r-5x+号x-3-3=-号x-3.2解：原式=号 1 -2+号y2+名=-3+当=-1y=弓时，原式=-3+y=-3X (一1+}=-83解：原式=6y十3y+x-5y叶y-7z=y十4叶红当x十 4y=-1,xy=-5时，原式=ry十4y+x=-5-1=-6.4.解：原式=-ab十3ab -a2b-4ab+2a2b=一ab.因为a-1|与(b-2)2互为相反数，所以|a-1十(b-2)2 =0,即a-1=0,b-2=0,即a=1,b=2.当a=1,b=2时，原式=-ab2=-1×22= 一4.5.解：原式=m2-a一mxy十a'+a+h=m一my十a+b.依题意得：a十 m m b=0,xy=1,m=3,则m=±3.当m=3时，原式=9-3=6，当m=-3时，原式=9 -(-3)=12. -1954.2整式的加法与减法 第1课时 合并同类项 Φ知识储备步 4.(2023·宜宾)下列计算正确的是 1.所含字母 ,并且 字母的 A.4a-2a=2 B.2ab+3ba=5ab 也相同的项叫作同类项.几个 C.a+a2=a D.5x2y-3xy2=2xy 也是同类项。 5.(1)(答题模板)合并同类项： 2.把多项式中的同类项合并成一项，叫作 4.x2+3.x+6-3.x2+5.x 解：原式=(4x )+(3x+ )+6 3.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类 项的系数的 字母连同它的指数 (合并同类项时，先找 项，再把同类项的 系数 ,字母和字母的指数 A基础练 必备知识杭理一 没有同类项的照写.) 知识点一同类项 (2)【针对练习】合并下列各式的同类项： 1.(教材P96“探究”改编) 一题多变 ①-9ab+ab-6ab: (1)【识别同类项】 下列各项中，与5ab2是同类项的是 A.2ab B.a2b C.-ab2 D.a2b ②-m3n+5m3n-3m3n: (2)【根据同类项的概念求字母的值】 若单项式x+1y与一x3y1是同类项，则n= ,b= (3)【识别多项式中的同类项】 ③2a3十4a2一6a3十a2(结果按a的升幂排列). 在多项式x3一x十4一6.x3一5十7x的所有项 中， 与x3,与-x, 与4 是同类项 6.【教材P97例2变式】先合并同类项，再求值： 8-5.x2+6.x+3x2-5x-2.x2-7,其中x=-2. 【点津】判断同类项需把握“两相同，两无关”.“两相 同”是指：所含字母相同，相同字母的指数也相同： “两无关”是指：与系数及系数的指数无关，与字母的 排列顺序无关。 知识点二合并同类项 知识点三合并同类项的应用 2.合并同类项：一4ab十3a2b=(-4十3)ab= 7.某村种植小麦的面积是ahm,水稻的种植面 一ab,其中依据的运算律是 () 积是小麦的3倍多10hm,则两种农作物一 A.加法交换律 B.乘法交换律 共种植 hm2. C.分配律 D.乘法结合律 8.三个连续的偶数，中间一个是2n,其余两个 3.(2024·青海)计算12.x-20x的结果是() 分别为 ,这三个数的和是 A.8.x B.-8x C.-8 D.22 65 七年级数学·上册 B综合练 关键能力提升一 14.【教材P102习题T6变式】有这样一道题： 9.若2x2my3与一5xy2的和是单项式，则 “当a=0.35,b=-0.28时，求多项式7a3 m一n的值是 () 6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3+2024 A.0 B.1 C.7 D.-1 的值.”小明说：“本题中a=0.35,b=一0.28 10.【整体思想】把x一1当作一个整体，合并多 是多余的条件”：小强马上反对说：“这不可 项式7(x-1)4-2(x-1)3-5(x-1)-4 能，多项式中每项都含有a和b,不给出a,b (x一1)3中的同类项，结果是 的值怎么能求出多项式的值呢？”你同意哪 名同学的观点？请说明理由。 11.当m= 时，多项式4x2-2xy十y2十 m.x2中不含x2的项. 12.【教材P98练习T2变式】先化简，再求值： d2-ab+a-a+号a,其中(a-1)P+ 1b-21=0. C素养练 源华科者养培宜一 15.【新中考·新定义型阅读理解题】如果整式 A与整式B的和为有理数a,那么我们称 13.【教材P103习题T8变式】某窗户的形状如 A,B为a的“友好整式”，例如：x一4与一x 图所示（图中长度单位：cm),其中上部是半 +5为1的“友好整式”：2ab+3与一2ab十4 径为xcm的半圆形，下部是长为ycm的长 为7的“友好整式”.若关于x的整式2x2十 方形. k.x+6与一2.x2-3x十k-1为n的“友好整 (1)用含x,y的式子表示窗户外框的总长l: 式”，求n的值 (2)当x=40,y=120时，求窗户的外框总长 1的值（π取3.14）. 核心 运算能力 应用意识 素养 几何直观 推理能力 助学助教优质高数66 第2课时 去括号 础知识储备出 (3)-3(2x2-xy)+4(x2+xy-6); 1.一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括 号，去括号就是用括号外的数乘括号内的 ,再把所得积 (4)a2-2(a2-a)-4(a2-3a). 2.去括号的依据是乘法的 A基础练 停必备知识杭理一 知识点一去括号 易错点○去括号时，因漏乘或符号错误致错 1.把+(a-b)一c去括号后得 ( 7.【新课标·过程纠错】下面是小红同学进行去 A.a+b-c B.a-b-c 括号化简的过程，请认真阅读并完成填空： C.-a+b-c D.-a-b-c 2.化简16(x一0.5)的结果是 ( (2a2b-5ab)-2(ab-a2b) A.-16.x-0.5 B.-16.x+0.5 =2a2b-5ab-2ab-a2b 第一步 C.16.x-8 D.-16.x+8 =2a2b-ab-5ab-2ab 第二步 3.下列去括号正确的是 ( =a'b-7ab 第三步 A.-(b-c)=-b-c (1)以上步骤第一步是进行 ,依据 B.-(a+b)=-a+b 是 C.3x+(5.x-1)=3x-5.x-1 (2)以上步骤第 步出现错误，错误的原 D.-2(a-1)=-2a+2 因是 4.下列各式中与多项式a一b一c不相等的是 ( (3)请写出正确的计算过程。 A.a-(b+c) B.a-(b-c) C.(a-b)+(-c) D.-b-(c-a) 知识点二去括号化简 5.化简(a一b)一(a十b)的结果是 ( A.-2b B.a-2b C.0 D.2a 6.【教材P99例4变式】化简： 知识点三去括号化简的应用 (1)3(2x-3)+7x+8; 8.有一个长方形的长为2a,宽为a十1，则这个 长方形的周长为 () A.6a+1 B.2a2+2a C.6a D.6a+2 (2)(4ab-b)-2(a2+2ab-b): 9.【教材P103习题T7变式】一个三角形的第 一条边长为(x十2)cm,第二条边长比第一 条边长小5cm,第三条边长是第二条边长 的2倍. 67 七年级数学·上册 (1)用含，x的式子表示这个三角形的周长； (2)若1米铝合金的平均费用为100元，求 (2)当x=6时，这个三角形的周长是多少？ 当x=1.2,y=1.5时，该用户所需铝合 金的总费用为多少元 B综合练 爱关健能力提升一 10.有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图 C素养练 学科奈养培有与 所示，化简|b-a+|a十b的结果是() 14.【新中考·新定义型阅读理解题】阅读材料： da (1)把等式+(a-b)=a-b左右两边交换位 A.-26 B.2a C.2b D.0 置，得a一b=+(a一b),(2)把等式-(3.x 11.【整体思想】若a+b=3,c-d=2,则(b+c) 2)=一3x十2左右两边交换置，得-3x+2 一(d一a)的值是 =一(3x一2).以上交换后的等式从左到右， 12.【教材P102习题T4变式】先化简，再求值： 称为添括号. -(2x-音r)+(-多+号y小其中1u 它和去括号法则有什么不同？利用你探索 出来的规律，解答下面的题目： +2|+(y-1)2=0. (1)把-2x2-3xy+y2-3x+y+1中的二 次项放在前面带“一”号的括号里，一次 项放在前面“十”的括号里： (2)已知a2+b2=10,1-b=-2,求-1+a +b+b2的值. 13.【教材P103习题T8变式】如图是两种长方 形铝合金窗框.已知窗框的长都是y米，窗 框的宽都是x米.若一用户需图1型的窗框 2个，图2型的窗框2个 米 图1 2 核心 运算能力几何直观应用意识 (1)用含x,y的式子表示共需铝合金的长度： 素养 助学助教优质高数68 第3课时 整式的加减 础知识储备出 易错点○两个多项式相减时，因忽略括号的 1.一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 作用致错 ,然后再 2.在求一个整式的值时，先将整式 ,再代 5.(2024·衡阳)若一个多项式加上y2十3xy一 进行计算比较简便， 4,结果是3.xy+2y2一5，则这个多项式是 A基础练 必备知识核理一 【点拨】先根据加数等于和减去另一个加数列式，注 意把加数y+3xy一4填在括号内，再去括号计算. 知识点一 整式的加减运算 去括号时忌出现符号错误. 1.化简8a+2b-(b-5a)的结果为 知识点二整式的化简求值 A.3a+b B.13a+b 6.当x=2024时，(x2-x)-(x2-2.x十1)的值 C.3a+3b D.13a+3b 是 2.若A=x2-xy,B=xy+y,则A十B为（) 7.【教材P102习题T4变式】先化简，再求值： A.2xy B.x2+y2 2(x2y+xy)-3(x2y-xy)-4x2y,其中x C.-2xy D.22-y2 3.某天数学课上，老师讲了整式的加减运算，小 -3,y=5 红回到家后拿出自己的课堂笔记，认真复习老 师在课堂上所讲的内容，她突然发现一道题 目：(2a2+3ab-)-(-3a2+ab+5)=5a2☐ 一6，口处看不清了，则口处的内容是() A.+2ab B.+3ab C.+4ab D.-ab 4.(1)(答题模板)计算：3(a+b)一2(a一b). 原式=(3a十 )-(2a-2b) =3a+ -2a 2b =a十 (2)【针对练习】计算： 知识点三整式加减的应用 ①(x2-y2)-4(2x2-3y): 8.一个篮球的单价为a元，一个足球的单价为b元 (b>a),小明买6个篮球和2个足球，小刚买5 个篮球和3个足球，则小明比小刚少花() A.(a-b)元 B.(b-a)元 C.(a-5b)元 D.(5b-a)元 ②2x2-2y-[-4x+(r2+2] 9.【教材P109复习题T9变式】一个两位数的 个位数字是a,十位数字比个位数字大1，则 这个两位数是 () A.11a+10 B.10a+10 C.10a-11 D.11a-10 69 七年级数学·上册 B综合练 关键能力提升一 C素养练 》李科素米培宜一 10.【新中考·新运算型阅读理解题】对于有理 15.【新中考·新定义型阅读理解题】阅读下列 数a,b,定义a⊙b=a一3b,则(x-y)⊙(x十 材料，完成相应的任务： y)化简后的结果是 ( 对称式 A.0 B.2x-4y 在一个含有多个字母的式子中，如果任意交 C.-2x-4y D.2x+2y 换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式 11.已知M=4x2-3.x-2,V=6x2-3x+6,则 子就叫作对称式. M,N的大小关系是 () 例如：式子abc中任意两个字母交换位置， A.MN B.M-N 可得到式子bac,acb,cba,因为abc=bac=acb C.M<N D.以上结论都不对 =cba,所以abc是对称式. 12.若多项式2x3-8.x2+x-1与多项式x3十 而交换式子a一b中字母a,b的位置，得到 (3m+1)x2一5x+7的差不含二次项，则m 式子b一a,因为a一b≠b-a,所以a一b不是对 的值为 称式. 13.已知A=4a2-7ab+b,且B=2a+6ab+7. 任务： (1)求A-2B: (1)下列四个式子中，是对称式的是 (2)若A十B十C=0,求C所表示的多项式. (填序号) ①a+b+c;②a+b;③ab. (2)写出一个只含有字母x,y的单项式，使 该单项式是对称式，且次数为6： (3)已知A=2a2+4b,B=a2-2ab,求A+ 2B,并判断所得结果是不是对称式. 14.一辆公交车上原来有(6a一6b)人，中途下去 一半，又上来若干人，这时车上共有乘客 (10a-6b)人. (1)上车的乘客有多少人？ (2)当a=3,b=2时，上车的乘客有多少人？ 核心 素养 运算能力应用意识推理能力 助学助优质高数70 微专题四 整体思想在整式求值中的运用 解题技巧 3.(2024·甘孜州)若x2+2x=3,则2x2+4x 在整式的化简求值中，有些式子的求值往往不 5的值是 直接给出字母的值，而是给出一个含字母的代数式 的值，且根据已知条件不易或无法直接求出字母的 4.(2023·沈阳)当a十b=3时，代数式2(a+ 值.此时，我们可以将其满足某一共同特征的式子 2b)-(3a+5b)+5的值是 看作一个整体，在运算或求解的过程中进行整体代 5.已知2x2+4y-6=0,求代数式3(x2+ 换，既能求出结果，又能使运算简便 2xy)-(x2+6.xy)+4y的值. 1若a+6=4,则1+号+号的值是 A.3 B.1 C.0 D.-1 2.若3a-2b=2,则6a-4b+1的值等于( A.2 B.3 C.5 D.6 + 十“十“ 微专题团 整式的加减与数轴、绝对值的综合应用 解题技巧 A.2a+2b B.2b+3 解决与绝对值有关的化简题，先观察数轴确定 C.2a-3 D.-1 字母的取值范围和绝对值内代数式的值的符号；再 2.已知有理数a,b,c在数轴上的对应点如图 根据“一个非负数的绝对值等于它本身，一个负数 的绝对值等于它的相反数”去绝对值，然后合并同 所示，则21a+b+|a-c|-3b+c的化 类项 简结果是 【例】（答题模板）已知数a,b,c在数轴上的 位置如图所示，化简|a十b一|c一b. A.-a+b+2c B.3a-b-4c C.-3a+b+4c D.-a-5b-4c 解：由数轴知，c 0 b,且 3.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简 a 1b, a-la+bl+lc-al+b-cl= 所以a+b 0,c-b 0. h a0 原式=a十b一 4.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所 =a+b+ 示，化简la十|c-b-|a+b-c. 【针对练习】 1.已知a,b两数在数轴上对应的点的位置如 图所示，则化简|a+b|一|a一2|十|b+2 的结果是 b 71 七年级数学·上册