5.5确定二次函数的表达式（教学课件）数学青岛版九年级下册

5.5确定二次函数的表达式 主讲： 青岛版数学九年级下册 第1章 对函数的再探索 目录 01 课程目标 02 新课导入 03 课堂练习 04 课堂小结 课程目标 1.会利用待定系数法求二次函数的表达式； 2.能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式. 新课导入 我们已经学的二次函数表达式有哪些？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 题目已知条件有顶点坐标的时候，可设顶点式求解析式。 因为二次函数图象的顶点坐标是（-1，-6） 设二次函数的表达式为： ; 图象经过点（2，3），所以将 代入函数的表达式，得 ； 解得a= ; 所以二次函数的表达式为： ； 即： . 课堂练习 例题1 二次函数图象的顶点坐标是（-1，-6），并且图象经过点（2，3），求这个函数的表达式 . 待 定 系 数 法 y=a(x+1)2-6 （2,3） 3=a(2+2)2-6 1 y=(x+1)2-6 y=x2+2x-5 求二次函数的表达式最后要化成一般式哦 设所求的二次函数的表达式为 ; 因为二次函数经过点 A（-1，6），B（4，6）和 C（3，2） 所以将这三点坐标分别代入 ，得 解得： 所以，这个二次函数的表达式为 . 课堂练习 例题2 已知点 A（-1，6），B（4，6）和 C（3，2），求经过这三点的二次函数的表达式. 待 定 系 数 法 y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c a-b+c=6 16a+4b+c=6 9a+3b+c=2 a=1 b=-3 c=2 y=x 2-3x+2 在二次函数 y =ax2+bx+c的表达式中，a，b，c 是待定系数，如果已知不共线的三点的坐标将它们分别代入这个表达式，便可得到一个关于a，b，c 的三元一次方程组，解这个方程组，便可确定表达式中的未知系数. 这就是说，知道不共线的三点的坐标，便可确定经过这三点的抛物线 课堂练习 例题2 已知点 A（-1，6），B（4，6）和 C（3，2），求经过这三点的二次函数的表达式. 由A、B点坐标可得， 二次函数的对称轴为： ； 所以设二次函数的表达式为： ； 将A和C的坐标代入，得 解得： 所以设二次函数的表达式为： ； 即： 。 y=x 2-3x+2 那对于这道题，还有其他解法吗？ 观察发现，A点和B点是对称点，所以可以通过A、B两点的坐标求出二次函数的对称轴。 课堂练习 变式训练 抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，1）与点（2，﹣3）． （1）写出满足上述条件的两个函数的表达式； （2）当抛物线开口向下、对称轴在y轴的左侧时，求a的取值范围． （1）把（0，1），（2，﹣3）代入得 当a＝1时，b＝﹣4， 此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1； 当a＝﹣1时，b＝0， 此时抛物线解析式为y＝﹣x2+1； （2）a＜0，- ∴-，得a＞-1 综上-1＜a＜0 解析 课堂练习 拓展培优1 如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限． （1）求此抛物线的解析式； 设 将O（0，0），A（5，5）代入得 ∴ 即y=x2-4x 解析 课堂练习 拓展培优1 如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限． （2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标； E F ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设B（2，m）（m＞0）， 设直线OA的解析式为y＝kx， 则5k＝5， 解得：k＝1， ∴直线OA的解析式为y＝x， 设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2）， ∴BH＝m﹣2， ∵S△OAB＝15， ∴×（m﹣2）×5＝15， 解得：m＝8， ∴点B的坐标为（2，8） 通过判断，当点B位于EF上时，面积均＜15，所以B点位于E点上方 课堂练习 拓展培优1 如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限． （3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值． B P PA-PB≤AB，所以当PA-PB＝AB，即A、P、B三点共线时，PA-PB最大。 设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：, 解得c=-1,d=10 ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10， 当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上 解得：，,(舍) ∴P（﹣2，12）， 此时，PA﹣PB＝AB= 解析 课堂练习 拓展培优2 已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F． （1）求抛物线的表达式； 设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c， 把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入 ,解得 ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3 解析 课堂练习 拓展培优2 已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F． （2）求证：∠BOF＝∠BDF； 证明： ∵正方形OBDC， ∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB， ∵BF＝BF， ∴△BOF≌△BDF， ∴∠BOF＝∠BDF； 课堂练习 拓展培优2 已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F． （3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长． ∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E， ∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2， ∴E（2，3） 解析 观察与思考 ①如图， 当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角， ∴∠FDM为钝角， ∵△MDF为等腰三角形， ∴DF＝DM， ∴∠M＝∠DFM， ∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M， ∵BM∥OC， ∴∠M＝∠MOC， 由（2）得∠BOF＝∠BDF， ∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°， ∴∠M＝30°， 在Rt△BOM中， BM＝ ∴ME＝BM﹣BE=-2 解析 课堂练习 ②如图 当M在线段BD上时，∠DMF为钝角， ∵△MDF为等腰三角形， ∴MF＝DM， ∴∠BDF＝∠MFD， ∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF， 由（2）得∠BOF＝∠BDF， ∴∠BMO＝2∠BOM， ∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°， ∴∠BOM＝30°， 在Rt△BOM中， BM＝= ∴ME＝BE﹣BM＝2﹣ 解析 综上所述，ME的值为-2 或2﹣ 课堂小结 求二次函数表达式的一般方法： 　已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式 　已知图象的顶点坐标、对称轴或最值通常选择顶点式 　已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择交点式（这个方法下节课讲解）. 确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式. 主讲： 青岛版数学九年级下册 感谢聆听 $$