1.5 三角函数的应用（培优教学课件）数学北师大版九年级下册

1.5 三角函数的应用 第一章 直角三角形的边角关系 北师大版九年级数学下册 学习&目标 1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点） 2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角的问题.（难点） 情境&导入 1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形. 2.直角三角形中诸元素之间的关系： （1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理）； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系： 把∠A换成∠B同样适用. PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 3 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 情境&导入 探索&交流 三角函数的应用 1— 如图，海中有一个小岛A,该岛四周10n mile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始时在A岛的南偏西55°，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁危险吗？ 东 北 A B C 25° 55° 探索&交流 A B 55° C 25° 你是怎样想的？与同伴进行交流. 20海里 D 解: 过A点作BC的垂线AD，则AD的长即为货轮距离小岛的最短距离.若AD＞10海里，则货轮安全；反之则有触礁的危险.设AD=x. x Rt△ABD中, Rt△ACD中, ∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25° ∴x= ≈20.79 海里 ∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险. 探索&交流 1.运用锐角三角函数解决实际问题的方法： (1)弄清题意，画出示意图； (2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要解决的问题； (3)寻找要求解的直角三角形，有时需要作适当的辅助线； (4)选择合适的边角关系式，进行有关锐角三角函数的计算； (5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答． 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.为了维护海洋权益，我国加大了在某海域的巡逻力度.一天，两艘海警船刚好在某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C 处海域. 如图AB=60( + )海里，在B 处测得C 在北偏东45°的方向上，在A 处测得C 在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=120( － )海里. 探索&交流 分别求出A 与C 及B 与C 的距离AC，BC(结果保留根号). 解：如图，过点C 作CE⊥AB于点E，可得∠ACE=30°，∠BCE=45°. 设AE=x 海里，则在Rt △ ACE 中，CE= x 海里， AC=2x 海里，在Rt △ BCE 中，BE=CE= x 海里，BC= x 海里. ∵ AB=AE+BE，∴ x+ x=60( + )， 解得x=60 ，∴ AC=120 海里，BC=120 海里. 探索&交流 议一议 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？ 65° 34° P B C A 探索&交流 解：如图 ，在Rt△APC中， PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC中，∠B＝34° 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里． 65° 34° P B C A 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A 处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°， 已知教学楼AB 高4 m. (1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)； (2)求旗杆CD 的高度. 例题&解析 解：∵在教学楼B 处观测旗杆底端D 的俯角是30°，∴∠ ADB=30°. 在Rt △ ABD 中，∵∠ BAD=90°，∠ ADB=30°，AB=4 m， 即教学楼与旗杆的水平距离AD 是4 m. 解：在Rt △ ACD 中， ∵∠ ADC=90°，∠ CAD=60°，AD=4 m， ∴ CD=AD·tan 60°=4 × =12(m). 即旗杆CD 的高度是12 m. 总结 1.首先要弄清题意,结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论. 2.找出问题中有几个直角三角形,或通过作辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 3.方程思想、转化思想的运用. 探索&交流 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.如图，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且 AC＝17.2 m，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳( 取1.73)． (1)求楼房的高度约为多少米． (2)过了一会儿，当α＝45°时， 请说明理由． 例题&解析 (1)当α＝60°时，在Rt△ABE中， ∵tan 60°＝ ∴AB＝10·tan 60°＝10 ≈10×1.73=17.3(m)． 即楼房的高度约为17.3 m. (2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳． 理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射 下的光线与地面AD的交点为点F，与射线CM的交点 为点H(如下图)． 解： 例题&解析 ∵∠BFA＝45°， ∴tan 45°＝ ＝1，此时的影长AF＝AB≈17.3m． ∴CF＝AF－AC≈17.3－17.2＝0.1(m)．∴CH＝CF≈0.1 m． ∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上， ∴小猫仍可以晒到太阳。 练习&巩固 1.如图，一条斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这条斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 120 m B 练习&巩固 2.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________. 练习&巩固 3.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）． 解：在Rt△ABO中， ∵tan∠BOA= =tan60°= ∴AB=BO• tan60°=4 × =4 （米） 答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米. 小结&反思 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案． $$