期末模拟卷（B）2024-2025学年苏科版九年级数学上册期末模拟测试卷

终日不倦者，其唯学焉！ 期末模拟卷（B）2024-2025学年九年级数学上册模拟测试 考试时间：90分钟 注意事项： 1、 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、 请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分。每小题所给四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．sin45°+cos45°的值为（　　） A．1 B．2 C． D．2 2．下列一元二次方程不适合用因式分解法解方程的是（　　） A．x2﹣4＝0 B．x2+4x﹣4＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．（x﹣1）2＝2（x﹣1） 3．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 得分 91 86 ■ 90 93 90 ■ 被遮盖的两个数据分别是（　　） A．90，2 B．91，2 C．90，90 D．91，90 4．如图，△CAD∽△CBA，AC：BC＝1：2，D为BC边上的一点．若△ACD的面积为3，则△ABD的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 5．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16 C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16 6．下列说法： ①三点确定一个圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③两条弦相等，它们所对的弧也相等； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤平分弦的直径，也平分这条弦所对的两条弧； ⑥内心到三角形三条边的距离相等， 其中正确的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，在5×5的正方形网格中已有5块被涂成阴影，则在未涂的空格中，任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E点，若AD＝CD＝2．则的长为（　　） A． B． C． D． 第二卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，请直接将答案填写在答题卡相应位置）9．已知，且a+b﹣c＝2，则a＝　 　． 10．4月23日是世界读书日，某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 阅读课外书数量（单位：册） 6 7 9 12 人数 6 8 10 6 则阅读课外书数量的中位数是 　 　． 11．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 　 　． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则sinB＝　 　． 13．西周数学家商高用“矩”（如图1）测量物高的方法为把矩的两边放置成如图2所示的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG．已知CD＝60cm，AD＝120cm，AB＝1.5m，测得BG＝9m，则EG＝　 　m． 14．已知△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径是12cm，则△ABC边心距的值为 　 　． 15．如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD＝2：5，连接AD、BE，交点为F，DF：AF＝1：4，那么的值是 　 　． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．若tan∠CAD，则sin∠BED＝　 　． 三．解答题（共9小题，共68分。17~21每题6分、22~23每题8分、24题10分、25题12分） 17．（1）计算：8sin260°+tan45°﹣4cos30°； （2）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10． 18．一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动： 活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P1； 活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P2． 请你猜想P1，P2的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想． 19．某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，七（1），七（2）班各选取5名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分） 七（1）班：5，9，7，10，9 七（2）班：8，8，7，8，9 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）求七（2）班5名同学比赛成绩的平均数和方差； （2）已知七（1）班5名同学的比赛成绩平均数为8分，方差为3.2，请根据数据进行分析，你认为哪个班能成为获胜班级，为什么？ （3）若七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分，则七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比会 　 　，方差相比会 　 　．（填“变大”、“变小”或“不变”） 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O是BC上一点． （1）尺规作图：作⊙O，使⊙O与AC、AB都相切；（不写作法与证明，保留作图痕迹） （2）若⊙O与AB相切于点D，与BC的另一个交点为点E，连接CD、DE，求证：△BDE∽△BCD． 21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）． （1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出△A1B2C2（△ABC与△A1B2C2在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B2，C2）． （2）利用方格纸标出△A1B2C2外接圆的圆心P，P点坐标是　 　，⊙P的半径＝　 　．（保留根号） 22．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为50元时，12月份售出了150组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 23．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数） 24．如图，在△AEC中，∠E＝90°，AD平分∠CAE交CE于点D，点B为边AC上一点，以AB为直径的圆恰好经过点D． （1）试判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若OB＝4，BC＝2，求DE的长． 25．【问题呈现】 （1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD＝CE． 【类比探究】 （2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD、CE，则　 　． 【拓展提升】 （3）如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠DAE＝∠BAC＝30°，连接BD、CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G，求∠BFC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$终日不倦者，其唯学焉！ 期末模拟卷（B）2024-2025学年九年级数学上册模拟测试 考试时间：90分钟 注意事项： 1、 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、 请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分。每小题所给四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．sin45°+cos45°的值为（　　） A．1 B．2 C． D．2 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【解答】解：原式 ． 故选：C． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 2．下列一元二次方程不适合用因式分解法解方程的是（　　） A．x2﹣4＝0 B．x2+4x﹣4＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．（x﹣1）2＝2（x﹣1） 【分析】根据解方程的方法对各选项进行判断． 【解答】解：x2﹣4＝0适合用因式分解法、直接开平方法求解； x2+4x﹣4＝0适合用配方法和公式法求解； x2﹣6x+9＝0适合用配方法和因式分解法求解； （x﹣1）2＝2（x﹣1）适合用因式分解法求解． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 3．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 得分 91 86 ■ 90 93 90 ■ 被遮盖的两个数据分别是（　　） A．90，2 B．91，2 C．90，90 D．91，90 【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据众数的意义进行分析即可得出答案． 【解答】解：丙的成绩为x， 根据题意得， 解得：x＝90， ∵90的数量为2，其余均为1，故众数为：90， 故选：C． 【点评】本题查了众数及平均数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．如图，△CAD∽△CBA，AC：BC＝1：2，D为BC边上的一点．若△ACD的面积为3，则△ABD的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【分析】已知△CAD∽△CBA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为12，进而可求出△ABD的面积． 【解答】解：∵△CAD∽△CBA，AC：BC＝1：2， ∴， ∵△ACD的面积为3， ∴△ABC的面积为12， ∴△ABD的面积为9． 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16 C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16 【分析】首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23（1﹣x）万元，5月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴23（1﹣x）2＝16． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键． 6．下列说法： ①三点确定一个圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③两条弦相等，它们所对的弧也相等； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤平分弦的直径，也平分这条弦所对的两条弧； ⑥内心到三角形三条边的距离相等， 其中正确的个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③、④进行判断；根据垂径定理的推论对⑤进行判断；根据三角形的内心的性质对⑥进行判断． 【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意； ③在同圆或等圆中，两条弦相等，它们所对的弧也相等，故不符合题意； ④等弧所对的圆心角相等，故符合题意； ⑤平分弦（非直径）的直径，也平分这条弦所对的两条弧，故不符合题意； ⑥内心到三角形三条边的距离相等，故符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，角平分线的性质，垂径定理，确定圆的条件，正确的理解题意是解题的关键． 7．如图，在5×5的正方形网格中已有5块被涂成阴影，则在未涂的空格中，任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】未涂空格共有20个，任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的有5种，根据概率公式求解可得． 【解答】解：如图所示，未涂空格共有20个，任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的有4种， ∴任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的概率为， 故选：C． 【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E点，若AD＝CD＝2．则的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC、OC，根据垂径定理得到CE＝EDCD，，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，根据等边三角形的性质求出∠CAD＝60°，根据正弦的定义求出OC，根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：连接AC、OC， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE＝EDCD，， ∴AB是线段CD的垂直平分线， ∴AC＝AD， ∵AD＝CD， ∴AC＝AD＝CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠CAD＝60°， ∴∠COB＝60°， 在Rt△COE中，OC2， ∴的长， 故选：B． 【点评】本题考查的是弧长的计算、垂径定理，掌握弧长公式：l是解题的关键． 第二卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，请直接将答案填写在答题卡相应位置）9．已知，且a+b﹣c＝2，则a＝　4　． 【分析】设，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入a+b﹣c＝2，求出k的值即可得到a的值． 【解答】解：设，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴a+b﹣c＝2k+3k﹣4k＝2， ∴k＝2， ∴a＝2k＝2×2＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了比例的性质，正确设出a＝2k，b＝3k，c＝4k，构造方程求解是解题的关键． 10．4月23日是世界读书日，某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 阅读课外书数量（单位：册） 6 7 9 12 人数 6 8 10 6 则阅读课外书数量的中位数是 　9　． 【分析】利用中位数的定义即可解决问题． 【解答】解：∵共有30名同学，中位数是第15、16个数的平均数， ∴阅读课外书数量的中位数是9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了中位数，解答本题的关键是掌握中位数的概念． 11．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 　π﹣2　． 【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论． 【解答】解：∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB ＝π﹣2． 故答案为：π﹣2． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则sinB＝　　． 【分析】由勾股定理得到AB10，由锐角的正弦定义即可求出sinB． 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB10， ∴sinB． 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，关键是掌握锐角的正弦定义． 13．西周数学家商高用“矩”（如图1）测量物高的方法为把矩的两边放置成如图2所示的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG．已知CD＝60cm，AD＝120cm，AB＝1.5m，测得BG＝9m，则EG＝　6　m． 【分析】根据CD∥EF得出△ADC∽△AFE，得出，代入数据求出EF的长即可推出结果． 【解答】解：由题意可知，FD＝AF﹣AD＝BG﹣AD＝9﹣1.2＝7.8（m），CD∥EF， ∴△ADC∽△AFE， ∴， ∴， ∴EF＝4.5m， ∴EG＝EF+FG＝EF+AB＝4.5+1.5＝6（m）， 故答案为：6． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．已知△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径是12cm，则△ABC边心距的值为 　6cm　． 【分析】先在图上作出边心距对应的线段OD，连接OC，在直角△OCD中，∠OCD＝30°，求出OD的长即可． 【解答】解：∵△ABC是⊙O的内接正三角形， ∴∠ACB＝60°， 过O作OD⊥AC于D，连接OC，则OD长为边心距， 在直角△OCD中，∠OCD＝30°， ∴cm． 故答案为：6cm． 【点评】本题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，掌握基本概念是解题的关键． 15．如图，点D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD：CD＝2：5，连接AD、BE，交点为F，DF：AF＝1：4，那么的值是 　　． 【分析】过D作DG∥BE，交AC于G，依据平行线分线段成比例定理，即可得到BD：CD＝EG：GC，DF：AF＝EG：AE，进而可得的值． 【解答】解：如图所示，过D作DG∥BE，交AC于G， 则BD：CD＝EG：GC＝2：5，即：，， ∴DF：AF＝EG：AE＝1：4，即：AE＝4EG， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．若tan∠CAD，则sin∠BED＝　　． 【分析】先证△CDE∽△ADC，推出CD2＝DE⋅AD，进而得出BD2＝DE⋅AD，证得△BDE∽ADB，推出∠BED＝∠ABC，结合求出sin∠ABC的值即可． 【解答】解：∵CE⊥AD， ∴∠CED＝∠ACB＝90°， ∵∠CDE＝∠ADC， ∴△CDE∽△ADC， ∴， ∴CD2＝DE⋅AD， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴BD2＝DE⋅AD， ∴， 又∵∠ADB＝∠BDE， ∴△BDE∽ADB， ∴∠BED＝∠ABC， ∵， ∴， ∵D是BC的中点， ∴CB＝2CD， ∴， 设AC＝4x，则CB＝3x， ∴， ∴sinABC， ∴sin∠BED． 故答案为：． 【点评】该题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定及其性质、勾股定理等，熟练掌握“母子相似”模型是解题的关键． 三．解答题（共9小题，共68分。17~21每题6分、22~23每题8分、24题10分、25题12分） 17．（1）计算：8sin260°+tan45°﹣4cos30°； （2）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10． 【分析】（1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）∵x（2x﹣5）＝4x﹣10， ∴x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）， ∴x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， ∴（x﹣2）（2x﹣5）＝0， ∴x﹣2＝0或2x﹣5＝0， 解得． 【点评】本题主要考查的是解一元二次方程及特殊角三角函数值，熟知相关计算方法是解题的关键． 18．一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动： 活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P1； 活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P2． 请你猜想P1，P2的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想． 【分析】分别画树状图，由概率公式求出P1，P2的大小，即可得出结论． 【解答】解：猜想P1＜P2，理由如下： 活动1，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种， ∴P1； 活动2，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种， ∴P2， ∵， ∴P1＜P2． 【点评】本题考查了树状图法求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键． 19．某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，七（1），七（2）班各选取5名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分） 七（1）班：5，9，7，10，9 七（2）班：8，8，7，8，9 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）求七（2）班5名同学比赛成绩的平均数和方差； （2）已知七（1）班5名同学的比赛成绩平均数为8分，方差为3.2，请根据数据进行分析，你认为哪个班能成为获胜班级，为什么？ （3）若七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分，则七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比会 　不变　，方差相比会 　变小　．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【分析】（1）根据平均数公式（数据之和除以数据的个数）和方差公式（先求出平均数与各个数据之差，将其平方，平方数之和除以数据个数）即可求出答案． （2）根据方差越小越稳定即可判断出哪个班级能获胜． （3）分别求出七（1）班5名同学和6名同学的平均数和方差，将其比较即可求出答案． 【解答】解：（1）七（2）班5名同学比赛成绩的平均数为：（分）． 方差：①平均：平均数为8， ②求差：0，0，﹣1，0，1， ③平方：0，0，1，0，1， ④再平均：； （2）∵七（2）班的比赛成绩的方差0.4小于七（1）班方差3.2， ∴七（2）班的成绩更稳定， ∴我认为七（2）班能成为获胜班级． （3）∵七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分， ∴七（1）班这6名选手成绩的平均数为：（分）． ∵七（1）班5名同学比赛成绩的平均数为8， ∴七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比不变． ∵七（1）班5名同学的比赛成绩方差为3.2， 七（1）班这6名选手方差：①平均：平均数为8， ②求差：﹣3，1，﹣1，2，1，0， ③平方：9，1，1，4，1，0， ④再平均：， ∴， ∴七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的方差相比会变小． 故答案为：不变，变小． 【点评】本题考查了平均数和方差，解题的关键在于熟练掌握平均数和方差的公式． 20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O是BC上一点． （1）尺规作图：作⊙O，使⊙O与AC、AB都相切；（不写作法与证明，保留作图痕迹） （2）若⊙O与AB相切于点D，与BC的另一个交点为点E，连接CD、DE，求证：△BDE∽△BCD． 【分析】（1）作出∠CAB的角平分线，与BC边相交于点O，再以点O为圆心，OC长为半径画圆，⊙O即为所求； （2）根据题意，画出图形，根据切线的定义可得∠4+∠3＝90°，再根据直径所对的圆周角为直角，得出∠3+∠2＝90°，进而得出∠1＝∠4，即可求证． 【解答】（1）解：如图所示，⊙O即为所求； （2）解：连OD． ∵⊙O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB，即∠4+∠3＝90°， ∵CE为⊙O直径， ∴∠CDE＝90°， ∴∠3+∠2＝90°， ∴∠4＝∠2， ∵OC＝OD， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠4， 在△BDE和△BCD中，∠1＝∠4，∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BCD． 【点评】本题主要考查了用尺规作一个角的平分线和圆，切线的性质、圆周角定理、三角形相似的判定和性质，根据题意正确画出图形是解题的关键． 21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）． （1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出△A1B2C2（△ABC与△A1B2C2在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B2，C2）． （2）利用方格纸标出△A1B2C2外接圆的圆心P，P点坐标是　（3，1）　，⊙P的半径＝　　．（保留根号） 【分析】（1）利用关于原点为位似中心的两图形的对应的坐标关系写出点A1，B2，C2的坐标，然后描点即可得到△A1B2C2； （2）利用网格特点，作A1C2和C2B2的垂值平分线得到△A1B2C2外接圆的圆心P，然后写出P点坐标和计算PA1． 【解答】解：（1）如图，△A1B2C2为所作； （2）点P的坐标为（3，1）， PA1， 即⊙P的半径为． 故答案为（3，1），． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了三角形的外心． 22．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为50元时，12月份售出了150组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【分析】（1）设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为（150+10m）组，根据该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：20（1+x）2＝33.8， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）， 答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为30%； （2）设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为（150+10m）组， 由题意得：（50﹣m﹣30）（150+10m）＝3060， 整理得：m2﹣5m+6＝0， 解得：m1＝2（不符合题意，舍去），m2＝3， 答：该哑铃组每组应降价3元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数） 【分析】（1）根据题意可得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答； （2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，设AB＝h m，根据题意得：DF＝EA＝（h）m，DE＝FA＝3m，则BF＝（h﹣3）m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC， 在Rt△DEC中， CD＝6m，∠DCE＝30°， ∴DECD＝3（m）， ∴DE的长为3m； （2）由题意得：BA⊥EA， 在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°， ∴CEDE（m）， 在Rt△ABC中， 设AB＝h m， ∵∠BCA＝45°， ∴ACh（m）， ∴AE＝EC+AC＝（h）m， ∴线段EA的长为（h）m； 过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由题意得：DF＝EA＝（h）m，DE＝FA＝3m， ∵AB＝h m， ∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m， 在Rt△BDF中， ∵∠BDF＝27°， ∴BF＝DF•tan27°≈0.5（h）m， ∴h﹣3＝0.5（h）， 解得：h6≈11， ∴AB＝11m， ∴塔AB的高度约为11m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 24．如图，在△AEC中，∠E＝90°，AD平分∠CAE交CE于点D，点B为边AC上一点，以AB为直径的圆恰好经过点D． （1）试判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若OB＝4，BC＝2，求DE的长． 【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，根据角平分线的定义得到∠OAD＝∠DAE，等量代换得到∠ODA＝∠DAE，根据平行线的性质得到∠ODC＝∠E，求得∠ODC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切， 理由：连接OD，∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAE交CE于点D， ∴∠OAD＝∠DAE， ∴∠ODA＝∠DAE， ∴OD∥AE， ∴∠ODC＝∠E， ∵∠E＝90°， ∴∠ODC＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴直线CE与⊙O相切； （2）∵∠ODC＝90°， ∴OC2＝OD2+CD2， ∴62＝42+CD2， ∴CD＝2， ∵OD∥AE， ∴△COD∽△CAE， ∴， ∴， ∴CE， ∴DE＝CE﹣CD． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键． 25．【问题呈现】 （1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD＝CE． 【类比探究】 （2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD、CE，则　　． 【拓展提升】 （3）如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠DAE＝∠BAC＝30°，连接BD、CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G，求∠BFC． 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BGC＝∠BAC，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴． 故答案为：； （3）解：①∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ∴； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AFC＝∠BFG， ∴∠BFC＝∠BAC＝30°． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$