期末模拟卷（A）2024-2025学年苏科版九年级数学上册期末模拟测试卷

终日不倦者，其唯学焉！ 期末模拟卷（A）2024-2025学年九年级数学上册模拟测试 考试时间：90分钟 注意事项： 1、 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、 请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分。每小题所给四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．已知α为锐角，且sin（90°﹣α），则α的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1 3．如图，⊙O的半径为12，点A、B是圆上的两点，∠AOB＝120°，则的长为（　　） A．6π B．8π C．10π D．12π 4．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 5．爱好运动的小颖同学利用“微信运动”这一公众号，连续记录了一周每天的步数（单位：万步）分别为：1.3，1.4，1.7，1.4，1.4，1.8，1.6，则这组数据的中位数（　　） A．1.3 B．1.4 C．1.6 D．1.7 6．利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体AB，其在底片上的图象A'B'的宽是36mm，焦距是90mm，则物体AB的宽是（　　） A．6mm B．12mm C．24mm D．30mm 7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是 上的动点，则∠AFC的度数为（　　） A．60° B．72° C．144° D．随着点F的变化而变化 8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上（不与端点重合），连接AP并延长交CD于E，过点P作PF⊥AP交BC于F，连接AF、EF，AF交BD于G，给出下面四个结论： ①AB2+BF2＜2AP2； ②BF+DE＞EF； ③PB﹣PD＞2BF； ④． 其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．③ 第二卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，请直接将答案填写在答题卡相应位置） 9．已知，则的值为 　 　． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　． 11．2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 　 　分． 12．如图，学校教学楼AB的后面有一栋宿舍楼CD，当光线与地面的夹角是25°时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高3m的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20m的距离（B，F，C在一条直线上），则教学楼AB的高度为 　 　m．（结果精确到1m，参考数据：sin25°≈0.42．cos25°≈0.91，tan25°≈0.47） 13．如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　 　． 14．如图，DE是△ABC的中位线，FG是△BDE的中位线．设△DFG的面积是S1，△ABC的面积是S2，则　 　． 15．小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接CE，点F是CE的中点，连接AF，DF，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 　 　． 16．如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tanC，那么DP的长是　 　． 三．解答题（共9小题，共68分。17~21每题6分、22~23每题8分、24题10分、25题12分） 17．（1）解方程（x﹣2）2＝5（x﹣2）； （2）计算：． 18．“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动． （1）第一周选择的是八年级班级的概率为 　 　； （2）请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 19．如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图并保留作图痕迹． （1）在图（1）中，点D为线段AB与网格线的交点，在线段AC上画点E，使线段DE与线段BC平行，再在线段AB上画点P，使tan∠ACP； （2）在图（2）中，点F为线段AB与网格线的交点，在图中画出两格点G1，G2，使FG1＝FG2BC．O为线段AC与网格线的交点，以O为位似中心，把线段AF扩大为原来的2倍，画出对应线段A′F′． 20．某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 21．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为50cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACP＝50°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACP＝35°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：sin50°≈0.77，tan50°≈1.19，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70） 22．目前我国射击运动发展较快，许多中小学开始推广普及射击运动．如图为甲、乙两名射击爱好者在相同条件下6次射击成绩． （1）填表并判断：　 　的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）； 人员 平均数 方差 甲 7 1 乙 7 ▲ （2）在一组数据x1，x2…xn中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的“平均差”，即，“平均差”也能描述一组数据的离散程度．请分别计算甲、乙成绩的“平均差”，并根据结果，简要概括“平均差”如何描述一组数据的离散程度． （3）把函数y＝2x+1中自变量的一组值和对应的函数值分别看成样本A：x1、x2、…、xn；样本B：y、y2…、yn．这两个样本的方差与之间有怎样的函数关系？请直接写出结果． 23．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点O作AB的垂线交BC的延长线于点F，交AC于点D，在线段DF上取一点E，使CE＝DE． （1）判断CE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若OA＝4，EF＝3，求弦AC的长． 24．【问题】老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索： 【方案一】小明构造了图1，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∠C＝45°． 第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长； 第二步：在Rt△ADC中，计算sin75°． 【方案二】小华构造了图2，边长为a的正方形ABCD的顶点A在直线EF上，且∠DAF＝30°． 第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代数式表示AC和CG的长； 第二步：在Rt△AGC中，计算sin75°． 请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程． 25．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M是线段DC延长线上的一点，连结MA交⊙O于点F，连结DF交AB于点G，连结AD，BD，CF． （1）求证：△MAD∽△DAF． （2）若AD＝2BE，求tan∠AFD的值． （3）在（2）的条件下，设tan∠M＝x，y． ①求y关于x的函数表达式； ②若E为BG的中点，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$终日不倦者，其唯学焉！ 期末模拟卷（A）2024-2025学年九年级数学上册模拟测试 考试时间：90分钟 注意事项： 1、 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、 请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分。每小题所给四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．已知α为锐角，且sin（90°﹣α），则α的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【解答】解：∵α为锐角，且sin（90°﹣α）， ∴90°﹣α＝30°， 则α的度数是：60°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 2．若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1 【分析】根据偶次方的非负性解答即可． 【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根， ∴m+1≥0， 解得：m≥﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法﹣直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 3．如图，⊙O的半径为12，点A、B是圆上的两点，∠AOB＝120°，则的长为（　　） A．6π B．8π C．10π D．12π 【分析】直接根据弧长公式计算即可． 【解答】解：的长为8π． 故选：B． 【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 4．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元， 依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．爱好运动的小颖同学利用“微信运动”这一公众号，连续记录了一周每天的步数（单位：万步）分别为：1.3，1.4，1.7，1.4，1.4，1.8，1.6，则这组数据的中位数（　　） A．1.3 B．1.4 C．1.6 D．1.7 【分析】根据中位数的定义进行解答即可． 【解答】解：将这7个数从小到大排列，处在中间位置的一个数数1.4，因此中位数是1.4， 故选：B． 【点评】本题考查中位数，理解中位数的定义，掌握中位数的计算方法是正确解答的前提． 6．利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体AB，其在底片上的图象A'B'的宽是36mm，焦距是90mm，则物体AB的宽是（　　） A．6mm B．12mm C．24mm D．30mm 【分析】由题意可知△A′B′O∽△ABO，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可求出宽AB的长． 【解答】解：∵AB∥A′B′， ∴△A′B′O∽△ABO， ∴， ∴， ∴AB＝24． 答：物体AB的宽是24m． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形在实际问题中的应用，用到的知识点是：相似三角形对应高之比等于相似比． 7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是 上的动点，则∠AFC的度数为（　　） A．60° B．72° C．144° D．随着点F的变化而变化 【分析】求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可， 【解答】解：如图，连接OA、OB、OC， ∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴∠AOB＝∠BOC72°， ∴∠AOC＝72°+72°＝144°， ∴∠AFC∠AOC＝72°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提． 8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上（不与端点重合），连接AP并延长交CD于E，过点P作PF⊥AP交BC于F，连接AF、EF，AF交BD于G，给出下面四个结论： ①AB2+BF2＜2AP2； ②BF+DE＞EF； ③PB﹣PD＞2BF； ④． 其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．③ 【分析】①根据正方形性质、勾股定理可得 AB2+BF2＝AP2+PF2，证明A，B，F P四点共 圆，推出∠PAG＝∠PBF＝45° 即可判定①；②将△ADE绕点A顺时针旋转 90° 得到△ABM，利用全等三角形的性质即可判定②；③连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，证明FQ＝QC，由 ，推出 ④先证明△APG∽△AFE可得 ，再结合解直角 三角形、三角形三边关系即可解答． 【解答】解：∵在正方形ABCD中， ∴∠ABC＝90°， ∵PF⊥AP， ∴AB2+BF2＝AF2，AP2+PF2＝AF2， ∴AB2+BF2＝AP2+PF2， 取AF的中点T，连接PT，BT． ∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形， ∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵AT＝TF， ∴BT＝AT＝TF＝PT， ∴A，B，F，P四点共圆， ∴∠PAF＝∠PBF＝45°， ∴∠PAF＝∠PFA＝45°， ∴PA＝PF， ∴AB2+BF2＝2AP2，故①错误． 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM， ∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°， ∴∠ABC+∠ABM＝180°， ∴C，B，M共线， ∵∠EAF＝45°， ∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB+∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠FAM， 在△FAM和△FAE中， ∴．△FAM≌△FAE（SAS）， ∴FM＝EF， ∵FM＝BF+BM＝BF+DE， ∴EF＝DE+BF，故②错误； 如图：连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形， 在△PBA和△PCB中， ， ∴△PBA≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PC， ∵PF＝PA， ∴PF＝PC， ∵PQ⊥CF， ∴FQ＝QC， ∴ ，故③正确； ④∵△FAM≌△FAE（SAS）， ∴∠DAE＝∠BAM，AM＝AE， ∵PF⊥AP， ∴∠APF＝90°，∠ABF＝90°， ∴A，B，F，P四点共圆， ∵BD为正方形ABCD为对角线， ∴∠DBC＝45°， ∴∠PAF＝∠PBF＝45°， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAE+∠BAF＝∠MAB+∠BAF＝90°﹣∠PAF＝45°∵AM＝AE，∠MAF＝∠EAF＝45°，AF＝AF， ∴△MAF≌△EAF（SAS），∠AFM＝∠AFE， ∵A，B，F，P四点共圆， ∴∠AFM＝∠APG， ∴∠AFE＝∠APG， ∵∠PAG＝∠FAE， ∴△APG∽△AFE， ∴， 在Rt△APF中，∠APF＝90°，∠PAF＝45°， ∴， ∴，即 ， 在△EFC中，EC+FC＞FE，即④正确． 综上，③④正确． 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的相关性质以及全等三角形的判定与性质，正方形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第二卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，请直接将答案填写在答题卡相应位置） 9．已知，则的值为 　　． 【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴设a＝2k，b＝3k， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　2　． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣8k＝0，然后解关于k的方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8k＝0， 解得：k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ＝0有两个相等的实数根是解题的关键． 11．2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 　9　分． 【分析】根据众数的概念求解即可． 【解答】解：根据条形统计图可知（9分）的人数最多为13人，即众数为9， 故答案为：9． 【点评】本题考查众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数为众数． 12．如图，学校教学楼AB的后面有一栋宿舍楼CD，当光线与地面的夹角是25°时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高3m的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20m的距离（B，F，C在一条直线上），则教学楼AB的高度为 　23　m．（结果精确到1m，参考数据：sin25°≈0.42．cos25°≈0.91，tan25°≈0.47） 【分析】作EH⊥AB于H，根据正切的定义用AH表示出EH，根据等腰直角三角形的性质得到AB＝BF，结合图形列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：作EH⊥AB于H， ∵AB⊥BC，DC⊥BC，EH⊥AB， ∴四边形HBCE为矩形， ∴BH＝CE＝3，EH＝BC， 在Rt△AHE中，tan∠AEH， ∴EHAH， 在Rt△ABF中，∠AFB＝45°， ∴BF＝AB＝AH+3， 由题意得，AH﹣（AH+3）＝20， 解得，AH≈20， ∴AB＝AH+BH＝23， 故答案为：23． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 13．如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　3　． 【分析】用配方法求解即可． 【解答】解：x2+6x＝40， x2+6x+9＝40+9， （x+3）2＝49， ∴m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 14．如图，DE是△ABC的中位线，FG是△BDE的中位线．设△DFG的面积是S1，△ABC的面积是S2，则　　． 【分析】根据三角形中位线定理得到FG∥BE，FGBE，得到△DGF∽△DBE，根据相似三角形的性质得到，同理得到，计算即可． 【解答】解：∵FG是△BDE的中位线， ∴FG∥BE，FGBE， ∴△DGF∽△DBE， ∴（）2， 同理可得：， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 15．小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接CE，点F是CE的中点，连接AF，DF，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 　　． 【分析】根据三角形中线的性质推出，再根据落在阴影部分的概率即为阴影部分面积和总面积之比即可求解． 【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵点E是AD的中点， ∴， ∵点F是CE的中点， ∴， ∴S△ABC， ∴， ∴小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了几何概率，熟知飞镖落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积占总面积的比例是解题的关键． 16．如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tanC，那么DP的长是　　． 【分析】由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP∥CD，则∠C＝∠APB，由tan∠APB，求得BP＝4，PC＝6，在Rt△CDP中，tanC，CD，得出，即可得出结果． 【解答】解：∵DP⊥AP，CD⊥DP， ∴AP∥CD， ∴∠C＝∠APB， ∵AB⊥BC， ∴tan∠APB， ∵tanC， ∴， ∴BP＝4， ∴PC＝BC﹣BP＝10﹣4＝6， 在Rt△CDP中，tanC，CD， ∴， 解得：DP或DP（不合题意舍去）， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数定义、勾股定理、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握三角函数定义是解题的关键． 三．解答题（共9小题，共68分。17~21每题6分、22~23每题8分、24题10分、25题12分） 17．（1）解方程（x﹣2）2＝5（x﹣2）； （2）计算：． 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）根据特殊角的三角函数值计算即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝5（x﹣2）， （x﹣2）2﹣5（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣5）＝0， x﹣2＝0或x﹣7＝0， ∴x1＝2，x2＝7； （2） ＝32×（）2 1 ． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18．“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动． （1）第一周选择的是八年级班级的概率为 　　； （2）请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解； （2）根据题意画出树状图，可得共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况，再根据概率公式计算，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得：第一周选择的是八年级班级的概率为； 故答案为：； （2）根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况， ∴两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率． 【点评】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 19．如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图并保留作图痕迹． （1）在图（1）中，点D为线段AB与网格线的交点，在线段AC上画点E，使线段DE与线段BC平行，再在线段AB上画点P，使tan∠ACP； （2）在图（2）中，点F为线段AB与网格线的交点，在图中画出两格点G1，G2，使FG1＝FG2BC．O为线段AC与网格线的交点，以O为位似中心，把线段AF扩大为原来的2倍，画出对应线段A′F′． 【分析】（1）根据三角函数的定义即可得到结论； （2）根据三角形的中位线定理和位似的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图（1），线段DE即为所求，点P即为所求； （2）图（2），点G1，G2，线段A′F′即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，平行线的判定和性质，解直角三角形，正确地作出图形是解题的关键． 20．某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率是x， 根据题意列方程得，200（1﹣x）2＝162， 解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%． （2）200（1﹣5%）（1﹣15%）＝161.5＜162 ∴售货员的方案对顾客更优惠． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 21．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为50cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACP＝50°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACP＝35°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：sin50°≈0.77，tan50°≈1.19，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70） 【分析】过点M作MN⊥CP于N，设每节拉杆的长度为x cm，根据正弦的定义用x分别表示出MN、AH，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：如图1，过点M作MN⊥CP于N， 设每节拉杆的长度为x cm，则CM＝（50+x）cm，CA＝（50+2x）cm， 如图1，在Rt△MCN中，∠MCN＝50°， ∵sin∠MCN， ∴MN＝CM•sin∠MCN≈0.77（50+x）cm， 如图2，在Rt△ACH中，∠ACH＝35°， ∵sin∠ACH， ∴AH＝AC•sin∠ACH≈0.57（50+2x）cm， 由题意得：0.77（50+x）＝0.57（50+2x）， 解得：x≈27， 答：每节拉杆的长度约为27cm． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡度问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．目前我国射击运动发展较快，许多中小学开始推广普及射击运动．如图为甲、乙两名射击爱好者在相同条件下6次射击成绩． （1）填表并判断：　甲　的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）； 人员 平均数 方差 甲 7 1 乙 7 ▲ （2）在一组数据x1，x2…xn中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的“平均差”，即，“平均差”也能描述一组数据的离散程度．请分别计算甲、乙成绩的“平均差”，并根据结果，简要概括“平均差”如何描述一组数据的离散程度． （3）把函数y＝2x+1中自变量的一组值和对应的函数值分别看成样本A：x1、x2、…、xn；样本B：y、y2…、yn．这两个样本的方差与之间有怎样的函数关系？请直接写出结果． 【分析】（1）通过方差的计算公式求出乙的方差与甲方差比较即可； （2）根据平均差”的定义求出甲、乙的“平均差”，然后根据（1）得出结论； （3）分别方差与之值，然后得出结论． 【解答】解：（1）乙射击环数的方差s乙2[（3﹣7）2+（6﹣7）2+3（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝4， ∵1＜4， ∴甲的成绩更稳定， 故答案为：甲； （2）T甲（|9﹣7|+|6﹣7|+|7﹣7|+|7﹣7|+|7﹣7|6﹣7|）； T乙（|3﹣7|+|6﹣7|+3|8﹣7|+|9﹣7|）， “T甲＜T乙， 由（1）可得甲的成绩更稳定， ∴一组数据的“平均差”越小（大），该组数据的离散程度越小（大）； （3）∵（x1+x2+x3+...+xn），[2（x1+x2+x3+...+xn）+n]＝21， ∴[（x1）2+（x2）2+（x3）2+...+（xn）2]； [（2x1+1﹣21）2+（2x2+1﹣21）2+（2x3+1﹣21）2+...+（2xn+1﹣21）2]＝4[（x1）2+（x2）2+（x3）2+...+（xn）2]． ∴． 【点评】本题考查调查收集数据的过程和方法以及一次函数的应用，关键是掌握统计的有关概念． 23．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点O作AB的垂线交BC的延长线于点F，交AC于点D，在线段DF上取一点E，使CE＝DE． （1）判断CE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若OA＝4，EF＝3，求弦AC的长． 【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质得出∠ECF＝∠F，连接OC，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠OCA+∠DCE＝90°，则EC⊥OC，则可得出结论； （2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长． 【解答】（1）解：CE与⊙O相切． 证明如下：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵EC＝ED， ∴∠DCE＝∠EDC， 在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°， ∴∠CDE+∠ECF＝90°， ∵∠CDE+∠F＝90°， ∴∠ECF＝∠F， 连接OC， ∵OF⊥AB， ∴∠DOA＝90°， ∴∠A+∠ADO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∴∠OCA+∠ADO＝90°， ∵∠ADO＝∠CDE， ∴∠OCA+∠CDE＝90°， ∵∠CDE＝∠DCE， ∴∠OCA+∠DCE＝90°， ∴EC⊥OC， ∴EC是⊙O的切线； （2）解：∵EF＝3，ED＝EF， ∴EC＝DE＝3， ∴OE5， ∴OD＝OE﹣DE＝2， 在Rt△OAD中，AD2 ， 在Rt△AOD和Rt△ACB中， ∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD， ∴Rt△AOD∽Rt△ACB， ∴， 即， ∴AC． 【点评】本题考查了切线的判定，直角三角性质，勾股定理，圆周角定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 24．【问题】老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索： 【方案一】小明构造了图1，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∠C＝45°． 第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长； 第二步：在Rt△ADC中，计算sin75°． 【方案二】小华构造了图2，边长为a的正方形ABCD的顶点A在直线EF上，且∠DAF＝30°． 第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代数式表示AC和CG的长； 第二步：在Rt△AGC中，计算sin75°． 请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程． 【分析】【方案一】如图1，过点A作AQ⊥BC于点Q，利用含30度角的直角三角形性质求出DC的长，再利用锐角三角函数定义即可解决问题； 【方案二】如图2，延长CB交FE于点H，根据正方形的性质用含a的代数式表示AC和CG的长，再利用锐角三角函数定义即可解决问题． 【解答】解：【方案一】如图1，过点A作AQ⊥BC于点Q， 在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°， ∵∠C＝45°．AC＝2， ∴AQ＝CQAC， ∵∠B＝30°， ∴BQAQ， ∴BC＝BQ+QC， ∴CDBC， ∵∠DAC＝∠B+∠ACB＝75°， ∴sin75°． 【方案二】如图2，延长CB交FE于点H， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴ACa， ∵∠DAF＝30°． ∴∠BAH＝60°， ∴∠H＝30°， ∴AH＝2AB＝2a， ∴BHABa， ∴CH＝BH+BCa+a＝（1）a， ∴CGCH， ∵∠GAC＝∠CAD+∠DAF＝75°， ∴sin75°． 【点评】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 25．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M是线段DC延长线上的一点，连结MA交⊙O于点F，连结DF交AB于点G，连结AD，BD，CF． （1）求证：△MAD∽△DAF． （2）若AD＝2BE，求tan∠AFD的值． （3）在（2）的条件下，设tan∠M＝x，y． ①求y关于x的函数表达式； ②若E为BG的中点，求的值． 【分析】（1）利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可； （2）设BE＝a，则AD＝2a，利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得AB，AE，DE，利用直角三角形的边角关系定理和（1）的结论解答即可； （3）①过点G作GH⊥AD于点H，由（1）的结论得到∠M＝∠ADF，利用直角三角形的边角关系定理得到GH＝xHD，设GH＝m，则AH＝2m，则AGm，利用已知条件得到m与x的关系，进而得到AG，BG的长度，利用已知条件化简即可得出结论； ②过点A作AM⊥DF于点M，过点C作CN⊥DF于点N，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质用a的代数式表示出AM，CN，利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴， ∴∠AFD＝∠ADC， ∵∠FAD＝∠DAM， ∴△MAD∽△DAF； （2）解：∵AD＝2BE， ∴设BE＝a，则AD＝2a． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵CD⊥AB， ∴△AED∽△ADB， ∴． ∴， ∴AB＝5a． ∴AE＝AB﹣BE＝4a， ∴DE2a． ∴tan∠ADC2． 由（1）知：∠AFD＝∠ADC， ∴tan∠AFD＝tan∠ADC＝2； （3）解：①过点G作GH⊥AD于点H，如图， 则tan∠ADF． 由（1）知：△MAD∽△DAF， ∴∠M＝∠ADF， ∵tan∠M＝x， ∴tan∠ADFx， ∴GH＝xHD． ∵tan∠EAD， ∴tan∠GAH． 设GH＝m，则AH＝2m， ∴AGm． ∴xHD＝m， ∴HD． ∵GH⊥AD，AD⊥BD， ∴GH∥BD， ∴， ∴y＝2x． ②过点A作AK⊥DF于点K，过点C作CN⊥DF于点N，如图， ∵E为BG的中点，DE⊥BG， ∴DE垂直平分BG，BE＝EG＝a， ∴AG＝AB﹣BE＝EG＝3a，DGa． ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴DE＝EC＝2a， ∴CD＝4a． ∵sin∠EDG， ∴， ∴CNa． ∵∠AKG＝∠DEG＝90°，∠AGK＝∠DGE， ∴△AKG∽△DEG， ∴， ∴， ∴AKa． ∴． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形是判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，垂径定理，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形或直角三角形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$