专题04 二项式定理十二种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第二册）

专题04 二项式定理十二种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、求二项展开式的第k项……………………………………………………3 类型二、求指定项的二项式系数与系数……………………………………………3 类型三、二项式系数和的应用 4 类型四、二项式系数的最值 5 类型五、由项的系数确定参数 6 类型六、有理项（含常数项）、无理项及其系数 7 类型七、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和 10 类型八、三项展开式的系数问题 12 类型九、两个二项式乘积展开式的系数问题 13 类型十、求二项式系数与系数最大 (小) 的项 15 类型十一、整除和余数问题 17 类型十二、杨辉三角 18 压轴能力测评（10题） 21 1、二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： ①h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． ②h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． ③h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． ④h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)． 2、二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或 3、二项式系数和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝. 4、求二项展开式的第k项 求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项公式Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，2，…，n). 5、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和 系数和问题常用“赋值法”求解 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． 6、三项展开式的系数问题 求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法 7、求两个因式积的特定项， 一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解. 8、求二项式系数与系数最大 (小) 的项 （1）二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （2）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 类型一、求二项展开式的第k项 例．的展开式的第四项为 . 【变式训练1】在的二项展开式中，第四项为 ． 类型二、求指定项的二项式系数与系数 例．（1） 在的展开式中，项的系数为 ． （2）已知，则______. 【变式训练1】展开式中含项的系数为______． 【变式训练2】若 则_____ 类型三、二项式系数和的应用 例．二项式展开式中所有二项式系数和为64，求其二项展开式中的系数． 【变式训练1】若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为 . 【变式训练2】若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为 . 类型四、二项式系数与系数的最值 例.(1)已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（ ） A. B. C. D. (2)（多选）已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 类型五、由项的系数确定参数 例．若的展开式中的系数为144，则 . 【变式训练1】已知的展开式中含项的系数为160，则实数a的值为 . 类型六、有理项（含常数项）、无理项及其系数 例．（1）在的展开式中，第3项与倒数第3项的系数之比为，求展开式中的有理项． （2）的展开式中的常数项为（ ） A. -80 B. 80 C. -160 D. 160 【变式训练1】若展开式中的常数项为60，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【变式训练2】的展开式中常数项为（ ） A．24 B．25 C．48 D．49 【变式训练3】在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）证明展开式中不存在常数项； （2）求展开式中所有的有理项． 类型七、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和 例．（1）设，则 . （2）已知，则的值为（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 （3）（多选）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】若，则（ ） A． B．2 C．1 D．0 【变式训练2】已知，则 ．（用数字作答） 【变式训练2】已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为． （1）求； （2）记，求的值． 类型八、三项展开式的系数问题 例．（1）展开式中项系数为 . （2）在的展开式中的系数为（ ） A. 160 B. 240 C. 360 D. 800 【变式训练1】展开式中含项的系数为（ ） A．30 B． C．10 D． 【变式训练2】的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 类型九、两个二项式乘积展开式的系数问题 例．（1）的展开式中的系数为________________（用数字作答）． （2）已知，求的值． 【变式训练1】的展开式中的系数为（ ） A. 15 B. C. 5 D. 【变式训练2】已知，则（ ） A．32 B．48 C．16 D． 【变式训练3】展开式中项的系数为（ ） A． B． C． D． 类型十、求二项式系数与系数最大 (小) 的项 例．在的展开式中，展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项 【变式训练1】已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）求的近似值（精确到0.01）； （3）求的二项展开式中系数最大的项. 【变式训练2】在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项. 类型十一、整除和余数问题 例．(1)被6除所得的余数为______． (2)若能被13整除，则可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 11 D. 12 【变式训练1】已知，则__________，被6除所得的余数是__________. 【变式训练2】定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知：，满足，则p可以是（ ） A. 26 B. 31 C. 32 D. 37 类型十二、杨辉三角 例．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角． 若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为 ． 【变式训练1】（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（ ） A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是 B．由“第行所有数之和为”猜想： C． D．存在，使得为等差数列 【变式训练2】（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ） A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 1．在展开式中，含项的系数是（ ） A. 120 B. 56 C. 84 D. 35 2．已知，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3．在二项式的展开式中，记各项的系数和为，则被5除所得的余数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4．（多选）已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（ ） A. 为7 B. 所有项的二项式系数和为64 C. 二项式系数最大的项为第4项 D. 没有常数项 5．（多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 展开式中最大的系数为 6．（多选）已知的展开式第6项和第8项的二项式系数相等，下列说法正确的有（ ） A. B. 第3项的系数为66 C. 展开式中有理项共有3项 D. 奇数项系数和为 7．的展开式中的系数为_______________． 8．已知，，则_______________．（用含有的式子表示） 9．已知在二项式的展开式中，第项为常数项. （1）求； （2）求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和； （3）在的展开式中，求含的项. 10.已知的展开式的各项系数和为256. （1）求展开式中的常数项； （2）设，证明：； （3）求证：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二项式定理十二种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、求二项展开式的第k项……………………………………………………3 类型二、求指定项的二项式系数与系数……………………………………………3 类型三、二项式系数和的应用 4 类型四、二项式系数的最值 5 类型五、由项的系数确定参数 6 类型六、有理项（含常数项）、无理项及其系数 7 类型七、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和 10 类型八、三项展开式的系数问题 12 类型九、两个二项式乘积展开式的系数问题 13 类型十、求二项式系数与系数最大 (小) 的项 15 类型十一、整除和余数问题 17 类型十二、杨辉三角 18 压轴能力测评（10题） 21 1、二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： ①h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． ②h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． ③h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． ④h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)． 2、二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或 3、二项式系数和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝. 4、求二项展开式的第k项 求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项公式Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，2，…，n). 5、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和 系数和问题常用“赋值法”求解 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． 6、三项展开式的系数问题 求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法 7、求两个因式积的特定项， 一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解. 8、求二项式系数与系数最大 (小) 的项 （1）二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （2）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 类型一、求二项展开式的第k项 例．的展开式的第四项为 . 【答案】 【解析】的展开式的通项为， 令，得 故答案为：. 【变式训练1】在的二项展开式中，第四项为 ． 【答案】 【解析】在的二项展开式中，第四项为. 故答案为： 类型二、求指定项的二项式系数与系数 例．（1） 在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【解析】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. （2）已知，则______. 【答案】 【解析】令，即， 因此原等式为，项为， 所以. 故答案为： 【变式训练1】展开式中含项的系数为______． 【答案】 【解析】的系数分别为， 故展开式中的系数和为. 故答案为：. 【变式训练2】若 则_____ 【答案】27 【解析】 , •（﹣1）4＝﹣8+35=27， 故答案为27． 类型三、二项式系数和的应用 例．二项式展开式中所有二项式系数和为64，求其二项展开式中的系数． 【答案】-2500 【解析】由题意得，解得， 的展开式通项公式为， 令，解得，故， 故其二项展开式中的系数为 【变式训练1】若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为 . 【答案】280 【解析】展开式的二项式系数之和为，解得：， 所以展开式的通项为：， 令，解得：， 所以展开式中的系数为：. 故答案为：280. 【变式训练2】若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为 . 【答案】 【解析】因为的展开式的二项式系数和为32， 所以，解得. 所以， 由，解得， 所以的系数为，解得. 故答案为：. 类型四、二项式系数与系数的最值 例.(1)已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的通项公式为，要使展开式中系数的最小值，则为奇数，取值为1，3，5，7，所以当或5时，系数最小，则展开式中系数的最小值为， 故选：C (2)（多选）已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】的展开式中二项式系数最大值为， 的展开式通项公式为， 令得，， 故展开式中的系数为，故，解得. 故选：AB 【变式训练1】的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】因为展开式中，二项式系数最大的项只有第项即最大， 根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大， 所以，解得. 故选：B. 类型五、由项的系数确定参数 例．若的展开式中的系数为144，则 . 【答案】 【解析】的展开式的通项公式: . 令，解得， 所以由题意得，解得. 故答案为： 【变式训练1】已知的展开式中含项的系数为160，则实数a的值为 . 【答案】 【解析】由二项式展开式通项公式得：， 当时，有，由展开式中含项的系数为160， 所以，解得：， 故答案为：2 类型六、有理项（含常数项）、无理项及其系数 例．（1）在的展开式中，第3项与倒数第3项的系数之比为，求展开式中的有理项． 【答案】和 【解析】的展开式的通项公式为：， 所以第三项的系数为：，倒数第3项的系数为：， 所以，所以，所以. 的展开式的通项公式为：， 所以为有理数，则， ，或， 所以展开式中的有理项为：和. （2）的展开式中的常数项为（ ） A. -80 B. 80 C. -160 D. 160 【答案】C 【解析】因为，展开式的通项为， 令，得， 所以的展开式中的常数项为， 所以即的展开式中的常数项为. 故选：C. 【变式训练1】若展开式中的常数项为60，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】展开式的通项为， 令，得， 当时，，则有，解得. 故选：B. 【变式训练2】的展开式中常数项为（ ） A．24 B．25 C．48 D．49 【答案】D 【解析】的展开式通项为 ， 令，得满足题意的数组可以是：， 规定， 故所求为. 故选：D. 【变式训练3】在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）证明展开式中不存在常数项； （2）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）证明见解析； （2），，，. 【解析】（1）易知第2，3，4项的二项式系数依次为， 可得，即， 整理得，解得或（舍）； 所以二项式为，假设第项为常数项，其中， 即可得为常数项，所以， 解得，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； （2）由（1）可知，二项展开式的通项可得， 其中的有理项需满足，即，且； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 综上可知，展开式中所有的有理项为，，，. 类型七、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和 例．（1）设，则 . 【答案】 【解析】令，则， 令，则，所以 故答案为：-2 （2）已知，则的值为（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 【答案】A 【解析】令，得， 令，得， 令，得， 两式相加得， 得， 则. 故选：A. （3）（多选）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】由已知有，故，. 所以. 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得， 取得，B正确； 对于C，在中用替换， 得. 所以，特别地对有，C错误； 对于D，由有. 中取得， 所以，D正确. 故选：BD. 【变式训练1】若，则（ ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】令，则，即， 令，则，即， 故， 即，故. 故选：C 【变式训练2】已知，则 ．（用数字作答） 【答案】 【解析】因为， 两边求导可得， 令，得到，即， 故答案为：15 【变式训练2】已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为． （1）求； （2）记，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意，二项式的通项公式为， 根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得 ，即， 解得. （2）由（1）可知， 令，则， 令，则， 则 类型八、三项展开式的系数问题 例．（1）展开式中项系数为 . 【答案】 【解析】由题意得可化简为， 且其展开式通项为， 其中对于的展开式通项为，， 当时，此时，则的系数为， 当时，此时，则的系数为， 所以项系数为. 故答案为：-115 （2）在的展开式中的系数为（ ） A. 160 B. 240 C. 360 D. 800 【答案】B 【解析】由结论的展开式中，含（其中）的项为可得， 的展开式的项为，其中， 根据题意，可知，，，， 所以的系数为， 故选：B． 【变式训练1】展开式中含项的系数为（ ） A．30 B． C．10 D． 【答案】B 【解析】由题意得，展开式中含的项为， 所以展开式中含项的系数为. 故选：B 【变式训练2】的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为. 故选：D. 类型九、两个二项式乘积展开式的系数问题 例．（1）的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 （2）已知，求的值． 【答案】-2 【解析】中，令得，， 令得①， 令得②， ①+②得，，解得， 故 【变式训练1】的展开式中的系数为（ ） A. 15 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】二项式展开式的通项为， 故展开式中的系数为． 故选：C． 【变式训练2】已知，则（ ） A．32 B．48 C．16 D． 【答案】D 【解析】因为， 两边同时求导可得：， 令，可得. 故选：D. 【变式训练3】展开式中项的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的展开式通项为， 因为， 在中，令，可得项的系数为； 在中，令，得，可得项的系数为. 所以，展开式中项的系数为. 故选：A. 类型十、求二项式系数与系数最大 (小) 的项 例．在的展开式中，展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项 【答案】绝对值最大的项是第6、7项; 系数最大的项为,系数最小的项为 【解析】由题展开式中的第项. 即. 当系数的绝对值最大的项即最大. 故. 故绝对值最大的项是第6、7项. 其中系数最大的项为, 系数最小的项为 【变式训练1】已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）求的近似值（精确到0.01）； （3）求的二项展开式中系数最大的项. 【答案】（1）7 （2）128.45 （3） 【解析】（1）∵展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列， ∴，整理得,解得， 又∵，∴ （2） （3） 依题意得，，即, 解之，， 又∵，∴ 故展开式中系数最大得项为 【变式训练2】在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为， 整理可得，因为，解得. （2）的展开式通项为， 令，可得， 所以，展开式中的常数项为，解得， 由不等式组，解得. 因为，所以，， 因此，展开式中系数最大的项为 类型十一、整除和余数问题 例．(1)被6除所得的余数为______． 【答案】 【解析】， 展开式的前项都能被整除，只有最后一项不能被整除，所以问题转化为被的余数， 而，被除的余数为，所以被除的余数为. 故答案为： (2)若能被13整除，则可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】因为 ， 又因为能被13整除， 所以能被13整除，观察选项可知可以是. 故选：B. 【变式训练1】已知，则__________，被6除所得的余数是__________. 【答案】 ①. 2 ②. 5 【解析】依题意，，， 所以； ， 显然是6的整数倍，而除以6余5， 所以被6除所得的余数是5. 故答案为：2；5. 【变式训练2】定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知：，满足，则p可以是（ ） A. 26 B. 31 C. 32 D. 37 【答案】D 【解析】因为， 而， 因此除以的余数为除以的余数2， 而26，31，32除以7的余数分别为5，3，4，不符合题意，37除以7的余数为2，即D满足. 故选：D 类型十二、杨辉三角 例．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角． 若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为 ． 【答案】 【解析】依题意可知第行的数从左到右分别为， 所以，即，得，解得或（舍去）， 所以的值为. 故答案为： 【变式训练1】（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（ ） A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是 B．由“第行所有数之和为”猜想： C． D．存在，使得为等差数列 【答案】BCD 【解析】对于A，在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是，A错； 对于B，由二项式系数的性质知，B对； 对于C，由于故C正确； 对于D，取，则， 因为，所以数列为公差为的等差数列，D对. 故选：BCD. 【变式训练2】（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ） A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 【答案】ABD 【解析】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，其和为； 而第行第个数字就是，故A正确； 对于B：因为，， 所以，故B正确； 对于C：由图可知：第行有个数字， 如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大； 如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大， 所以第行的第个数最大，故C错误； 对于D：依题意：第行从左到右第个数为，第行从左到右第个数为， 所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确； 故选：ABD. 1．在展开式中，含项的系数是（ ） A. 120 B. 56 C. 84 D. 35 【答案】A 【解析】因为展开式的通项为（且）， 所以的展开式中， 含项的系数是 ， 故选：A. 2．已知，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】令，则，即． 故选：B. 3．在二项式的展开式中，记各项的系数和为，则被5除所得的余数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】令,故系数项的和为, 故 故被5除所得的余数为1. 故选:D 4．（多选）已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（ ） A. 为7 B. 所有项的二项式系数和为64 C. 二项式系数最大的项为第4项 D. 没有常数项 【答案】BCD 【解析】对A,因为二项式的展开式中共有7项，所以，即，故A错误； 对B,二项式中，所有项的二项式系数和为，故B正确； 对C,因为二项式的展开式中共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，故C正确； 对D,二项式的通项为， 令，得，不满足题意，故D正确. 故选：BCD. 5．（多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 展开式中最大的系数为 【答案】ABD 【解析】A.令，得，令，得， 所以，故A正确； B.令，则， 所以， ， ，故B正确； C.是的系数，中的系数为，故C错误； D.展开式中，得到奇数次幂的项的系数都是负数，偶数次幂的项的系数都是正数， 正数项有，其中，, ，，所以展开式中的最大的系数是，故D正确. 故选：ABD 6．（多选）已知的展开式第6项和第8项的二项式系数相等，下列说法正确的有（ ） A. B. 第3项的系数为66 C. 展开式中有理项共有3项 D. 奇数项系数和为 【答案】AC 【解析】因为展开式第6项和第8项的二项式系数相等，可得,所以,A选项正确； 第3项的系数为,B选项错误； 展开式的通项公式为, 当时，展开式中有理项共有3项，C选项正确； 展开式的奇数项系数和设为展开式的偶数项系数和设为, 则令,, 展开式的奇数项系数和为展开式的偶数项系数和为, 则令,, 所以奇数项系数和为,D选项错误. 故选：AC. 7．的展开式中的系数为_______________． 【答案】-120 【解析】后面括号内的通项为， 所以当前面括号内取时，后面括号要取含有的项， 即， 此时系数为； 当前面括号内取时，后面括号要取含有的项， 即， 此时系数为； 所以展开式中 的系数为， 故答案为：-120 8．已知，，则_______________．（用含有的式子表示） 【答案】## 【解析】因为，， 令， 则的展开式中含项的系数为 因为， 所以项的系数为： . 所以. 故答案为： 9．已知在二项式的展开式中，第项为常数项. （1）求； （2）求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和； （3）在的展开式中，求含的项. 【答案】（1）； （2）32； （3）. 【解析】（1）由题意得第项为， 则，解得. （2）所有奇数项的二项式系数之和为. （3）由（1）知， 其中展开式的通项为（且）， 则的展开式中，含的项为， 含的项为， 所以在的展开式中含的项为 10.已知的展开式的各项系数和为256. （1）求展开式中的常数项； （2）设，证明：； （3）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）因为的展开式的各项系数和为256， 所以，解得， 所以， 展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的常数项为； （2）证明：因为 ， 所以； （3）证明：因为由（2）知， 所以 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$