第10讲 一元二次方程90道计算题专项训练（9大题型）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

第10讲 一元二次方程90道计算题专项训练（9大题型） 【经典计算题一 一元二次方程的解】 1．已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，注意一元二次方程（a、b、c是常数）的二次项系数不为零．根据一元二次方程的解得定义把代入一元二次方程，即可求出待定系数a的值，注意：一元二次方程的二次系数不为零． 【详解】解：将代入得， 2．已知方程的一个根是，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 3．若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，整体代入计算得到答案． 【详解】解： ， 是关于的一元二次方程的根， ， ， 则原式． 4．已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值; 把t代入方程，得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵t是方程的根， ∴． ∴． ∴． 5．已知m是一元二次方程的根，求下列各代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，完全平方公式的应用，熟练应用整体代入法是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的定义可得，进而得出，再利用多项式乘多项式计算，将作为整体代入即可； （2）由可得，将变形为，进而通分，再将代入求值即可． 【详解】（1）解： m是一元二次方程的根， ， ， ； （2）解： m是一元二次方程的根， ， ， 6．已知a是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，则，再利用完全平方公式和去括号然后把所求式子化简为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 7．已知为一元二次方程的根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据已知可得，再将代数式因式分解，然后整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵为一元二次方程 的根，    2023． ∴原式 ． 8．已知是方程的一个实数根，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元二次方程的解及代数式求值．将代入方程，变形为，再整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ， ． 9．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ． 10．已知是一元二次方程的解，求的值． 【答案】17 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值问题，根据已知代数式化简所求代数式是解题的关键．根据题意可知，从而得到，，然后代入化简得到，由，故方程两边同时除以得到，代入即可得到答案． 【详解】解：是一元二次方程的解 ， 方程两边同时除以得到，即 的值为17． 【经典计算题二 直接开方法解一元二次方程】 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据题意，将方程化为，再根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解． 【详解】（1）由原方程，得， ∴， ∴，． （2）， ， ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键． 16．（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （2）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （3）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （4）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； 【详解】（1）， 方程两边同时除以9得，， 开平方得，， ∴，； （2），移项得，， 开平方得，， ∴，； （3）， 移项得，， 开平方得，， ∴，； （4）， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；运用等式性质将方程变形为形式是解题的关键． 18．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解； （2）先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解． 【详解】（1）解：两边都除以2得：， 直接开平方得：， ∴，． （2）解：移项得：， 两边都除以得：， 直接开平方得：， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法即可求解． （2）利用直接开方法即可求解． （3）利用直接开方法即可求解． 【详解】（1）解：原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （2）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （3）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟练掌握其方法是解题的关键． 20．（2022九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）移项，直接开平方； （2）移项，直接开平方； （3）直接开平方． 【详解】（1）解：∵， 开方得或， 解得，； （2）解：移项得， 开方得或， 解得，； （3）方程两边直接开方得 或， ∴或． 解得，． 【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟记解一元二次方程的方法是解题的关键． 【经典计算题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 22．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 23．（2024八年级下·安徽·专题练习）观察下列方程及其解的特征： (1)请猜想：方程的解为 ； (2)请猜想：关于的方程 的解为，； (3)下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律． 配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数． 【详解】（1）解：方程整理得：， 其解为，； （2）解：猜想得：其解为，， 故答案为：（或； （3）解：方程二次项系数化为1， 得． 配方得， ，即， 开方得， ， 解得，． 经检验，，都是原方程的解． 24．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：（用配方法） 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把方程变形为，开平方得到，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 开平方得， 解得 25．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 26．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）下面是小东同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的解答． 解：方程两边同除以，得．    第一步 移项、合并同类项，得．    第二步 系数化为1，得．        第三步 任务： (1)①小东的解法从第______步开始出现错误； ②该一元二次方程的正确解为______． (2)用配方法解方程：． 【答案】(1)①一；② (2) 【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法及配方法是解题的关键． （1）①利用等式的性质，即可解答；②利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：①小明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②解： 即或 此题的正确结果是， 故答案为：； （2）解：． 配方，得，即． 两边开平方，得， 即或． ∴． 27．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程的过程如下． 解：．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ∴．⑥ (1)上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误；（填序号） (2)请利用配方法正确的解方程． 【答案】(1)② (2)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：上述过程中，从第②步开始出现了错误， 故答案为：②； （2）解：， 移项，得， ， 配方，得，即， ∴， ∴，． 28．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9 【分析】（1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答； （3）利用配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：D； （2） ， ， ，即有最大值14； （3）， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 29．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【答案】(1)有最大值 (2)，见解析 (3)这个三角形的周长为17 【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，掌灵活运用完全平方式的非负性求最值是解题关键． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合（1）求解即可； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的三边分别为3、7、7，即可求出周长． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （2）∵， ∴． 由（1）可得， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∵a，b是等腰三角形的两边，且， ∴等腰三角形的三边分别为3、7、7， ∴这个等腰三角形的周长为． 30．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）【阅读材料】 利用完全平方公式，可以将多项式（均为常数且）变形为的形式，如．我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：． 【问题解决】 (1)用多项式的配方法将化成的形式是 ，当多项式的值为时，的值为 ． (2)把多项式进行分解因式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据配方法即可将化成的形式，由，解方程即可求出的值； （）利用配方法把原式转化为，再利用平方差公式因式分解即可； 本题考查了配方法，因式分解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 当的值为时， 则， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解： ， ， ． 【经典计算题四 公式法解一元二次方程】 31．（公式法） 【答案】， 【分析】本题考查求根公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握．先定系数，再判断判别式，最后代入求根公式即可得到答案． 【详解】解：， ， ，，， ∴， ∴， ∴，． 32．解方程：（用公式法） 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握求根公式是关键，根据一元二次方程的求根公式求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴． 33．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【详解】解：， ， ， ， ． 34．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴ 解得：． 35．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)方程无解 (3)， (4)， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可； （3）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解： ， ， ∴， 解得，； （2） ， ， 方程无解； （3） ， ， ∴， 解得，； （4） ， ， ∴， 解得，． 36．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)原方程没有实数根 (3)， 【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴原方程没有实数根； （3）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴． ∴， ∴， ． 37．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 38．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，先求出，再由求根公式，即可求解；掌握求根公式“”是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ，． 39．（用公式法）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，根据公式法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键 【详解】解： ∴， ∴， ∴ 40．用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出，再代入公式进行计算，即可得到答案； （2）先算出，再代入公式进行计算，即可得到答案； 本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ∴； 【经典计算题五 因式分解法解一元二次方程】 41．解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法．熟练掌握因式分解法，是解题的关键． 依据二次三项式的因式分解法进行求解． 【详解】∵， ∴， 则或， ∴或． 42．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 43．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； 利用因式分解法解一元二次方程即可求解； 【详解】解：， ， 或， ， 44．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 45．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．根据方程的特点，利用提公因式法分解因式，再求解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 46．解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，将作为整体从方程的右边移项到方程的左边是解题的关键．移项后提取公因式后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可． 【详解】 解：， 移项得：， 整理得：， ，， 解得：，． 47．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 因式分解得， ∴，， 解得，． 48．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 49．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后，将（）看作整体进行因式分解为的形式可得或，即可求解；能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， 或， ，． 50．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 【经典计算题六 换元法解一元二次方程】 51．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关键． （1）设，则可化为； （2）原方程可化为，设，则，解得，可得或（舍去），的值为5； （3）设，则化为，解得，得（无实数根），或，解得． 【详解】（1）解：设， 那么， 于是方程可变为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， ∴或（实数范围内无意义，舍去）， 故的值为5． （3）解：设，则可化为， 解得， ∴， ∴（无实数根）， 或， ∴， 解得． 52．材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的根为； (2)故原方程的根为． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； （2）解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 53．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程： 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴； 当时，即，∴； ∴原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程： 将其变形为； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴原方程有三个根：，， (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，则的值为________． 【答案】(1)①，．②，， (2) 【分析】本题考查了解高次方程化一元二次方程，换元法解一元二次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）①仿照题中所给方法，换元法求解四次方程即可． ②仿照题中所给方法，因式分解法求解三次方程即可． （2）先公式法求解，根据题意对所给代数式进行“降次”，再将代入原式化简，得，再代入即可求解． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为， 解得，， 当时，即， ∴； 当时，即， ∴方程无解； ∴综上可得原方程有两个根：，． ②将变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴原方程有三个根：，，． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ， ， ， 将代入上式可得， 故答案为：． 54．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想； (2)利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】(1)换元，降次，转化； (2) 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． （1）题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想； （2）令，得，用因式分解法解方程求出y的值，再求出的值． 【详解】（1）解：将设为，利用的是换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想， 故答案是：换元，降次，转化； （2）解：令，则， ， 或． 解得：， 当时，，即，解得：， 当时，，即， ， ∴此方程实数根； 综上：方程的解是． 55．阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】；或； 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，先根据题意填空，再设，最后仿照题干过程解方程即可． 【详解】解：设，原方程化为①， ∴， 解得或． 当时，， ∴， ； 当时，， ∴， ； 原方程的解为． 设，则原方程可化为， ∴， ∴或， 当时，，此时方程无解； 当时，， ∴， ． 56．阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解； （1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． （2）设．由已知等式得出，结合可得答案； （3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案． 【详解】（1）解：设最小数为，则， 即：， 设，则， ，， 为正整数， ， ，舍去， 这四个整数为，，，． 故答案为：，，，． （2）设． ， ， ， ， ， ； （3）， ， 设，则， ， 或， ，， 或， ∴． 57．阅读与思考：下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程．都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时．两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】以一元二次方程为例， 设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解，得，， 所以，________，________． 【类比推广】按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． …… 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解________，________； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令得到，再计算出，关于y的方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴；， 故答案为：，； （2）解：设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解得，， 所以，，． 58．阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 59．阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知x、y满足，求的值； (2)已知a、b满足，求的值． 【答案】(1)18 (2)或1 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算-化简求值，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论； （2）设，则原方程可变为，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为， 解得：， ， ， ． （2）解：设， 则原方程可变为， 即， 解得：， 或1， 或1． 60．阅读以下材料：例：解方程． 解：原方程可化为． 设，原方程可化为． 解得：，， 当即， ∴； 当即， ∴无实数解． ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看作一个整体，用字母y代替（即换元）， 使得问题简单、明朗化，解答过程更清晰．这是解决问题中的一种重要方法−−−−−换元法．请参照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可； （2）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 【经典计算题七 根据一元二次方程的解求参数】 61．已知关于x的一元二次方程． (1)已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值； (2)若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值 【答案】(1)，方程的另一个根是 (2) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，利用方程根与判别式的关系得出是解题关键． （1）将代入，进而求出k的值，进而得出方程的解； （2）利用方程根与判别式的关系，得出根的判别式符号直接解方程得出即可． 【详解】（1）解：∵是此方程的一个根， ∴代入方程得：， 解得：， ∴原方程为：， 解得：， ∴方程的另一个根是． （2）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 62．已知关于的方程． (1)此方程有一个根为0时，求的值和此方程的另一个根； (2)此方程有实数根时，求的取值范围． 【答案】(1)，另一个根为 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程及其根的判别式，熟知“一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键． （1）根据此方程有一个根为0，直接把它代入方程即可求出的值，再把的值代入原方程求解，得出此方程的另一个根即可； （2）根据此方程有实数根，则，得到关于的一元一次不等式，求解得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得， ∴， 解得：， ∴把代入原方程，整理得， ， 解得：，， ∴另一个根为； （2）解：∵关于的方程，即有实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 63．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个实数根是，求的值及另一个实数根． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法． 根据一元二次方程的判别式可得，整理可得，根据平方的非负性可知，所以可知无论为何值，方程总有两个实数根； 首先根据方程的一个实数根为可得关于的一元一次方程，解方程求出的值，然后再解一元二次方程求出另一个根． 【详解】（1）证明：， 该方程总有两个实数根； （2）解：将代入， 可得：， 解得：， 方程化为， 分解因式可得：， 解得，， 方程的另一个实数根为． 64．已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)若方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解是解题的关键． （1）将代入一元二次方程即可求； （2）由于根的存在性可得，再结合二次项系数，可求的范围为且，即可求解． 【详解】（1）解：方程的一个根为， 将代入方程，可得， 解得：． （2）解：是一元二次方程， ， 方程有实数根， ， ， 且． 65．已知关于的一元二次方程，若方程有实数根，求满足条件的正整数的值． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根，得到，求出的取值范围，进而确定正整数的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴满足条件的正整数的值为：． 66．关于x的方程 ． (1)若方程有两个实数根，求k的取值范围； (2)求证：无论 k为何值，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式． （1）由题意得到，，求解即可解答； （2）当时，方程可化为一元一次方程，则方程有实数根；当，方程为一元二次方程，根据根的判别式得到，即可得证结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程 有两个实数根， ∴， 且， ∴； （2）证明：当，即时，方程为， ∴，方程有实数根； 当，即时， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴无论 k为何值，方程总有实数根． 67．已知：关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若此方程的解均为整数，请你求出所有符合条件的整数的值，并求出此时方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的解为或． 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了解方程． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用公式法得出，然后试算求解方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴方程总有两个实数根； （2）由（1）得， ∴， ∵此方程的解均为整数， ∴为奇数， 当时，， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，符合题意； ∴，方程的解为或． 68．已知关于x的一元二次方程． (1)当k取何值时，方程有实数根？ (2)在（1）的条件下，若k是满足条件的最小整数，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程因式分解法，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）先求出的值，再求出所得方程的解即可． 【详解】（1）解：因为方程有实数根， 所以， 解得， 所以的取值范围是； （2）解：由（1）知， 满足条件的最小整数的值为1， 则方程为， 解得，， 所以方程的根为，． 69．已知关于的方程． (1)证明：方程总有实数根； (2)为何整数时，此方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键． （1）分两种情况：当时，求出方程的根；当时，求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用因式分解求出方程的两个根，再根据题意求出的值． 【详解】（1）解：关于的方程为， 当时， 原方程为， 解得：， 当时，方程有实数根； 当时， ， ， 当时，方程有实数根； 综上所述，不论为何值，方程总有实数根； （2）， ， 或， ，， 方程有两个不相等的正整数根， ， ． 70．已知关于x的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个实数根是，求的值及此时方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，此时方程的另一个根为 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于即可； （2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根． 【详解】（1）解：关于x的方程为， ， 不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）关于x的方程有一个实数根是， ， 解得：， 原方程为， ， 解得：，， 此时方程的另一个根为． 【经典计算题八 一元二次方程根与系数的关系计算】 71．已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，设所给方程的两个根分别为、，求的值． 【答案】(1)且 (2)14 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的应用； （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可； （2）先把代入方程，再根据根与系数的关系得到，，然后把所求的代数式变形得到，然后利用整体思想进行计算． 【详解】（1）解：因为方程有两个实数根， 根据题意得且， 解得且； （2）解：由题意可知原方程为：， 则，， ． 72．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若满足，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程： （1）根据方程有两个不相等的实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，根据，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：， ∵， ∴． 73．已知关于x的方程． (1)若，试判断该方程根的情况并说明理由； (2)若，、是方程的两个根，且两根之差为1，求的值． 【答案】(1)当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． （1）先计算出根的判别式的值得到，利用根的判别式的意义得到当时，方程有两个不相等的实数解；当时，方程有两个相等的实数解；当时，方程没有实数解，然后分别解不等式和方程即可； （2）设，原方程化为，利用因式分解法据解方程得到，，则，然后把t的值代入中计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即当时，方程有两个不相等的实数根； 当，即当时，方程有两个相等的实数根； 当，即当时，方程没有实数根； （2）解：∵， ∴设，， ∴原方程可化为， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴. 74．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)求，（用含的式子表示）； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，将变形为，代入计算即可，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，把方程变形为，代入得，可得或，再根据根的判别式进行取舍即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 75．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根建立不等式求解，即可解题； （2）根据结合条件建立方程求解，并结合（1）的取值范围判断，即可解题． 【详解】（1）解：有两个不相等的实数根，， ， 即， 整理得， 解得； （2）解：， ， 解得， ， ． 76．一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 【答案】(1)或2 (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再代入，进行解方程，即可作答． （2）先得出，再结合一元二次方程两个根均大于2，则，即可作答． （3）先得出，再因为，解得：， ，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12， ∴， ∴， 解得或2， （2）解：∵一元二次方程， ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程两个根均大于2， ∴且 即 而 且 解得： 综上 （3）解：， 则 解得： 整理得： ∴． 77．已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程两实数根，满足，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】（1）解：∵方程总有两个实数根， ∴，即， ∴； （2）解：由题可得，，， 由，得， ∴， ∴， 解得， ，   检验：，都是原方程的根， ∵， ∴． 78．已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)的取值范围是 (2)的值为 【分析】（）先整理方程得整理得，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】（1）解：由整理得：， ∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：或， ∵， ∴的值为． 79．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 【答案】(1)见解析 (2)８ 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． （1）根据根的判别式先求出“”的值，再判断即可； （2）根据根与系数的关系得出由得求出，从而得出，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， 所以，方程总有实数根； （2）解：由题意得， 又∵， ∴ ∴， ∴ 又， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时， ∴不符合题意； 当时， ∴． 80．已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：方程中， ， 无论取何值，此方程总有两个实数根． （2）解：， ． ， 解得， 当时，方程有两个不相等的实数根，即， 的值为或3． 【经典计算题九 一元二次方程新定义计算】 81．定义表示不超过x的最大整数，如，．若，解方程：． 【答案】 【分析】本题主要查了解一元二次方程．分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，此时原方程为 ， 解得：，不符合题意； 当时，，此时原方程为 ， 解得：，不符合题意； 当时，，此时原方程为 ， 解得：（不符合题意，舍去），． ∴方程的解为． 82．定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，据此解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 83．对于任意实数，，定义一种新运算“△”，规定：，若，求的值． 【答案】的值是或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法：因式分解法，本题是新定义型题目，正确理解新定义并准确使用是解题的关键． 依据新定义得到关于x的方程，解方程可得结论． 【详解】解：由题意， 即， 整理，得， 即， 解得：，. ∴的值是或． 84．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”的意义，理解“倍根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． （1）设方程的两个根为，，由倍根方程的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （2）根据倍根方程的定义即可找出，之间的关系； （3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵方程的一个根为2， 则另一个根为1或4， 当另一个根为1时，则， ∴，即：， 当另一个根为4时，则， ∴，即：； （3）解：设与是方程的解， ，， 消去得：． 85．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，S为“完美数”，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为． 86．十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)k的值为1 (2)①，；②猜想：当时，，证明见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义； （1）根据根与系数的关系即可求出答案． （2）①根据根与系数的关系，可得由根的定义可知，，，根据一元二次方程的解的定义可得，进而求得； ②根据题意，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实根， ∴ 解得：， 由根与系数的关系可知∶， ，即， 整理得：， 解得： (舍去)， ， ∴k的值为1． （2）①由根的定义可知，， 又∵是一元二次方程的两个实数根， ， ②猜想：当时， 证明：因为为方程的根，所以有，等式两边都乘以，得 同理可得： 两式相加可得： 根据题意，，， ∴，且根据题意，因此， 所以当3时，有． 87．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 88．小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________． 任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 【答案】任务：，，；任务：，；任务： 【分析】任务：根据时，或或，即可解决问题； 任务：将方程改写成几个一次因式积的形式，展开后进行对比即可解决问题； 任务：利用上述过程发现的结论即可解决问题； 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握整体思想的运用是解题的关键． 【详解】解：任务：由题意可知，原方程可化为：， ∴或或， ， 故答案为：，，； 任务：由题意可知，原方程可化为：， 展开整理得：， 与原方程比较可得，，； 任务：利用上题结论可知：，， ． 89．定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)写出方程的“对称方程”：____________________． (2)若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 【答案】(1) (2)①0；1；②， 【分析】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：的“对称方程”是； （2）解：由，移项可得：， 由互为“对称方程”的定义可得， ，， 解得：，， 化为， ， ，． 90．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称； (2)若关于的多项式关于对称，则 ； (3)关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为，根据得到当，即时，多项式有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，据此可得答案； （3）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，最小值为，则，解方程求出a、c，进而解方程可得答案； 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：； （2）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值， ∴关于的多项式关于对称， 又∵关于的多项式关于对称， ∴， 故答案为：4； （3）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 一元二次方程90道计算题专项训练（9大题型） 【经典计算题一 一元二次方程的解】 1．已知是一元二次方程的一个根，求的值． 2．已知方程的一个根是，求代数式的值． 3．若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 4．已知t是方程的一个根，求代数式的值． 5．已知m是一元二次方程的根，求下列各代数式的值： (1) (2) 6．已知a是方程的根，求代数式的值． 7．已知为一元二次方程的根，求的值． 8．已知是方程的一个实数根，求的值． 9．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 10．已知是一元二次方程的解，求的值． 【经典计算题二 直接开方法解一元二次方程】 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 16．（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 20．（2022九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【经典计算题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 22．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 23．（2024八年级下·安徽·专题练习）观察下列方程及其解的特征： (1)请猜想：方程的解为 ； (2)请猜想：关于的方程 的解为，； (3)下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 24．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：（用配方法） 25．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 26．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）下面是小东同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的解答． 解：方程两边同除以，得．    第一步 移项、合并同类项，得．    第二步 系数化为1，得．        第三步 任务： (1)①小东的解法从第______步开始出现错误； ②该一元二次方程的正确解为______． (2)用配方法解方程：． 27．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程的过程如下． 解：．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ∴．⑥ (1)上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误；（填序号） (2)请利用配方法正确的解方程． 28．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 29．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 30．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）【阅读材料】 利用完全平方公式，可以将多项式（均为常数且）变形为的形式，如．我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：． 【问题解决】 (1)用多项式的配方法将化成的形式是 ，当多项式的值为时，的值为 ． (2)把多项式进行分解因式． 【经典计算题四 公式法解一元二次方程】 31．（公式法） 32．解方程：（用公式法） 33．用公式法解方程：． 34．用公式法解方程：． 35．用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 36．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 37．用公式法解方程：． 38．用公式法解方程：． 39．（用公式法）解一元二次方程：． 40．用公式法解方程： (1)； (2)． 【经典计算题五 因式分解法解一元二次方程】 41．解方程：． 42．解方程：． 43．解方程：． 44．解方程：． 45．解方程： 46．解方程：． 47．解方程：． 48．解方程：． 49．解方程：． 50．解方程：． 【经典计算题六 换元法解一元二次方程】 51．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 52．材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 53．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程： 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴； 当时，即，∴； ∴原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程： 将其变形为； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴原方程有三个根：，， (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，则的值为________． 54．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想； (2)利用上述材料中的方法解方程：． 55．阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______① 解得______． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想． 请你利用上述材料中的方法解方程：． 56．阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 57．阅读与思考：下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程．都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时．两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】以一元二次方程为例， 设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解，得，， 所以，________，________． 【类比推广】按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． …… 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解________，________； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 58．阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 59．阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知x、y满足，求的值； (2)已知a、b满足，求的值． 60．阅读以下材料：例：解方程． 解：原方程可化为． 设，原方程可化为． 解得：，， 当即， ∴； 当即， ∴无实数解． ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看作一个整体，用字母y代替（即换元）， 使得问题简单、明朗化，解答过程更清晰．这是解决问题中的一种重要方法−−−−−换元法．请参照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【经典计算题七 根据一元二次方程的解求参数】 61．已知关于x的一元二次方程． (1)已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值； (2)若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值 62．已知关于的方程． (1)此方程有一个根为0时，求的值和此方程的另一个根； (2)此方程有实数根时，求的取值范围． 63．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个实数根是，求的值及另一个实数根． 64．已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)若方程有实数根，求的取值范围． 65．已知关于的一元二次方程，若方程有实数根，求满足条件的正整数的值． 66．关于x的方程 ． (1)若方程有两个实数根，求k的取值范围； (2)求证：无论 k为何值，方程总有实数根． 67．已知：关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若此方程的解均为整数，请你求出所有符合条件的整数的值，并求出此时方程的解． 68．已知关于x的一元二次方程． (1)当k取何值时，方程有实数根？ (2)在（1）的条件下，若k是满足条件的最小整数，求方程的根． 69．已知关于的方程． (1)证明：方程总有实数根； (2)为何整数时，此方程有两个不相等的正整数根． 70．已知关于x的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个实数根是，求的值及此时方程的另一个根． 【经典计算题八 一元二次方程根与系数的关系计算】 71．已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，设所给方程的两个根分别为、，求的值． 72．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若满足，求a的值． 73．已知关于x的方程． (1)若，试判断该方程根的情况并说明理由； (2)若，、是方程的两个根，且两根之差为1，求的值． 74．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)求，（用含的式子表示）； (2)已知，求的值． 75．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 76．一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 77．已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程两实数根，满足，求的值． 78．已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 79．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值． 80．已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 【经典计算题九 一元二次方程新定义计算】 81．定义表示不超过x的最大整数，如，．若，解方程：． 82．定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 83．对于任意实数，，定义一种新运算“△”，规定：，若，求的值． 84．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 85．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求的最值． 86．十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 87．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 88．小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________． 任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 89．定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)写出方程的“对称方程”：____________________． (2)若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 90．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称； (2)若关于的多项式关于对称，则 ； (3)关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$