第11讲 一元二次方程【考点卷】（14大核心考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

第11讲 一元二次方程【考点卷】（14大核心考点） 【核心考点一 一元二次方程相关概念】 1．下列方程，①，②，③，④是一元二次方程的是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①④ 2．将一元二次方程化成一般形式之后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1， B．， C．，1 D．3， 3．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ． 4．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 5．当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【核心考点二 一元二次方程的解】 6．已知关于的方程有一个根是，则是（   ） A．1 B． C．3 D． 7．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 9．关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 10．已知为一元二次方程的根，求的值． 【核心考点三 一元二次方程的解法】 11．用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 12．解下列方程： (1)用配方法解方程：；（配方法） (2)（公式法） (3)用适当方法解方程：； (4)． 13．选择适当方法解下列方程： (1) (2) 14．用适当方法解下列方程： (1) (2)； 15．用适当方法解方程： (1)； (2)． 16．用适当方法解下列方程． (1) (2) 17．用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 18．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．用适当方法解方程： (1)； (2) (3)； (4) 20．选用适当方法解下列方程 (1)； (2)． 【核心考点四 配方法的应用】 21．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 22．若一元二次方程（a，b为常数)，化成一般形式为，则a，b的值分别是（   ） A．3，4 B．，4 C．3， D．， 23．若实数a，b，c满足：，则c的最大值为 ． 24．若实数x，y满足，则的值是 ． 25．我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 【核心考点五 换元法解一元二次方程】 26．若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 27．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 28．已知关于x的方程的两根为，则方程的两根分别是 ． 29．已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ． 30．阅读材料，解答问题．材料：为解方程，我们可以将作为一个整体，然后设，则．原方程可化为：，解得：． 当时，，解得：； 当时，，解得：； 所以原方程的解为：． (1)方程：的解为：_______ (2)解方程：；（写出解题过程） 【核心考点六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 31．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 32．方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．两个根分别为一个正根，一个负根 33．若实数满足，则 ． 34．已知x，y满足，则的最大值为 ． 35．已知：关于的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根； 【核心考点七 根据一元二次方程根的情况求参数】 36．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 37．对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 38．若关于的一元二次方程有实数根，则的值为 ． 39．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 40．已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程有一个根为，求方程的另一个根和的值． 【核心考点八 一元二次方程的应用之传播问题】 41．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 42．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？ (2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？ 43．研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病（假设每轮每人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？ (2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 44．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 45．在一次聚会上规定每两人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为4，共握手______次；若参加聚会的人数为（为正整数），共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； (3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出______张照片． 【核心考点九 一元二次方程的应用之与图形有关的问题】 46．某休闲广场准备用长为100米的篱笆修建一个矩形花圃，如图，花圃的一边靠着一面墙，墙的最大可用长度是50米，要使矩形花圃的面积为1200平方米，求矩形花圃边的长． 47．2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米． (1)用含x的代数式表示的长； (2)矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由． 48．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 49．如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米． (1)求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）． (2)若饲养场的面积为平方米，求的值． 50．自今年4月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为_____． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？ 【核心考点十 一元二次方程的应用之营销问题】 51．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． (1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 52．某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤． 结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售． (1)若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为____元； (2)水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 53．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天的销售量是20件，据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件． (1)若该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，求该款童装每件应降价多少元？ (2)在（1）的基础上，在获利不变的情况下，为尽可能减少库存，扩大销售量，该专卖店销售该款童装时应按原售价的几折出售？ 54．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． (1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ (2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 55．超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为多少件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【核心考点十一 一元二次方程的应用之动态几何问题】 56．如图，中，，，．点P从点A开始，沿边向点B以每秒的速度移动，点Q从点B开始，沿着边向点C以每秒的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问： (1)经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为． (2)经过几秒钟后，四边形的面积是？ 57．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动． (1)经过ts，线段的长为__________cm，线段的长为__________cm． (2)如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，的长度等于？ (3)的面积能否等于？请说明理由 58．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 59．已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1） 中，的面积能否等于？请说明理由． 60．如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度/s移动，点从点出发向终点以2个单位长度移动，P，Q两点同时出发，如果其中一个点先到达终点时P，Q两点同时停止，设点P，Q的运动的时间为．当t为何值时，的而积等于4？ 【核心考点十二 一元二次方程的应用之行程问题】 61．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 62．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 63．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 64．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 65．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【核心考点十三 一元二次方程的应用之图表信息题】 66．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    67．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 68．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 69．根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 70．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【核心考点十四 一元二次方程根与系数的关系】 71．已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 72．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，求的值． 73．已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 74．如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知、满足，，求的值； (2)已知、、满足，，求正数的最小值 75．阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一元二次方程【考点卷】（14大核心考点） 【核心考点一 一元二次方程相关概念】 1．下列方程，①，②，③，④是一元二次方程的是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一元二次方程，符合题意， ②含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意， ③不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意， ④时一元二次方程，符合题意； 综上：①④是一元二次方程， 故选：D． 2．将一元二次方程化成一般形式之后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1， B．， C．，1 D．3， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 【详解】解：化为一般式为， ∴一次项系数和常数项分别为1，， 故选：A． 3．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，由定义得即可求解；理解一元二次方程的一般形式为（）及各项是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 4．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据一元二次方程的定义，列出有关m的方程和不等式，继而解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 【核心考点二 一元二次方程的解】 6．已知关于的方程有一个根是，则是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把代入方程即可求得的值． 【详解】把代入得：， 解得：． 故选：D． 7．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：D． 8．已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 9．关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．先根据题意得到，把代入方程得，然后解关于m的一元二次方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴， 即， 把代入方程得， 解得或(舍去)． ∴ 故答案为：2． 10．已知为一元二次方程的根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据已知可得，再将代数式因式分解，然后整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵为一元二次方程 的根，    2023． ∴原式 ． 【核心考点三 一元二次方程的解法】 11．用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； （3）利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解：， ， 化简，得 解得： （2）解：， 解得： （3）解：， 解得： 12．解下列方程： (1)用配方法解方程：；（配方法） (2)（公式法） (3)用适当方法解方程：； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，对于（1），先将二次项系数化为1，再两边都加上一项系数一半的平方，化成，再开方即可； 对于（2），先求出，再用求根公式计算即可； 对于（3），根据平方差公式分解求出解； 对于（4），先展开，再整理，根据公式法求解即可． 【详解】（1）两边除以4，得， 两边加上1，得， 即， 开方，得， ∴； （2）， 整理，得， ∵， ∴， 则， ∴； （3）， 整理，得， 即， 则， ∴； （4）， 整理，得， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．选择适当方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，平方差公式，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）首先利用平方差公式展开并且移项，合并后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ，， 解得，； （2）解： 或 解得，． 14．用适当方法解下列方程： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一无二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键． （1）先移项，再配方，利用开方法来求解； （2）先移项，再提取公因式，化为两个因式的积等于0的形式，进而得到或，再解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：移项得， 配方得， ， 开平方得， ． （2）解：， 移项得 提取公因式得， 或， 15．用适当方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．要根据方程特点，灵活运用十字相乘法 （1）将看作整体，直接开方法解答； （2）用十字相乘法解答； 【详解】（1）解：， ， 解得． （2） 即， 解得． 16．用适当方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法与解法步骤是解本题的关键； （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）把方程化为，可得，再化为两个一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）解： 方程变形得：， 分解因式得：，即， 所以或， 解得：，． 17．用适当方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法解一元二次方程，即可作答． （2）令每个因式等于0，进行计算，即可作答． （3）等号右边提取3，得，再移项，然后提取公因式，令每个因式等于0，进行计算，即可作答． （4）移项合并同类项，得，再运用因式分解，令每个因式等于0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： 则 ∴ （2）解： ∴ （3）解： ∴ （4）解： ∴ ∴ 18．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用适合方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）先化为一般式，再利用公式法解一元二次方程即可； （4）先设，方程变形为，再利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 变形为， 直接开平方，得或， 解得：，； （2）解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， 化简为， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 设， 则方程变形为， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得或， 则或， 则或， 解得：，． 19．用适当方法解方程： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程； （1），先移项，再根据因式分解法求出解即可； （2），根据直接开方法求解； （3），先求出，再用求根公式求解； （4），根据因式分解法求出解． 【详解】（1）解：整理，得， 移项，得， 因式分解，得， 即或， 解得； （2）解：移项，得， 开方，得， 即或， ∴； （3）解：， 由题意知， 则 根据求根公式，得， ∴； （4）解：， 因式分解，得， 即或， ∴． 20．选用适当方法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． （1）将方程右边移项到左边后，运用因式分解法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： 移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，； （2）解： 因式分解，得， ∴或， 解得，． 【核心考点四 配方法的应用】 21．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到、的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 22．若一元二次方程（a，b为常数)，化成一般形式为，则a，b的值分别是（   ） A．3，4 B．，4 C．3， D．， 【答案】B 【分析】本题考查配方法的应用，将利用配方法转化为：，即可得出结论． 【详解】解： ∴， ∴； 故选B． 23．若实数a，b，c满足：，则c的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了利用完全平方式的非负性求最值，正确化简是解题的关键．化简得到，再整体代入，配方出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，且当时等号成立， ∴， ∴， ∴c的最大值为6， 故答案为：6． 24．若实数x，y满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．把方程配成关于的一元二次方程，利用根的判别式求得的值，再代入原方程求得的值，从而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵实数x满足， ∴ ， ∵， ∴， 解得， 把代入原方程，得， ∴， ∴， 故答案为：． 25．我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系． （1）根据非负数的性质解答； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ， ，． ． 【核心考点五 换元法解一元二次方程】 26．若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 把化为： 再结合题意可得，从而可得方程的解． 【详解】解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为． 故选D． 27．若实数满足方程，那么的值为（） A． B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，熟记解题步骤是解题的关键．设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无实数根； 故选：B． 28．已知关于x的方程的两根为，则方程的两根分别是 ． 【答案】0或1 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握运用换元法解一元二次方程成为解题的关键． 设可得，再根据方程的解的定义可得，最后确定方程的两根即可． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵关于x的方程的两根为， ∴关于t的方程的两根为， ∵， ∴， ∴程的两根分别是0或1． 故答案为：0或1． 29．已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ． 【答案】或， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据已知方程的解得出或，求出即可，能根据已知方程的解得出或是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的两根分别为，， 方程中或， 解得：或， 方程的两根分别为或， 故答案为：或． 30．阅读材料，解答问题．材料：为解方程，我们可以将作为一个整体，然后设，则．原方程可化为：，解得：． 当时，，解得：； 当时，，解得：； 所以原方程的解为：． (1)方程：的解为：_______ (2)解方程：；（写出解题过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）设，则原方程可以化为，再仿照题意解方程即可； （2）设，则原方程可以化为，再仿照题意解方程即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴原方程可以化为， ∴， 解得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为：； （2）解：设，则， ∴原方程可以化为， ∴， 解得， 当时，，解得； 当时，，此时方程无解； 综上所述，原方程的解为． 【核心考点六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 31．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不等的实数根． 故选：B． 32．方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两个相等的实数根 C．两个不相等的实数根 D．两个根分别为一个正根，一个负根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，根据求出判别式的值，然后根据判别式的值判断即可． 【详解】解：方程，整理为：， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：B． 33．若实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式．运用整体的思想是解题的关键．设，则方程可变为：，求出，，然后求解作答即可． 【详解】解：设，则方程可变为： ， 解得：，， 当，则， 整理得：， ， 此方程无实数根； 当，则 ， ， 此方程有不相等的两个实数根． ． 故答案为：． 34．已知x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．令，得到关于的一元二次方程，再根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：令， 则代入， 得， ， ， 解得， ， 则的最大值为，则的最大值为． 故答案为：． 35．已知：关于的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根； 【答案】见详解 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明判别式的在大于等于0即可． 【详解】证明： ， 该方程总有两个实数根． 【核心考点七 根据一元二次方程根的情况求参数】 36．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴且， 故选C． 37．对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且，故C正确． 故选：C． 38．若关于的一元二次方程有实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式，非负数的性质，根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 39．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 40．已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程有一个根为，求方程的另一个根和的值． 【答案】(1)且 (2)，方程的另一根是 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解本题的关键． （1）根据题意可得根的判别式和一元二次方程的定义，列出不等式组求解即可； （2）把代入到关于的一元二次方程求出值，解出一元二次方程的解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ， 且， 故答案为：的取值范围是且； （2）解：把代入到关于的一元二次方程中， 得， ， ， ， 故方程的另一根是． 【核心考点八 一元二次方程的应用之传播问题】 41．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【答案】(1)8个人 (2)会，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据题意得， ， 解得：（不符合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：（人）， ∵， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 42．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)问每轮传染中平均个人传染了几个人？ (2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均个人传染了个人 (2)第三轮传染后共有人患流感 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解答时根据两轮传染后共有121人建立方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，一轮后就有人传染，第二轮就应该传染人，将两轮的总人数加起来建立方程求解即可． （2）根据（1）中求出一个人传染到第三轮时，共患流感人数，再翻倍即为两个人患流感到第三轮时，共患流感人． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每人传染了人， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． （2）解：有一个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 当两个人传染到第三轮时，共患流感人数为：（人）， 答：第三轮传染后共有人患流感． 43．研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病（假设每轮每人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？ (2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【答案】(1)11个 (2)1728人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人． 依题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均每个人传染了11个人． （2）解：（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1728人患病． 44．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有个人患有这种疾病． (1)设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_______个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______个人患病．（用含x的式子表示） (2)求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人即可求解； （2）根据题意可列方程求解． 【详解】（1）解：∵这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴一个人可致使x个人患这种疾病， ∴第一轮后共有个人患病， 同理：第二轮后共有个人患病， 故答案为：，； （2）解：列方程， 解方程，得（不合题意，舍去）， 故的值为． 45．在一次聚会上规定每两人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为4，共握手______次；若参加聚会的人数为（为正整数），共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； (3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出______张照片． 【答案】(1)6， (2)10人 (3) 【分析】本题考查了一元二次次方程的应用，解题的关键是： （1）根据握手次数参会人数（参会人数，即可求出结论，论结合参会人数为，即可得出结论； （2）由（1）的结论结合共握手45次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）由每两个人之间互送一张照片可得出每个同学需送出张照片，再乘人数即可求出结论． 【详解】（1）解：参加聚会的人数为4，则共握手（次）； 参加聚会的人数为为正整数），则共握手次． 故答案为：6，； （2）设有人参加聚会，根据题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人； （3）根据题意得（张）． 答：共送出张照片， 故答案为：． 【核心考点九 一元二次方程的应用之与图形有关的问题】 46．某休闲广场准备用长为100米的篱笆修建一个矩形花圃，如图，花圃的一边靠着一面墙，墙的最大可用长度是50米，要使矩形花圃的面积为1200平方米，求矩形花圃边的长． 【答案】 【分析】设米，根据题意，得米，根据面积公式列出方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，因式分解方法解方程，转化思想，熟练掌握解方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：设米，则米， 根据题意，得， ∴， ∴， 解得， ∵墙的长度不超过， ∴ ∴， ∴舍去， ∴， ∴的长为， 答：矩形花圃边的长为40米． 47．2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米． (1)用含x的代数式表示的长； (2)矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键． （1）利用BC边长可建围墙的总长边长，可用含的代数式表示的长； （2）根据矩形安置房总占地面积能为288平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合墙长为米，即可确定结论． 【详解】（1）解：∵可建围墙的总长为米，且边长为米， ∴边长为：米； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意． 答：矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米． 48．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 49．如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米． (1)求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）． (2)若饲养场的面积为平方米，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、一元一次不等组的求解，根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解合理取舍是解题的关键． （1）由得，即可得出答案； （2）根据矩形的面积等于长宽建立方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：由图可知，, 长米， 米， ， ，且， ． （2）解：饲养场的面积为平方米， 则， 即， 解得， ， 舍去， ． 50．自今年4月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为_____． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？ 【答案】(1) (2)长为，宽为或长为或宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为，可得平行于墙的边长为，整理即可； （2）根据矩形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵售卖区垂直于墙的边的长为， ∴边的长为． （2）解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 当时，；当时，． 答：售卖区的长为，宽为或长为，宽为． 【核心考点十 一元二次方程的应用之营销问题】 51．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． (1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)每千克水果应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题和营销问题），根据题中的等量关系正确列出方程并求解是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为m，则两次降价后为，然后列方程求解即可； （2）设每千克涨价x元， 根据“每千克盈利每日销量每日盈利”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为m， 根据题意，可得： ， 解得：，（不合题意，故舍去）， 每次下降的百分率为； （2）解：设每千克涨价x元， 由题意可得： ， 整理，得：， 解得：，， ∵， ∴， 答：每千克应涨价5元． 52．某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤． 结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售． (1)若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为____元； (2)水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元，理由见详解 【分析】本题主要考查一元二次方程与销售利润问题的综合运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法，正确列式求解是解题的关键． （1）每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤，降价后每公斤的利润为（元），降价后的销售量为（公斤），由此即可求解； （2）设降价元，则销售量为公斤，得到一元二次方程，因式分解解一元二次方程，结合尽快减少库存，即可求解． 【详解】（1）解：∵售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤， ∴每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤， ∴降价后的销售价格为（元），降价后每公斤的利润为（元），降价后的销售量为：（公斤）， ∴每天的销售利润为：（元）， 故答案为：； （2）解：能达到800元，理由如下， 设降价元，则销售量为公斤， ∴，整理得，， ∴， 解得，， 当降价2元时，销售量为（公斤），当降价4元时，销售量为（公斤）， ∵减少库存，， ∴降价4元，此时的销售单价为（元）， ∴葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元 53．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天的销售量是20件，据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件． (1)若该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，求该款童装每件应降价多少元？ (2)在（1）的基础上，在获利不变的情况下，为尽可能减少库存，扩大销售量，该专卖店销售该款童装时应按原售价的几折出售？ 【答案】(1)该款童装每件应降价6元或24元 (2)该专卖店销售该款童装时应按原售价的八折出售 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该款童装每件应降价x元，则每天可销售件，每件盈利元，根据该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，列出方程，解方程即可； （2）根据要尽可能减少库存，扩大销售量，得出该款童装每件应降价24元，求出售价，然后列式算出答案即可． 【详解】（1）解：设该款童装每件应降价x元，则每天可销售件，每件盈利元， 根据题意可得：， 解得：，， 答：该款童装每件应降价6元或24元； （2）解：由（1）可知，该款童装每件可降价6元或24元， 因为要尽可能减少库存，扩大销售量，所以该款童装每件应降价24元， 此时，售价为：（元），． 答：该专卖店销售该款童装时应按原售价的八折出售． 54．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． (1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ (2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】(1)30个，1050元 (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键． （1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程，解方程，再进行取舍即可． 【详解】（1）解：（个）； （元）． 答：平均每天可以售出30个模型，此时每天获利1050元； （2）设每个模型应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又每个模型盈利不超过25元， ． 答：每个模型应降价20元． 55．超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为多少件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】(1)平均每天销售数量为件． (2)当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可求出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，利用总利润=每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在让顾客得到更大实惠的前提下，即可得出每件商品应降价元． 【详解】（1）解∶根据题意得∶(件)， 答∶平均每天销售数量为件． （2）解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，依题意得∶ ， 整理得∶， 即 解得∶，， 要让顾客得到更大实惠， ． 答∶当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 【核心考点十一 一元二次方程的应用之动态几何问题】 56．如图，中，，，．点P从点A开始，沿边向点B以每秒的速度移动，点Q从点B开始，沿着边向点C以每秒的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问： (1)经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为． (2)经过几秒钟后，四边形的面积是？ 【答案】(1)2秒或秒 (2)3秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理， 对于（1），设经过x秒钟后，P、Q两点间的距离为，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； 对于（2），设经过t秒钟后，四边形的面积是，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设经过x秒钟后，P、Q两点间的距离为， 由题意，得，则， 由勾股定理得： ， 解得：或， 答：经过2秒钟或秒钟后，P、Q两点间的距离为； （2）设经过t秒钟后，四边形的面积是， 由题意，得，则， 由题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴， 答：经过3秒钟后，四边形的面积是. 57．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动． (1)经过ts，线段的长为__________cm，线段的长为__________cm． (2)如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，的长度等于？ (3)的面积能否等于？请说明理由 【答案】(1) (2)3 (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解一元二次方程，对于（1），根据速度乘以时间得出，进而表示； 对于（2），根据勾股定理列出方程，求出解即可； 对于（3），根据面积公式方程，求解即可判断． 【详解】（1）根据题意可知，则． 故答案为：； （2）由（1）知，，根据勾股定理，得 ， 即， 解得或（舍去）， 所以同时出发3秒后，的长度等于； （3）不能，理由如下： ， ， ∵ ∴该方程无解． 所以的面积不能等于7． 58．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 【答案】或时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为，则，， 依题意，得． 整理，得， 解得，， 或时，的面积是． 59．已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1） 中，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】(1)2秒或者3秒后的面积等于 (2)不能等于，理由见详解 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积等于”得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 则， 整理得：， 解得：， 答：2秒或者3秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， 所以此方程无解， 故的面积不能等于． 60．如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度/s移动，点从点出发向终点以2个单位长度移动，P，Q两点同时出发，如果其中一个点先到达终点时P，Q两点同时停止，设点P，Q的运动的时间为．当t为何值时，的而积等于4？ 【答案】秒，的而积等于4． 【分析】设秒后，的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设秒后，的面积等于4， 由题意得：，，则， ， ， 整理得：， 解得：， ∵其中一个点先到达终点时P，Q两点同时停止，且， ∴不合题意，舍去， 即1秒后，的面积等于4． 【核心考点十二 一元二次方程的应用之行程问题】 61．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 62．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 63．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 64．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 65．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 【核心考点十三 一元二次方程的应用之图表信息题】 66．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 67．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 68．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 69．根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人． 【分析】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设参加这次旅游的员工有x人， ∵30×80=2400<2800，∴x>30． 根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70． 当x=40时，80-（x-30）=70>55， 当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去． 答：A公司参加这次旅游的员工有40人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 70．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 【核心考点十四 一元二次方程根与系数的关系】 71．已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，由列不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，结合已知求得b值，再将b值代入方程中求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为a，b， ∴，又， ∴，解得， 将代入中，得， 解得． 72．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为方程有两个不相等的实数根，所以，进行计算，即可作答． （2）方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，设一个实数根为，则另一个实数根是，运用根与系数的关系列式，，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的一个实数根是另一个实数根的2倍， ∴一个实数根为，则另一个实数根是， 则，， 解得， ∴， 解得． 73．已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴方程总有实数根； （2）解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 74．如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知、满足，，求的值； (2)已知、、满足，，求正数的最小值 【答案】(1)或2 (2)4 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系、解不等式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意可得a，b是的解，根据一元二次方程根与系数的关系可得当时，，；时，分别代入求值即可； （2）由，，即a、b是方程的解，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足，， ∴a，b是的解， 当时，，， ∴， 当时，． 综上，的值为或2． （2）解：∵，， ∴，， ∴a、b是方程的解， ∴，即， ∵c是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数c的最小值是4． 75．阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 【答案】(1) (2)，；关系为：，，证明见解析 (3)， 【分析】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“密友方程”的定义写出对应的“密友方程”即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“密友方程”的根得出规律，即可求解； （3）根据题意可得的两根，进而得到，进而求解； 【详解】（1）解：一元二次方程， ，，， 其“密友方程”是； （2）解：该一元一次方程的“密友方程”是； 解得：，； 关系为：， 或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数． 证明：的两根为、， 设，则，整理的 ，即方程两根为、 原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数． 即，； 故答案为：，；， （3）解：已知关于的方程的两根是，， 的两根为， 方程即为，两根设为、 ， ，． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$