第02讲 等差数列的概念（3大知识点+8大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修二）

第02讲 等差数列的概念 目录 题型归纳 1 题型01 利用定义求等差数列通项公式 2 题型02 等差数列通项公式的基本量计算 3 题型03 由递推关系证明数列是等差数列 3 题型04 求等差中项、等差中项的应用 4 题型05 利用等差数列的性质计算 4 题型06 等差数列的应用 4 题型07 等差数列的单调性 5 题型08 利用等差数列通项公式求数列中的项 6 分层练习 6 夯实基础 6 能力提升 9 知识点01等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 知识点02等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 知识点03等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 题型01利用定义求等差数列通项公式 【例1】（22-23高二上·浙江台州·期末）已知数列中，，且是等差数列，则（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 【变式1】（22-23高二上·山西朔州·期末）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【变式2】（21-22高二上·江苏南通·期中）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·山东青岛·期中）设是数列的前项和，，，则 . 题型02 等差数列通项公式的基本量计算 【例2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．16 D．19 【变式1】（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）在如图所示的方格表中选个方格，若要求每行和每列都恰有个方格被选中，则被选方格的个数之和的最大值为 . 题型03 由递推关系证明数列是等差数列 【例3】（23-24高二上·湖南·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（23-24高二上·福建·期中）符合表示不超过实数的最大整数，如，，已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．22 B．19 C．18 D．16 【变式2】（23-24高二上·上海静安·期中）已知数列满足，（，），则 ． 【变式3】（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知，，则 . 题型04 求等差中项、等差中项的应用 【例4】（22-23高二上·重庆·期末）在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【变式2】（23-24高二上·甘肃兰州·期中）已知三个数19，，31是等差数列，则 . 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）已知2，a，成等差数列，则a的值为 ． 题型05 利用等差数列的性质计算 【例5】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式2】（23-24高二上·上海虹口·期末）等差数列中，，则 . 【变式3】（23-24高二上·西藏拉萨·期末）在等差数列中，，则 . 题型06 等差数列的应用 【例6】（24-25高二上·河南·期中）设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（20-21高二上·贵州毕节·期中）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（    ） A．4 B．8.5 C．12.5 D．15.5 【变式2】（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则的值为 ． 【变式3】（24-25高二上·全国·期末）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 题型07 等差数列的单调性 【例7】（20-21高二上·北京·期末）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 【变式2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（21-22高二上·浙江温州·期末）写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式 ，①；②单调递增． 题型08 利用等差数列通项公式求数列中的项 【例8】（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】（24-25高二上·福建龙岩·期中）罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 【变式2】（22-23高二上·上海·期中）在等差数列中，，公差，则 ． 【变式3】（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）一个等差数列的第3项是9，第9项是3，求它的第12项． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知在等差数列中，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24高二上·福建莆田·期中）在等差数列中，，，则（    ） A．39 B．76 C．78 D．117 3．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列中，若，，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．是等差数列 C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）数列满足，，则 ． 8．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 四、解答题 9．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知数列满足，（），令. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 10．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 11．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若（为非零常数），且数列也是等差数列，求的值． 12．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 2．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·贵州安顺·期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记，，…，的长度构成的数列为，则（    ） A． B．1 C．10 D．100 4．（22-23高二下·安徽合肥·期末）定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列．已知数列为2，5，11，21，36，，且它的二阶差数列是等差数列，则（    ） A．45 B．85 C．121 D．166 二、多选题 5．（23-24高二上·广东河源·期末）已知数列是等差数列，都是正整数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．不可能是等比数列 C．不是等差数列 D．若，则 6．（22-23高二上·江苏南通·期中）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知该卫生纸的厚度为0.1mm，为了求出满盘时卫生纸的总长度，下列做法正确的是（    ） A．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.0，21.1，…，59.9 B．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.05，20.15，…，59.95 C．同心圆由内向外各圈周长组成一个首项为，公差为的等差数列 D．设卷筒的高度为，由等式可以求出卫生纸的总长 三、填空题 7．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列满足，则 . 8．（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且.设，则数列的前n项和 . 四、解答题 9．（24-25高二上·湖南永州·期中）若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和2的调和中项； (2)已知调和数列，，，求数列的前项和. 10．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 11．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前2n项和． 12．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知数列满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 13．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等差数列的概念 目录 题型归纳 1 题型01 利用定义求等差数列通项公式 2 题型02 等差数列通项公式的基本量计算 4 题型03 由递推关系证明数列是等差数列 7 题型04 求等差中项、等差中项的应用 9 题型05 利用等差数列的性质计算 11 题型06 等差数列的应用 12 题型07 等差数列的单调性 14 题型08 利用等差数列通项公式求数列中的项 17 分层练习 19 夯实基础 19 能力提升 27 知识点01等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 知识点02等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 知识点03等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 题型01利用定义求等差数列通项公式 【例1】（22-23高二上·浙江台州·期末）已知数列中，，且是等差数列，则（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、累加法求数列通项 【分析】根据等差数列的定义写出的通项公式，再利用累加法求. 【详解】因为，所以， 又是等差数列，故首项为3，公差为2， 所以， 所以． 故选：A. 【变式1】（22-23高二上·山西朔州·期末）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【答案】B 【知识点】观察法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、判断或写出数列中的项 【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可. 【详解】数列，即数列， 由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列， 所以通项公式， 令，解得. 故选：B. 【变式2】（21-22高二上·江苏南通·期中）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】构造法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，代入即可. 【详解】由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列，， ，. 故选：A. 【变式3】（23-24高二上·山东青岛·期中）设是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】当时，求出的值，当时，由代入等式，可推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，再由可求得数列的通项公式. 【详解】对任意的，，则， 当时，则有，可得； 当时，， 即， 所以，数列是等差数列，首项为，公差为， 所以，，则， 故当时，， 也满足， 故对任意的，. 故答案为：. 题型02 等差数列通项公式的基本量计算 【例2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．16 D．19 【答案】B 【知识点】判断等差数列、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据条件得出数列是以，的等差数列，即可求出结果. 【详解】由，得到，又， 所以数列是以，的等差数列，得到， 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】求出等差数列的公差，即可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 故. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由得，根据枚举法列出所有的情况，即可求解. 【详解】由，得. 设等差数列的公差为，由题意知①， 当时，由①，得或2，此时或； 当时，由①，得，此时； 当时，由①，得或1，此时或. 所以满足题意的等差数列共有5个. 故选：D 【变式3】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）在如图所示的方格表中选个方格，若要求每行和每列都恰有个方格被选中，则被选方格的个数之和的最大值为 . 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由题意对每一列分别减去十位，便于比较大小，可得答案. 【详解】将方格表中的第列、第列、第列、第列、第列的 各数分别减去，，，，，得到的表格如下： 由表格可知第行、第行应选的数字为，则第行应选的数字为第列的， 第行应选的数字为，第行应选的数字为， 从而可得被选方格的个数之和的最大值为. 故答案为：. 题型03 由递推关系证明数列是等差数列 【例3】（23-24高二上·湖南·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、由递推关系式求通项公式 【分析】通过取倒数的方法，证得数列是等差数列，求得，进而求出，解决问题即可. 【详解】由，，取倒数得：， 则是以为首项，为公差的等差数列． 所以，所以； 由于，故． 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·福建·期中）符合表示不超过实数的最大整数，如，，已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．22 B．19 C．18 D．16 【答案】C 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，求出，，利用放缩法得到时，，，从而得到，得到答案. 【详解】， 当时，，其中，解得，故， 当时，，得， 整理为， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则， ，， 当时，， ， 又， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（23-24高二上·上海静安·期中）已知数列满足，（，），则 ． 【答案】 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由题意得到为等差数列，公差为1，从而求出通项公式. 【详解】因为（，），故为等差数列，公差为1， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知，，则 . 【答案】/0.1 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】把递推公式变形并判断数列是等差数列，然后求出通项即可求得 【详解】由，得， 又，则， 所以数列首项为1，公差为1的等差数列，所以， 又可得，又，所以，得， 所以， 故答案为： 题型04 求等差中项、等差中项的应用 【例4】（22-23高二上·重庆·期末）在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求等差中项 【分析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得的值. 【详解】由韦达定理和等差中项的性质可得， 因此，. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】B 【知识点】等差中项的应用 【分析】由等差中项的性质计算即可； 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·甘肃兰州·期中）已知三个数19，，31是等差数列，则 . 【答案】5 【知识点】求等差中项 【分析】由已知结合等差中项公式即可求解. 【详解】因为三个数19，，31成等差数列， 所以. 故答案为：5 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）已知2，a，成等差数列，则a的值为 ． 【答案】3 【知识点】等差中项的应用 【分析】用等差中项的性质求出即可. 【详解】因为2，a，成等差数列， 所以， 故答案为：3 题型05 利用等差数列的性质计算 【例5】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，解得， 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列下标和的性质求得，进而可得目标式的值. 【详解】由已知，，则， 所以. 故选：D 【变式2】（23-24高二上·上海虹口·期末）等差数列中，，则 . 【答案】37 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质直接得出结果. 【详解】因为数列为等差数列，， 所以. 故答案为：37 【变式3】（23-24高二上·西藏拉萨·期末）在等差数列中，，则 . 【答案】40 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质，有，然后求解即可. 【详解】由题意有，得. 故答案为：. 题型06 等差数列的应用 【例6】（24-25高二上·河南·期中）设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、等差数列的应用 【分析】由已知结合等差数列的性质检验充分必要性即可判断． 【详解】若p成立，即成立时，数列不一定为等差数列， 例如，即充分性不成立， 当为等差数列，则由等差数列的性质可知p成立，即必要性成立， 所以p是q的必要不充分条件． 故选：C． 【变式1】（20-21高二上·贵州毕节·期中）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（    ） A．4 B．8.5 C．12.5 D．15.5 【答案】D 【知识点】等差数列的应用 【解析】记该等差数列为，设其公差为，根据题中条件，列出等式求解，即可得出结果. 【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列， 记该等差数列为，设其公差为， 因为冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺， 所以，即，即，则， 所以，因此， 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】等差数列的应用 【分析】根据等差数列下标和性质运算求解. 【详解】由题意可得：，则， 所以. 故答案为：3. 【变式3】（24-25高二上·全国·期末）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【答案】167 【知识点】等差数列的应用 【分析】根据题意可得是首项为0，公差为12的等差数列，根据，解不等式即可. 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故答案为：167 题型07 等差数列的单调性 【例7】（20-21高二上·北京·期末）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件、等差数列的单调性 【分析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，即，此时，数列为单调递增数列， 即“”“数列为单调递增数列”； 若等差数列为单调递增数列，则， 即“”“数列为单调递增数列”. 因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 【答案】A 【知识点】等差数列的单调性、探求命题为真的充要条件、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用等差数列的通项公式结合函数的图像和性质判断即可. 【详解】由等差数列的通项公式，不妨设. ①“对任意正整数，都有成立”即，那么“为严格递减数列”，故是充分条件；当“为严格递减数列”时，首项不一定为负，所以不是必要条件，①正确； ②由一次函数的图像和性质可得，当单调递增时，存在，当时，总有的充要条件，当时结论仍成立，故“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件，②正确 故选：A 【变式2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】等差数列的单调性、充要条件的证明 【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C 【变式3】（21-22高二上·浙江温州·期末）写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式 ，①；②单调递增． 【答案】n.（答案不唯一） 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的单调性、数列新定义 【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案. 【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，由性质①可得： ，再根据②可知，显然满足题意. 故答案为：n.（答案不唯一） 题型08 利用等差数列通项公式求数列中的项 【例8】（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】首先由等差数列的通项公式求出公差d，则可求. 【详解】设等差数列的公差为d， 则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·福建龙岩·期中）罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 【答案】C 【知识点】等差数列的简单应用、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】利用等差数列的性质求第七层的底面直径即可. 【详解】由题意，从第一层到顶层的底面直径构成首项为8，公差为的等差数列， 所以米. 故选：C 【变式2】（22-23高二上·上海·期中）在等差数列中，，公差，则 ． 【答案】15 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】利用等差数列的通项公式直接求解． 【详解】在等差数列中，，公差， ． 故答案为：15． 【变式3】（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）一个等差数列的第3项是9，第9项是3，求它的第12项． 【答案】0 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】利用等差数列的通项公式列方程组求解即可. 【详解】设该等差数列为，公差为， 则，解得， 所以. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知在等差数列中，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，以及等差中项公式，即可求解. 【详解】由等差数列中，因为，可得，所以， 又由，且，可得. 故选：C. 2．（23-24高二上·福建莆田·期中）在等差数列中，，，则（    ） A．39 B．76 C．78 D．117 【答案】C 【分析】根据等差数列通项的性质转化求解即可. 【详解】在等差数列中，，， 则. 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列中，若，，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列的公差即可计算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，，得， 所以. 故选：C 4．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【详解】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意可利用公式法求出数列的通项公式，从而可求解 【详解】由题知数列为等差数列， 所以可知得，解得， 所以，故A、D正确. 故选：AD. 6．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．是等差数列 C． D． 【答案】BD 【分析】通过观察数列各项可得选项A错误；根据数列通项公式计算，结果为关于的一次函数形式可得选项B正确；利用，代入数据可得选项C错误；利用分组求和可得选项D正确. 【详解】A.根据数列各项可得，选项A错误. B. ∵， ∴是以为首项，为公差的等差数列，选项B正确. C. ，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：BD. 三、填空题 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】首先根据递推公式变形得到，再根据等差数列的定义求数列的通项公式，变形后求的值. 【详解】由题意，易知， 由，两边取倒数得，即， 所以数列是首项，公差为2的等差数列， 所以，即， 则. 故答案为：. 8．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 【答案】116 【分析】为首项为2，公差为6的等差数列，利用等差数列求通项公式求出答案. 【详解】与的所有公共项由小到大构成一个新的数列为， 故为首项为2，公差为6的等差数列， 所以， 所以. 故答案为：116 四、解答题 9．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知数列满足，（），令. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）采用迭代法，可求，; （2）将转化为，即可证明数列是等差数列，算出数列的通项公式后即可计算数列的通项公式. 【详解】（1）因为，且， 当时，， 当时，. （2）因为， 所以， 两边同时取倒数有：， 令，有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 10．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意得，然后利用等差数列的定义判断即可； （2）由（1）结合已知可得数列的首项为，公差为，从而可求出数列的通项公式. 【详解】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2）因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 11．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若（为非零常数），且数列也是等差数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出通项公式和前n项和，根据关系列出方程，即可得到通项公式. （2）写出等差数列的前n项和，进而得到等差数列的通项公式，利用等差数列的性质列出关系式，解方程，得到的值. 【详解】（1）由题意, ， 在等差数列中， ， ， 设，， ，解得： ∴ 即： （2）由题意及（1）得，， 在等差数列中， ， ， ， 在等差数列中，为非零常数 ， ∴，解得： 12．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得，即可得，的所有可能取值，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，. 故选：. 2．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而，结合裂项相消法求和即可. 【详解】由，得，即， 又，所以， 则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以 . 故选：A 3．（23-24高二上·贵州安顺·期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记，，…，的长度构成的数列为，则（    ） A． B．1 C．10 D．100 【答案】C 【分析】首先由题意得到递推关系式，再求解数列的通项公式，即可求解. 【详解】，即, 因为，，…，的长度构成的数列为，则 则数列是公差为1的等差数列，首项， 所以，即， 所以. 故选：C 4．（22-23高二下·安徽合肥·期末）定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列．已知数列为2，5，11，21，36，，且它的二阶差数列是等差数列，则（    ） A．45 B．85 C．121 D．166 【答案】C 【分析】利用二阶差数列是等差数列，由此将原数列一一列举即可. 【详解】该数列的一阶差数列为3，6，10，15，，则二阶差数列为3，4，5，， 因为二阶差数列是等差数列，故二阶差数列后面的项为6，7，8，， 所以一阶差数列后面的项为21，28，36，， 从而原数列后面的项为57，85，121，，故． 故选：C 二、多选题 5．（23-24高二上·广东河源·期末）已知数列是等差数列，都是正整数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．不可能是等比数列 C．不是等差数列 D．若，则 【答案】AD 【分析】 利用等差数列下标和性质可判断AD正确，当时数列可能是等比数列，可判断B错误；由等差数列定义可证明是公差为的等差数列，即C错误. 【详解】 由等差数列下标和性质，以及都是正整数， 若，则都是正整数，且满足，所以，即A正确； 当数列是非零的常数列时，例如满足是等差数列，也是等比数列，即B错误； 不妨设数列的公差为，易知为定值， 所以是公差为的等差数列，即C错误； 由可得，可得，即D正确； 故选：AD 6．（22-23高二上·江苏南通·期中）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知该卫生纸的厚度为0.1mm，为了求出满盘时卫生纸的总长度，下列做法正确的是（    ） A．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.0，21.1，…，59.9 B．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.05，20.15，…，59.95 C．同心圆由内向外各圈周长组成一个首项为，公差为的等差数列 D．设卷筒的高度为，由等式可以求出卫生纸的总长 【答案】BCD 【分析】把绕在盘上的纸近似地看作是一组同心圆，从内到外，半径依次组成等差数列，分别计算出各圆的周长，再由体积求总长即可． 【详解】卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，取半径时从每层纸的中间开始算，则由内向外各圈的半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，A选项错误，B选项正确； 这个等差数列首项，公差，由，得，解得； 设各圈周长的，则，，， 所以各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为400的等差数列，C选项正确； 利用体积相等，可得，D选项正确． 故选：BCD 三、填空题 7．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】根据题意可知：是首项为，公差为的等差数列，进而可求的通项公式，即可得结果. 【详解】因为，则，即. 且，可知是首项为，公差为的等差数列， 则，即， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且.设，则数列的前n项和 . 【答案】 【分析】根据题意，由等差数列的定义得到数列为以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式进而得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】解：根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. 所以， 所以数列的前项和为：. 四、解答题 9．（24-25高二上·湖南永州·期中）若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和2的调和中项； (2)已知调和数列，，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列新定义和等差中项计算即可； （2）先由数列新定义求出公差，再由基本量法求出通项，然后裂项相消求出即可； 【详解】（1）设和2的调和中项为，依题意得：4、、成等差数列， 所以，解得： 故和2的调和中项为； （2）依题意，是等差数列，设其公差为， 则， 所以， 故.则， ， . 10．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 【答案】(1) (2)或,证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求出和，从而得到的通项公式. （2）求出后代入表达式，再根据，，成等差数列求出，最后通过计算是否为常数来证明为等差数列. 【详解】（1）已知，根据等差数列通项公式可得. 又因为，根据等差数列前项和公式， 可得，即. 联立方程组，可得，即. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. （2）由，， 可得. 所以. 因为，，成等差数列，则. . . . 故：.解得或； 当时，. ，为常数； 当时，，为常数； 所以或，为等差数列. 11．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，代入等差数列通项公式即可求解； （2）由，代入求和即可. 【详解】（1）由已知，得，解得，故 （2）由（1）得， 所以， 得． 12．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知数列满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 【答案】(1)证明见解析 (2)24 【分析】（1）根据等差数列的定义结合已知的递推式可证得结论； （2）由（1）可求得，则可得，然后利用裂项相消法可求得，进而解不等式可求得结果. 【详解】（1）证明：因为， 所以 ， 因为，所以数列是以2为公差，1为首项的为等差数列； （2）解：由（1）得， 所以 所以， 所以 由，得， 因为，所以满足条件的最大整数为24. 13．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 【答案】(1)是等差数列，证明见解析； (2)，； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题设有，且，即可证结论； （2）由（1）得即可求，再由关系求； （3）应用放缩法及裂项相消即可证结论. 【详解】（1）是等差数列，证明如下： 由题设，显然不可能为0，则，且， 所以是首项、公差都为2的等差数列. （2）由（1）知：，显然时也满足，则， 当时，， 而不满足上式，则. （3）由 ，且， 又当时成立， 综上，. 【点睛】易错点点睛：第三问，注意放缩位置为，需要单独说明也成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$