第01讲 数列的概念（6大知识点+8大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修二）

第01讲 数列的概念 目录 题型归纳 1 题型01 根据规律填写数列中的某项 3 题型02 判断数列的增减性 5 题型03 确定数列中的最大（小）项 7 题型04 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式 9 题型05 累乘法求数列通项 11 题型06 利用an与sn关系求通项或项 13 题型07 数列周期性的应用 15 题型08 根据数列的单调性求参数 17 分层练习 20 夯实基础 20 能力提升 28 知识点01 数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 知识点02数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 知识点03数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 知识点04数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 知识点05数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 知识点06数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 题型01根据规律填写数列中的某项 【例1】（23-24高二上·四川南充·期末）已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的（    ）． A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【变式1】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·吉林长春·期末）在数列1，2，，，，中，是这个数列的（    ） A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项 【变式3】（23-24高二上·广西·期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 题型02 判断数列的增减性 【例2】（21-22高二上·陕西西安·期末）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式1】（22-23高二上·宁夏银川·期中）写出一个同时满足下列性质①②③的数列的通项公式： ． ①是无穷数列； ②是单调递减数列； ③. 【变式2】（22-23高二上·河北邢台·期末）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 确定数列中的最大（小）项 【例3】（21-22高二上·吉林长春·期末）已知数列的通项公式为，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【变式2】（21-22高二上·浙江宁波·期末）已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列的通项公式为，则的最小项的值为 ． 题型04 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式 【例4】（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足：，，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1】（23-24高二上·河北邢台·期末）在数列中，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）在数列与中，已知，则 ． 【变式3】（22-23高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足：，则 ； . 题型05 累乘法求数列通项 【例5】（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　） A．n B． C．2n D． 【变式1】（21-22高二上·福建泉州·期末）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【变式2】（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 . 【变式3】（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 题型06 利用an与sn关系求通项或项 【例6】（23-24高二上·浙江温州·期末）已知为数列的前n项和，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若为数列的前项和，且，则等于（    ） A． B． C． D．30 【变式2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 【变式3】（23-24高二上·宁夏银川·期末）已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式. 题型07 数列周期性的应用 【例7】（23-24高二上·安徽宣城·期末）数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列满足，，则数列前2023项的积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式2】（23-24高二上·福建莆田·期中）已知数列中，，则 . 【变式3】（24-25高二上·江苏盐城·期中）若数列满足，若，则的值为 题型08 根据数列的单调性求参数 【例8】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列为单调递增数列，且，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二上·广东中山·期中）已知数列的通项公式，若数列为递增数列，则实数的取值范围是 【变式3】（20-21高二上·天津和平·期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是 ． 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·江苏连云港·期末）在数列中，，（，），则（   ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北衡水·期末）在数列中，中，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东济宁·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建·期中）斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高二上·重庆渝中·期中）若数列的前项和公式为，则的通项公式为 . 8．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 9．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 四、解答题 10．（24-25高二上·福建·期中）已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 11．（24-25高二上·广西柳州·期中）（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 12．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京·期中）已知数列的前项和，下列判断中正确的是（    ） A． B．数列是单调递减数列 C．数列前项的乘积有最大值 D．数列前项的乘积有最小值 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足：，则下列命题正确的是（    ） A．若数列为常数列，则 B．存在，使数列为递减数列 C．任意，都有为递减数列 D．任意，都有 二、多选题 6．（23-24高二上·江苏盐城·期中）为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）．已知数列是一个“等积数列”，，，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D． 三、填空题 8．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ． 9．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知数列满足：，，则 ． 10．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线：，圆：，圆：，若圆与圆和直线都相切，则圆的半径为 ，若圆与圆和直线都相切，且两两不同，则圆的半径为 ． 四、解答题 11．（22-23高二上·浙江宁波·期中）已知数列满足，（其中） (1)判断并证明数列的单调性； (2)记数列的前n项和为，证明：． 12．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知正项数列满足. (1)求通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 13．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 14．（24-25高二上·上海·期中）当均为正数时，称为的“均倒数”．若数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为． (1)试求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号（为正整数）； (3)设，是否存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立，并说明理由． 15．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数列的概念 目录 题型归纳 1 题型01 根据规律填写数列中的某项 3 题型02 判断数列的增减性 5 题型03 确定数列中的最大（小）项 7 题型04 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式 9 题型05 累乘法求数列通项 11 题型06 利用an与sn关系求通项或项 13 题型07 数列周期性的应用 15 题型08 根据数列的单调性求参数 17 分层练习 20 夯实基础 20 能力提升 28 知识点01 数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 知识点02数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 知识点03数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 知识点04数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 知识点05数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 知识点06数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 题型01根据规律填写数列中的某项 【例1】（23-24高二上·四川南充·期末）已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的（    ）． A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】利用，再根据题中所给数列的规律即可求出结果. 【详解】因为，所以根据该数列的规律可知，是该数列的第项， 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】根据题意，得到数列的一个通项公式，代入即可求解. 【详解】由题意，数列，可化为， 所以数列的一个通项公式为，所以该数列的第10项是. 故选：D. 【变式2】（22-23高二上·吉林长春·期末）在数列1，2，，，，中，是这个数列的（    ） A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项 【答案】B 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】根据题意求出数列的通项公式，结合通项公式分析求解. 【详解】数列可化为 ， 所以， 令，解得， 所以是这个数列的第项， 故选：B． 【变式3】（23-24高二上·广西·期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 【答案】 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】从图（1）、图（2）、图（3）、…的个数之和找到对应的数字规律. 【详解】由图，第1个图中有6个化学键和6个原子； 第2个图中有11个化学键和10个原子； 第3个图中有16个化学键和14个原子， 观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子， 则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为. 故答案为： 题型02 判断数列的增减性 【例2】（21-22高二上·陕西西安·期末）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】判断数列的增减性 【分析】由题知，进而研究的符号即可得答案. 【详解】解：， 所以，即. 故选：B 【变式1】（22-23高二上·宁夏银川·期中）写出一个同时满足下列性质①②③的数列的通项公式： ． ①是无穷数列； ②是单调递减数列； ③. 【答案】，答案不唯一. 【知识点】判断数列的增减性 【分析】根据数列的性质写出一个数列即可. 【详解】当时，满足是无穷数列，是单调递减数列，且. 故答案为： 【变式2】（22-23高二上·河北邢台·期末）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断数列的增减性 【分析】根据数列单调性作差比较与的大小即可判断. 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，，有，是递减数列，不符合题意， 对于B，，有，是递减数列，不符合题意， 对于C，，则，，不是递增数列，不符合题意， 对于D，，有，由于，则恒成立，是递增数列，符合题意. 故选：D． 【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断数列的增减性 【分析】根据充要条件的要求分别判断即可，若是推不出，则只需举反例. 【详解】因函数的定义域为，函数为减函数，又因数列满足中，,而,则在上必是递减的， 即数列为递减数列，故“函数为减函数”是“数列为递减数列”的充分条件； 反之，数列为递减数列，即在上是递减的，但是在上未必递减. (如函数在上的函数值都是，显然函数不是减函数，同时对应的数列却是递减数列.) 故“函数为减函数”不是“数列为递减数列”的必要条件. 故选：A. 题型03 确定数列中的最大（小）项 【例3】（21-22高二上·吉林长春·期末）已知数列的通项公式为，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【分析】利用递增数列的定义即可. 【详解】由 ， ∴ ，即是 小于2n+1的最小值，∴ ， 故选：C 【变式1】（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【答案】C 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】利用差比较法确定正确答案. 【详解】；；，， 当时，，所以， 所以数列中的最大项的项数或. 故选：C 【变式2】（21-22高二上·浙江宁波·期末）已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】根据单调性分析出数列的正数项有哪些即可求解. 【详解】由条件有， 当时，，即； 当时，，即. 即， 所以取得最大值时n的值为. 故选：C 【变式3】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列的通项公式为，则的最小项的值为 ． 【答案】 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】利用二次函数的性质求最小项． 【详解】因为函数的对称轴是，时取得最小值， 而中，，时，，时，， 所以中的最小项的值为． 故答案为：． 题型04 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式 【例4】（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足：，，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题设有，累加可得，即可求结果. 【详解】由题设，则， 即，则. 故选：B 【变式1】（23-24高二上·河北邢台·期末）在数列中，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】利用递推公式逐项计算可得的值. 【详解】在数列中，已知，且， 则，，. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）在数列与中，已知，则 ． 【答案】1 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】由已知计算可得为常数列，进而可得结果. 【详解】由题意知，， 所以为常数列，即， 所以． 故答案为：1. 【变式3】（22-23高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足：，则 ； . 【答案】 5 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式 【分析】利用赋值可得，利用退位相减可得. 【详解】当时，；当时，，所以. ① 当时，② ①-②得，，整理得. 故答案为：    题型05 累乘法求数列通项 【例5】（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　） A．n B． C．2n D． 【答案】C 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 【详解】解：由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，因为，所以， 故选：C． 【变式1】（21-22高二上·福建泉州·期末）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出 【详解】由得， ， . 故选：D 【变式2】（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 . 【答案】 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】由递推公式可得，再由累乘法即可求得结果. 【详解】由可得， 由累乘可得. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、累乘法求数列通项 【分析】根据题设中的递推公式特征选择累乘法进行赋值即可求得. 【详解】因，故有，即得， 所以． 故答案为：. 题型06 利用an与sn关系求通项或项 【例6】（23-24高二上·浙江温州·期末）已知为数列的前n项和，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】由直接计算即可. 【详解】由题意. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若为数列的前项和，且，则等于（    ） A． B． C． D．30 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据数列通项与前n项和的关系求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：D 【变式2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式. 【详解】数列的前n项和， 当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·宁夏银川·期末）已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)；；； (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据题意，得到，结合，逐项即可求解； （2）由，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由点均在函数的图象上，可得， 则，；； . （2）解：由点均在函数的图象上，可得， 当时，可得； 当时，， 所以数列的通项公式为 题型07 数列周期性的应用 【例7】（23-24高二上·安徽宣城·期末）数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】首先列举数列的项，确定数列的周期，即可求解数列中的项. 【详解】由条件可知，，，， 所以数列的周期为3，. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列满足，，则数列前2023项的积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】数列周期性的应用 【分析】先找到数列的周期，然后求得数列前2023项的积. 【详解】由，， 得， 所以数列是以为周期的周期数列，且， 故数列前2023项的积为. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·福建莆田·期中）已知数列中，，则 . 【答案】/ 【知识点】数列周期性的应用 【分析】根据给定条件，求出数列的周期即可计算得解. 【详解】数列中，当时，，则， ，即，，因此数列的周期是3， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏盐城·期中）若数列满足，若，则的值为 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据数列的递推公式，利用代数法可得数列的周期为，即，，即可得解. 【详解】由已知，则，， 可得，进而可得，，， 即，， 所以， 故答案为：. 题型08 根据数列的单调性求参数 【例8】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断数列的增减性、根据数列的单调性求参数 【分析】根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】解：由已知得，即，解得. 故选：B. 【变式1】（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列为单调递增数列，且，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据对一切正整数n恒成立，可求出结果. 【详解】因为数列为单调递增数列，所以对一切正整数n恒成立， 因为为增函数，所以，则. 故选：D 【变式2】（21-22高二上·广东中山·期中）已知数列的通项公式，若数列为递增数列，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】结合已知条件，利用数列的单调性即可求解. 【详解】因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 因为当时，有最小值，即， 所以， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（20-21高二上·天津和平·期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分段函数的单调性、根据数列的单调性求参数 【解析】对于任意的都有，可知：数列单调递减，可得，再分类讨论即可得出. 【详解】∵对任意的，都有， ∴数列单调递减，可知. 当时，若，单调递减， 而时，单调递减， ∴只需，解得， ∴； 当时，若，单调递增，应舍去. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法： (1)分段函数的每一段都单调； (2)根据单调性比较端点函数值的大小. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·江苏连云港·期末）在数列中，，（，），则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值； 【详解】因为，（，）， 所以，，， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 故选：A 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次求出各个选项中数列的前几项即可判断. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意；对于D，，不合题意． 故选：B 3．（24-25高二上·河北衡水·期末）在数列中，中，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到数列是以为周期的周期数列，即可求解. 【详解】因为， 所以，， 而，所以数列是以为周期的周期数列， 所以的前项和， 故选：C． 4．（23-24高二上·山东济宁·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意，列出数列的递推关系，用累加法求出数列的通项公式，再用裂项相消法求出数列的前项和，即可求出数列的前20项和. 【详解】由题意及图得，， ，当时，， ， 以上各式累加得：， 又，所以， 经检验符合上式， 所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， 所以， 故选：A. 二、多选题 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据递推关系可知数列是以为周期的周期数列，根据周期性依次推导各个选项即可. 【详解】， ， 数列是以为周期的周期数列； 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，， ，C正确； 对于D，，， ，D错误. 故选：ABD. 6．（24-25高二上·福建·期中）斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据递推式判断A、B、D；根据B的结论，结合累加法判断C； 【详解】由题设，，，A错； 由，则，故，B对； 由，结合B的结论有，，，， 所以，C对； ，D对； 故选：BCD 三、填空题 7．（24-25高二上·重庆渝中·期中）若数列的前项和公式为，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用和的关系式求解即可. 【详解】当时：； 当时：； 经检验，不满足上式， 综上所述：. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以，又，即为常数数列， 所以，则，则. 故答案为： 9．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 【答案】210 【分析】对原方程化简得，然后利用累乘法求解即可. 【详解】由已知，得， ∵，∴，得， 由累乘法得，∴, 故答案为：210. 四、解答题 10．（24-25高二上·福建·期中）已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由当时，；当时，，计算即可得到所求通项公式； （2）运用裂项相消法求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数的最小值． 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，满足上式，所以. （2）由 . 所以，即的最小值为. 11．（24-25高二上·广西柳州·期中）（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由数列中与的关系即可求解； （2）首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时n的值. 【详解】（1）因为， 当时，， 所以， 又时，不满足上式， 故数列的通项公式为. （2）当，，解得：， 当和时，， 所以取得最小值时，. 12．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系式，由可求得数列的通项公式； （2）判断得出的单调性，求出其最大值即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）当时， ； 当时，满足上式， 所以 （2）令，； 当时，，即 当时，，即 所以当时， 所以 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意代入计算可得数列是周期为3的周期数列，即可得. 【详解】根据并利用可得， ， ，，… 所以可得数列是周期为3的周期数列， 即. 故选：D 2．（23-24高二上·北京·期中）已知数列的前项和，下列判断中正确的是（    ） A． B．数列是单调递减数列 C．数列前项的乘积有最大值 D．数列前项的乘积有最小值 【答案】C 【分析】根据已知求的方法求出通项公式，然后逐项判断即可. 【详解】数列的前项和， 当时，， 当时，， 当，代入上式，即，符合上式， 所以 ，故A错误； 由可知，数列是单调递增数列，故B错误； 因为，，，，，，， 当时，，当时，， 所以数列前项的乘积有最大值，最大值为，故C正确，D错误. 故选：C. 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用“倒推”的方式，推导过程中注意分类讨论思想的应用. 【详解】∵，∴若为奇数，则，则舍； 若为偶数，则，. 当时，若为奇数，则，则；若为偶数，则，. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 若为奇数，则，则；若为偶数，则，则. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 若为奇数，则，则；若为偶数，则，则. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 综上，所有可能的取值的集合. 故选：B. 4．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 5．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足：，则下列命题正确的是（    ） A．若数列为常数列，则 B．存在，使数列为递减数列 C．任意，都有为递减数列 D．任意，都有 【答案】D 【分析】解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C. 【详解】对A:若数列为常数列，则，解得或，故A错误； 对B:易得，若为递减数列，则，解得或且，故不存在使得递减数列，故B错误； 对C,令，则，故不是递减数列，故C错误； 对D,用数学归纳法证明 当显然成立， 假设当， 则时，，故当时成立, 由选项B知，对任意 则数列为递减数列，故故D正确 故选：D 【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键. 二、多选题 6．（23-24高二上·江苏盐城·期中）为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）．已知数列是一个“等积数列”，，，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据数列新定义可得，结合已知确定通项公式，进而逐项判断正误. 【详解】由“等积数列”定义得：，即， ∴数列奇数项相同，偶数项相同， 又∵，， ∴当为奇数时，， 当为偶数时，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，若，则当为奇数时，，当为偶数时，，符合题意，C正确； 对于D，当为奇数时，，满足， 当为偶数时，，满足，D正确； 故选：ACD. 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案. 【详解】根据题意，， 则有， 当时， ， 也满足，所以. ，A选项错误； ，B选项正确； ，， C选项正确； ， ，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题 8．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】代入，得出.根据求出的表达式，代入检验，即可得出答案. 【详解】当时，. 当时，. 因为， 所以，. 故答案为：. 9．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知数列满足：，，则 ． 【答案】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为4的周期数列，根据可得结果. 【详解】由题意得：，，，， 所以数列是周期为4的周期数列， 所以. 故答案为：2. 10．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线：，圆：，圆：，若圆与圆和直线都相切，则圆的半径为 ，若圆与圆和直线都相切，且两两不同，则圆的半径为 ． 【答案】 / 【分析】利用题目条件证明，再根据这一递推关系确定答案即可. 【详解】由题可知位于由圆和构成的曲边三角形内，这些圆之间的相切均为外切，且都位于直线上方. 设的圆心为，半径为，则根据和相切，有， 再由圆的位置关系，有. 由和相切有. 故， 则. 根据和相切，同理有，. 而， 故， 所以. 这就得到，而， 故，数列是斐波那契数列. 而，，所以，. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对相切性质的运用. 四、解答题 11．（22-23高二上·浙江宁波·期中）已知数列满足，（其中） (1)判断并证明数列的单调性； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)单调递减，证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用作差法比较大小，即可判断的单调性； （2）根据递推式易得且，即，再由可得，应用累加法可得，进而有，由裂项相消法即可证结论. 【详解】（1）单调递减，理由如下：． ∵，结合递推式易得， ∴，故数列单调递减； （2）∵，，， ∴，又，故， ∵，， ∴，则， 当，累加得， 则，故， 所以， ∴， 综上，有. 12．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知正项数列满足. (1)求通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和的递推公式，从而可求解； （2）根据（1）求得，然后利用裂项相消求和，从而求解. 【详解】（1）当时，得，由题知为正项数列，则， 由题得，则，化简得， 所以为首项为，公差为的等差数列，则， 所以，当时，， 当时也成立，所以. （2）由（1）知， 所以 ， 所以. 13．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，然后根据累加法结合条件即可求解； （2）利用错位相减法求出，然后根据恒成立分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 当时， ， 所以，又符合， 所以； （2）由题意知， ， 两式相减得， 所以，若不等式对任意的恒成立， 当，时，则， 所以，当，时， 则，所以，即， 所以，即的取值范围为. 14．（24-25高二上·上海·期中）当均为正数时，称为的“均倒数”．若数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为． (1)试求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号（为正整数）； (3)设，是否存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立，并说明理由． 【答案】(1)； (2)的符号为正； (3)存在，，理由见解析. 【分析】（1）由条件求得，由此求出数列的通项. （2）由（1）的结论求出， 作差即可判断符号. （3）由（2）可得数列是单调递增数列，是其最小项，将恒成立转化为，再解不等式即可求解. 【详解】（1）依题意，，当时，， 两式相减得，而当时，，解得，满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，，， 因此 所以的符号为正. （3）由（2）知数列是单调递增数列，是其最小项，即， 假设存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立， 于是恒成立，则，即， 解得或，取，当时，对于一切正整数，都有恒成立， 所以存在，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立. 【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题常用分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可. 15．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出当时的等式，再与原式两式相除求解即可； （2）由（1），再根据错位相减求解可得，再化简不等式可得，再设，根据作差法判断的单调性，进而可得最大值. 【详解】（1）， 当时，， 两式相除得；， 又符合上式，故； （2）， ， ， 错位相减得： ， ， 即，由，得， 设，则， 故， 由， 由可知，随着的增大而减小， 故， 故恒成立，知单调递减， 故的最大值为，则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$