专题突破一 恒成立或存在性问题（人教A版选必二）-2024-2025寒假高二数学同步练习（全国通用）

专题突破一 恒成立或存在性问题 （解析版） 1．已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，－1) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 答案　A 解析　f′(x)＝ex－1， 令f′(x)>0，解得x>0， 令f′(x)<0，解得x<0， 故f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增， 故f(x)min＝f(0)＝1＋a， 若f(x)>0恒成立， 则1＋a>0，解得a>－1， 故选A. 2．若函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上单调递减，则m的取值范围是(　　) A．[24，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－3] D．(－∞，0] 答案　A 解析　因为函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上单调递减，所以f′(x)＝3x2＋6x－m≤0且不恒为0在[－2，2]上恒成立，所以即解得m≥24，即m的取值范围是[24，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝ln x－ax，其中x∈[1，＋∞)，若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，＋∞) B. C. D．[0，＋∞) 答案　C 解析　当x∈[1，＋∞)时，不等式f(x)≤0恒成立等价于a≥在[1，＋∞)上恒成立， 令g(x)＝，则g′(x)＝. 当1≤x<e时，g′(x)>0；当x>e时，g′(x)<0. 所以g(x)max＝g(e)＝，所以a≥.故选C. 4．已知函数f(x)＝－mx，若f(x)<0在(0，＋∞)上有解，则m的取值范围是(　　) A．(e，＋∞) B．(－∞，e) C. D. 答案　C 解析　由f(x)＝－mx<0在(0，＋∞)上有解，可得m>在(0，＋∞)上有解．令g(x)＝，x>0，则m>g(x)min.由g′(x)＝，则当0<x<2时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>2时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．故当x＝2时，函数g(x)取得最小值g(2)＝，故m>. 5．【多选题】已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x＋c，若对任意x∈[0，2]，f(x)≤c2－恒成立，则实数c的可能取值是(　　) A．－1 B. C．2 D．－ 答案　ABC 解析　f(x)＝x3－2x2＋3x＋c，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)．令f′(x)>0，解得x<1或x>3；令f′(x)<0，解得1<x<3，所以当x∈[0，2]时，函数f(x)在区间[0，1)上单调递增，在区间(1，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝＋c.若对任意x∈[0，2]，f(x)≤c2－恒成立，则f(1)≤c2－，即＋c≤c2－，整理可得c2－c－2≥0，解得c≤－1或c≥2.结合选项知A、B、C符合题意． 6．已知函数f(x)＝kx2－ln x，若f(x)>0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意kx2－ln x>0在函数定义域内恒成立，即k>在(0，＋∞)内恒成立，设g(x)＝，则g′(x)＝＝，当x∈(0，)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，所以当x＝时，函数g(x)取得最大值，此时最大值为g()＝，所以实数k的取值范围是.故选D. 7．若关于x的不等式x3－ax2＋1≥0在[－1，1]上恒成立，则a的取值范围是________． 答案　(－∞，0] 解析　当x＝0时，原不等式显然成立，a∈R.当x≠0时，由原不等式可得a≤x＋，令h(x)＝x＋，－1≤x≤1且x≠0，则h′(x)＝1－＝，易得函数h(x)在[－1，0)上单调递增，在(0，1]上单调递减，又h(1)＝2>h(－1)＝0，故当x＝－1时，h(x)取得最小值h(－1)＝0，所以a≤0. 8．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求证：f(x)≥g(x)． 解析　(1)设曲线y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，由题意得f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，即 由x0＋2a＝得x0＝a或x0＝－3a(舍去)， 即有b＝a2＋2a2－3a2ln a＝a2－3a2ln a. 令h(a)＝a2－3a2ln a(a>0)，则h′(a)＝2a(1－3ln a)． 令h′(a)>0得0<a<e；令h′(a)<0得a>e.故h(a)在(0，＋∞)上的最大值为h(e)＝e，即b的最大值为e. (2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2ln x－b(x>0)， 则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)． 故F(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，于是函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)． 由(1)知F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0. 故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0， 即当x>0时，f(x)≥g(x)． 9．已知函数f(x)＝aex－2x＋1.若f(x)>0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 解析　f(x)>0对x∈R恒成立， 即a>对x∈R恒成立， 设g(x)＝，则a>g(x)max， g′(x)＝＝， 令g′(x)＝0，解得x＝， 当x>时，g′(x)<0，当x<时，g′(x)>0， 故函数g(x)在上单调递增，在上单调递减， ∴g(x)max＝g＝＝2e， 故实数a的取值范围为(2e，＋∞)． 10．已知函数f(x)＝g(x)＝kx，若对于任意的实数x，都有x[f(x)－g(x)]≤0成立，则实数k的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B. C．[1，2] D. 答案　B 解析　当x<0时，f(x)≥g(x)，即－≥kx， 所以k≥－2＋1，而－2＋1≤1，当x＝－1时等号成立，所以k≥1； 当x＝0时，x[f(x)－g(x)]≤0成立； 当x>0时，f(x)≤g(x)，即x＋ln(x＋1)≤kx， 所以(k－1)x≥ln(x＋1)， 设h(x)＝ln(x＋1)，则h′(x)＝，h′(0)＝1，h(0)＝0， 所以曲线y＝ln(x＋1)在x＝0处的切线为y＝x， 要使(k－1)x≥ln(x＋1)在x>0时成立，则需k－1≥1，即k≥2. 综上所述，k≥2.故选B. 11．若函数f(x)＝在[－2，2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，0] D. 答案　D 解析　当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，易知函数f(x)在[－2，0]上的最大值点是x＝－1，且f(－1)＝2，故只需当x∈(0，2]时，eax≤2恒成立，即ax≤ln 2在x∈(0，2]时恒成立，即a≤在x∈(0，2]时恒成立，故a≤ln 2. 12．若存在唯一的正整数x0，使得不等式－ax－a>0成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知，a<在x>0时有唯一的正整数解． 设f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝， 又f′(x)>0⇒0<x<，f′(x)<0⇒x>， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减， 又因为0<<1， 所以要满足a<在x>0时有唯一的正整数解，则只需要f(2)≤a<f(1)， 又f(2)＝，f(1)＝， 所以≤a<.故选D. 13．若对任意的x∈[e，＋∞)，都有xln x≥ax－a，求实数a的取值范围． 解析　若对任意的x∈[e，＋∞)，都有xln x≥ax－a等价于a≤在[e，＋∞)上恒成立，令h(x)＝，x∈[e，＋∞)，则h′(x)＝， 令m(x)＝x－ln x－1，则当x≥e时， m′(x)＝1－>0， 即m(x)在[e，＋∞)上单调递增， 故m(x)≥m(e)＝e－2>0， ∴h′(x)>0，所以h(x)＝在[e，＋∞)上单调递增， h(x)min＝h(e)＝，所以a≤. 即实数a的取值范围是. 14．已知曲线C：y＝x3－x2－4x＋1，直线l：x＋y＋2k－1＝0，当x∈[－3，3]时，直线l恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　当x∈[－3，3]时，直线l恒在曲线C的上方，等价于当x∈[－3，3]时，－x－2k＋1－>0恒成立， 即k<－x3＋x2＋x在x∈[－3，3]时恒成立． 设f(x)＝－x3＋x2＋x， 则f′(x)＝－x2＋x＋＝－(x－3)·(1＋x)． 令f′(x)<0，解得x<－1或x>3； 令f′(x)>0，解得－1<x<3. 又x∈[－3，3]， 所以函数f(x)＝－x3＋x2＋x在(－3，－1)上单调递减，在(－1，3)上单调递增， 所以当x＝－1时，f(x)取得最小值－，所以k<－，所以实数k的取值范围是.故选B. 15．已知函数f(x)＝x－－(a＋1)ln x(a∈R)． (1)当0<a≤1时，求函数f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)≤x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1＋－＝. 当0<a<1时， 由f′(x)>0，得0<x<a或x>1， 由f′(x)<0，得a<x<1， 故函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，(1，＋∞)，单调递减区间为(a，1)； 当a＝1时，f′(x)＝≥0，且不恒为0， 故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． 综上，当0<a<1时，f(x)的单调递增区间为(0，a)，(1，＋∞)，单调递减区间为(a，1)； 当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． (2)f(x)≤x恒成立等价于a＋(a＋1)xln x≥0恒成立， 令g(x)＝a＋(a＋1)xln x，x>0. 当a＋1＝0，即a＝－1时，g(x)＝－1， 故g(x)≥0在(0，＋∞)内不成立； 当a＋1<0，即a<－1时，g(1)＝a<－1， 故g(x)≥0在(0，＋∞)内不能恒成立； 当a＋1>0，即a>－1时， g′(x)＝(a＋1)(1＋ln x)， 令g′(x)＝0，解得x＝， 当0<x<时，g′(x)<0；当x>时，g′(x)>0. 所以令g(x)min＝g＝a－≥0，解得a≥. 综上，当a≥时，g(x)≥0在(0，＋∞)内恒成立，即f(x)≤x恒成立， 所以存在实数a，使f(x)≤x恒成立，实数a的取值范围是. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破一 恒成立或存在性问题 1．已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，－1) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 2．若函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上单调递减，则m的取值范围是(　　) A．[24，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－3] D．(－∞，0] 3．已知函数f(x)＝ln x－ax，其中x∈[1，＋∞)，若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，＋∞) B. C. D．[0，＋∞) 4．已知函数f(x)＝－mx，若f(x)<0在(0，＋∞)上有解，则m的取值范围是(　　) A．(e，＋∞) B．(－∞，e) C. D. 5．【多选题】已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x＋c，若对任意x∈[0，2]，f(x)≤c2－恒成立，则实数c的可能取值是(　　) A．－1 B. C．2 D．－ 6．已知函数f(x)＝kx2－ln x，若f(x)>0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7．若关于x的不等式x3－ax2＋1≥0在[－1，1]上恒成立，则a的取值范围是________． 8．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求证：f(x)≥g(x)． 9．已知函数f(x)＝aex－2x＋1.若f(x)>0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 10．已知函数f(x)＝g(x)＝kx，若对于任意的实数x，都有x[f(x)－g(x)]≤0成立，则实数k的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B. C．[1，2] D. 11．若函数f(x)＝在[－2，2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，0] D. 12．若存在唯一的正整数x0，使得不等式－ax－a>0成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 13．若对任意的x∈[e，＋∞)，都有xln x≥ax－a，求实数a的取值范围． 14．已知曲线C：y＝x3－x2－4x＋1，直线l：x＋y＋2k－1＝0，当x∈[－3，3]时，直线l恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 15．已知函数f(x)＝x－－(a＋1)ln x(a∈R)． (1)当0<a≤1时，求函数f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)≤x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$