第12讲 空间的垂直关系（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第12讲 空间的垂直关系 【人教A版2019】 模块一 空间直线、平面的垂直（一） 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【题型1 异面直线所成的角】 【例1.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【例1.2】（2025高一·全国·专题练习）如图，正方体中，直线和所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，则直线与直线BD所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 线线垂直的判定】 【例2.1】（23-24高一下·甘肃兰州·期末）在正方体中，O为底面ABCD的中心，P为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，，点，点，且，，那么直线l与直线的关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 【变式2.1】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.证明：. 【变式2.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面．求证：. 【题型3 直线与平面垂直的判定】 【例3.1】（23-24高一下·重庆·期末）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高一下·天津河西·期末）如图，圆柱中，是侧面的母线，是底面的直径，是底面圆上一点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【变式3.1】（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 【变式3.2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在四面体中，已知，，．是线段PB上一点，，点在线段AB上，且.求证：平面. 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4.1】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【例4.2】（23-24高一下·江苏常州·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，在正四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则EF与平面BCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A．2 B． C． D． 模块二 空间直线、平面的垂直（二） 1．二面角 (1) 二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 2．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂 直，记作⊥. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 3．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥ a⊥. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型5 面面垂直的判定】 【例5.1】（2024高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【例5.2】（2024高一下·全国·专题练习）如图，是圆O的直径，垂直圆O所在的平面，点C是圆上的任意一点，图中有（    ）对平面与平面垂直. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面. 【变式5.2】（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：平面平面； (2)求证：. 【题型6 二面角】 【例6.1】（23-24高一下·湖南·期末）已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【例6.2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一下·天津和平·期末）如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高一下·广西南宁·期末）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（   ）    A． B． C． D． 【题型7 点、线、面的距离问题】 【例7.1】（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）棱长为3的正方体中，点到平面距离为（    ） A． B．1 C．2 D． 【例7.2】（23-24高一下·山西太原·期末）如图，在长方体中，..则直线与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7.2】（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【题型8 平行关系与垂直关系的综合应用】 【例8.1】（2025高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【例8.2】（23-24高一下·福建龙岩·期末）如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则平面 D．若，，则 【变式8.1】（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【变式8.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，M是的中点．点N在棱上，点D是的中点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·单元测试）设为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（    ）    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 3．（23-24高一下·天津和平·期末）已知a，b，c是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，以下说法中正确的个数为（    ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，直三棱柱的体积为，的面积为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，沿将折起，在折起过程中，下列说法正确的有（    ） ①平面；②平面；③平面；④平面． A．个 B．个 C．个 D．个 7．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·福建龙岩·期末）如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则平面 D．若，，则 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·随堂练习）设m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，则存在直线 ，使 10．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 11．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·单元测试）已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点B到的距离为 ． 13．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，平面平面，，且，则与平面所成角的大小是 ．    14．（24-25高一下·全国·课后作业）在正四面体中，，，分别是，，的中点，有下列四个命题： ①平面； ②平面平面； ③平面； ④平面平面． 其中正确命题的序号是 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上的一点，且，求二面角的大小． 17．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中． (1)求直线和平面所成的角； (2)求直线和平面所成的角． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等边三角形．    (1)求证：； (2)若为边上的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 19．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到平面的距离． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 空间的垂直关系 【人教A版2019】 模块一 空间直线、平面的垂直（一） 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【题型1 异面直线所成的角】 【例1.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】取的中点，连接，，分析可知是与所成的角或其补角，结合题意运算求解即可. 【解答过程】取的中点，连接，，    可知，，且，， 则是与所成的角或其补角，即是与所成的角或其补角． 因为，在中，． 且，可得，则，所以． 故选：A. 【例1.2】（2025高一·全国·专题练习）如图，正方体中，直线和所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】连结，，则，是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角的大小． 【解答过程】解：连结，， 在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， ，是异面直线与所成角（或所成角的补角）， ， ， 异面直线与所成角的大小是． 故选：C． 【变式1.1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，则直线与直线BD所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角形全等可得，进而可证明线线垂直，进而可证明平面，即可得线线垂直求解. 【解答过程】如图，连接AC交BD于点O，连接， 底面ABCD是菱形， ． ，，平面，平面， 平面，故直线与直线BD所成的角的大小为． 故选：A． 【变式1.2】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解. 【解答过程】 取的中点F，连接EF，CF，， 又为的中点， 在长方体中，可得， 所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角， 因为， 所以， ， 所以在中，由余弦定理得 . 故选：A. 【题型2 线线垂直的判定】 【例2.1】（23-24高一下·甘肃兰州·期末）在正方体中，O为底面ABCD的中心，P为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正方体的几何性质，即可根据线线平行以及垂直关系的转化即可结合选项逐一求解. 【解答过程】连接，易得， 在平面中，与不垂直，故与OP不垂直，故A错误，同理，D错误； 在正方体中，平面，平面，所以， 若，则 ,这与矛盾，所以与OP不垂直，故B错误； 因为平面，平面，所以， 又，，可得平面， 又平面，所以，故，C正确． 故选：C. 【例2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，，点，点，且，，那么直线l与直线的关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 【解题思路】根据线面垂直的性质，得到，，再由线面垂直的判定定理，得到平面，从而可得线线垂直. 【解答过程】，，，； 同理； 又，平面. 平面，. 故选：C. 【变式2.1】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.证明：. 【解题思路】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理，并结合图形进行证明即可. 【解答过程】在平面中，过点作的垂线，垂足为. 则，又平面平面，且平面平面，平面，故平面. 又平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面， 故. 【变式2.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面．求证：. 【解题思路】根据面面垂直的性质定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论. 【解答过程】由是正方形，得， 而平面平面，平面平面， 平面，则平面， 又平面，于是， 又， 所以. 【题型3 直线与平面垂直的判定】 【例3.1】（23-24高一下·重庆·期末）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】因为体对角线与对角面垂直，只需找到与对角面平行的答案即可. 【解答过程】 设下底面端点，及上底面对应端点，如图所示， 连接,和，由三垂线定理知，且， 又因为,面，面， 所以面. 对于C，因为，,，所以面//面， 所以平面DEF. A、B、D选项中面与面均不平行. 故选：C. 【例3.2】（23-24高一下·天津河西·期末）如图，圆柱中，是侧面的母线，是底面的直径，是底面圆上一点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【解题思路】根据线面垂直的判定定理、性质定理及定义逐项判断即可. 【解答过程】依题意平面，平面，所以， 又是底面圆的直径，所以， ，，平面，所以平面，故A正确； 对于B，在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故B错误； 对于C：在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故C错误； 对于D：在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故D错误； 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 【解题思路】根据面面垂直的性质可得平面，即可得，结合，即可由线面垂直的判定求证. 【解答过程】由题意知为正三角形，是AD的中点，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，. 又四边形是菱形且， 是正三角形，.又，，平面， 平面. 【变式3.2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在四面体中，已知，，．是线段PB上一点，，点在线段AB上，且.求证：平面. 【解题思路】由勾股定理逆定理说明，继而结合推出，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论. 【解答过程】在中， ，，，， ，为直角三角形，且， 又，. 又，，，平面，平面. 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4.1】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【解题思路】取的中点,连接，证明平面，即得即直线MN与平面所成角，解三角形即得. 【解答过程】 如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 故选：B. 【例4.2】（23-24高一下·江苏常州·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用线面角的定义找到直线与平面所成的角为，找到角即可求出余弦值. 【解答过程】连接，如图所示， 为正方体，易得平面， 为直线与平面所成的角， 令，由正方体知识可得， . 故选：D. 【变式4.1】（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，在正四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则EF与平面BCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先构造线面角再设边长求线面角的正弦. 【解答过程】如图： 连接，取的中心，则G在上，连接，则平面， 作平面，E为AD的中点，则T为中点.所以为直线与平面所成的角， 设, 在中，， 则, 连接是中点，所以, 所以，故C正确； 故选：C. 【变式4.2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】过作，连接.证明平面，即直线与平面所成的角即. 【解答过程】过作，连接. 因为为圆台的轴截面， 所以平面平面, 因为平面平面,平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角即. 因为且， 则,，， 所以. 故选：D. 模块二 空间直线、平面的垂直（二） 1．二面角 (1) 二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 -l-，如图(1). ②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是. 2．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂 直，记作⊥. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 3．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥ a⊥. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型5 面面垂直的判定】 【例5.1】（2024高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【解题思路】由面面垂直的判定定理判断． 【解答过程】在空间四边形中，, 又由,且面，平面，平面， 所以平面， 又因为平面, 所以平面⊥平面， 故选：C. 【例5.2】（2024高一下·全国·专题练习）如图，是圆O的直径，垂直圆O所在的平面，点C是圆上的任意一点，图中有（    ）对平面与平面垂直. A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据面面垂直的判定定理进行证明判断． 【解答过程】由⊥平面，平面， ∴平面⊥平面，同理，平面⊥平面. 由⊥平面，平面，得， 又，且，∴平面， 由平面，从而平面⊥平面，故图中相互垂直的平面有3对． 故选：C． 【变式5.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面. 【解题思路】先利用全等三角形的判定与性质得出，取的中点，作出的平面角后利用条件及勾股定理，逆定理判定即可. 【解答过程】由题意知，所以可得,从而， 又为直角三角形，所以， 取的中点，连接，，则，， 又由于是正三角形， 故，所以为二面角的平面角． 在中，， 又，所以， 故，所以平面平面． 【变式5.2】（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：平面平面； (2)求证：. 【解题思路】（1）首先根据线面垂直的性质得，结合，最后利用面面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）得，根据得，最后利用线面垂直的判定与性质即可证明. 【解答过程】（1）在直三棱柱中， 因为平面平面，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）连接，由（1）可知平面， 因为平面，所以. 因为，所以. 又因为在正方形中， 平面，， 所以平面. 又因为平面，所以，即. 【题型6 二面角】 【例6.1】（23-24高一下·湖南·期末）已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据题意可得三角形全等，即可求解长度关系，根据等腰可得即为二面角的平面角，即可利用三角形边角关系求解. 【解答过程】由以及可得故, 进而可得,不妨设, 取中点，连接, 故,故即为二面角的平面角， 由于平面， 故平面，平面，故, 故选：B. 【例6.2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】设的中点为E，过点A作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案. 【解答过程】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F， 因为均为等边三角形，故， 故为二面角的平面角；    又平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，则点A到平面的距离为， 又为等边三角形，边长为2，故， 故在中，，则，即， 故二面角的大小为， 故选：A. 【变式6.1】（23-24高一下·天津和平·期末）如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可. 【解答过程】    如图，取中点，连接，， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， ，，， ，所以二面角的正弦值为. 故选：B. 【变式6.2】（23-24高一下·广西南宁·期末）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，是的中点，，侧面与底面所成的二面角的大小（   ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，取的中点，连接，由二面角的定义可得为侧面与底面所成的二面角的平面角，然后代入计算，即可求解. 【解答过程】取的中点，连接，    因为为正四棱锥，为底面正方形的中心，所以底面， 平面，所以，， 又底面为正方形，为中点， 所以，且，平面， 所以平面，又平面，所以， 则为侧面与底面所成的二面角的平面角， 又，， 所以，且为锐角， 所以，即侧面与底面所成的二面角为. 故选：D. 【题型7 点、线、面的距离问题】 【例7.1】（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）棱长为3的正方体中，点到平面距离为（    ） A． B．1 C．2 D． 【解题思路】根据给定条件，利用等体积法求出点到平面的距离. 【解答过程】在正方体中，，， 令点到平面距离为，由，得，解得， 所以点到平面距离为. 故选：A. 【例7.2】（23-24高一下·山西太原·期末）如图，在长方体中，..则直线与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】过A作AE⊥BD于E，则直线与平面的距离为AE，在直角三角形ABD中，解三角形，即可求出AE. 【解答过程】因为为长方体，所以面⊥面ABCD， 过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面，所以直线与平面的距离为AE. 在直角三角形ABD中，由等面积法可得： 故选：C. 【变式7.1】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【解答过程】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 【变式7.2】（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在三棱锥中，平面，且是边长为的正三角形，若，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用等体积法求解，由题意求出，从而可求出，然后利用可求得答案. 【解答过程】设点到平面的距离为， 因为平面，平面， 所以， 因为是边长为的正三角形，， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 故选：B. 【题型8 平行关系与垂直关系的综合应用】 【例8.1】（2025高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【解题思路】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A. 【例8.2】（23-24高一下·福建龙岩·期末）如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则平面 D．若，，则 【解题思路】根据正方体的特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定判断AB；利用正方体的特征及面面平行的判定与性质判断CD. 【解答过程】    对于A，，底面，底面，则 ， 又平面，则平面，平面，所以，A正确； 对于B，，则平面，又平面，则平面平面， 而平面与平面重合，平面平面，B正确；    对于C，在正方体中，， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 由平面，得平面，C正确； 对于D，由于分别为上的动点，则与不一定相等，与不一定平行，D错误. 故选：D. 【变式8.1】（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【解题思路】（1）根据题意可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）连接，可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【解答过程】（1）因为为正方体，则∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面， 由平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以平面. 【变式8.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，M是的中点．点N在棱上，点D是的中点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 【解题思路】（1）只需证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明平面，结合面面垂直的判定定理即可得证. 【解答过程】（1）在中，M是的中点，D是的中点， 所以． 又因为平面，平面，所以平面． （2）在中，，M是的中点，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·单元测试）设为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，和m可能平行也满足A选项，故可判断；对于B，也满足B选项，故可判断；对于C，可判断两平面关系，垂直一平面也垂直其平行平面，故可判断；对于D，三个面两两垂直也满足D选项，故可判断. 【解答过程】对于A，，则和m可能平行或相交，故A错误； 对于B，，则m与相交或或，故B错误； 对于C，因为，所以，又，所以，故C正确； 对于D，由，不能推出，所以由不能推出，故D错误． 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（    ）    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【解题思路】根据面面垂直的判定定理判断． 【解答过程】因为，，， 且，平面，所以平面， 因为，所以平面， 由题易知平面，且，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面，共5对. 故选：C. 3．（23-24高一下·天津和平·期末）已知a，b，c是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，以下说法中正确的个数为（    ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】由线线、线面、面面间的位置关系逐一分析即可. 【解答过程】①可能平行、相交或异面，故①错误； ②可能平行或垂直，故②错误； ③由面面垂直的性质定理知，③缺少条件：，故③错误； 故选：A. 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，直三棱柱的体积为，的面积为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用等体积法即可求点到平面的距离． 【解答过程】解：由直三棱柱的体积为， 可得， 设到平面的距离为， 由得 ，解得． 故选：D． 5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】过点D 作于点N，证明平面，得CD与平面ACM 所成的角为，在中，求的余弦值. 【解答过程】如图，过点D 作于点N， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又四边形ABCD为矩形，，，平面AMD， 所以平面AMD，因为平面AMD，所以， 在中，，M为PD 的中点，所以且， 又，平面CDM，所以平面CDM， 因为平面ACM，所以平面平面， 因为平面平面，，平面， 所以平面，所以CD与平面ACM 所成的角为. 因为平面，平面，所以， 在中，. 故选：B. 6．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，沿将折起，在折起过程中，下列说法正确的有（    ） ①平面；②平面；③平面；④平面． A．个 B．个 C．个 D．个 【解题思路】折起过程中可知点在平面上的正投影在图中线段上，根据与不垂直可知①错误；当时，平面与平面重合，此时与平面不垂直，知②错误；根据与不垂直可知③错误；由，存在一个位置可知④正确. 【解答过程】 对于①，在矩形中，，，为边的中点， 在折起过程中，点在平面上的正投影在图中线段上． 与所成角不能为直角，不会垂直于平面，①错误； 对于②，只有点的正投影位于点位置时， 即平面与平面重合时，才有，此时不垂直于平面， 与平面不垂直，②错误； 对于③，与所成角不能成直角，不能垂直于平面，③错误； 对于④，，并且在折起过程中，有AD的投影垂直于BE， 存在一个位置使， 在折起过程中，有平面，④正确. 故选：A． 7．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据折叠前后的不变量，再用定义法找出二面角的平面角即可求解. 【解答过程】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则， 因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，，    因为平面平面，且平面，，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ， 所以， 故选：B. 8．（23-24高一下·福建龙岩·期末）如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则平面 D．若，，则 【解题思路】根据正方体的特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定判断AB；利用正方体的特征及面面平行的判定与性质判断CD. 【解答过程】    对于A，，底面，底面，则 ， 又平面，则平面，平面，所以，A正确； 对于B，，则平面，又平面，则平面平面， 而平面与平面重合，平面平面，B正确；    对于C，在正方体中，， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 由平面，得平面，C正确； 对于D，由于分别为上的动点，则与不一定相等，与不一定平行，D错误. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·随堂练习）设m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，则存在直线 ，使 【解题思路】A,B,C,D四个选项已知条件都是面面垂直，因此利用面面垂直的性质定理判断即可. 【解答过程】对于A，可能为平行、垂直、异面直线，故A错误; 对于B，缺少了条件，故B错误; 对于C，选项具备了面面垂直的性质定理的全部条件，故C正确; 对于D，当且直线m与两平面的交线垂直时，一 定有,故D正确. 故选：CD. 10．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【解题思路】利用面面垂直的性质和判定判断A，B，C，利用分析法结合面面垂直的性质判断D即可. 【解答过程】因为，为的中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以，，所以A，B成立； 又平面，所以平面平面，所以C成立； 若平面平面，且， 而面面，平面， 所以平面，又平面， 则，但此关系不一定成立，故D错误. 故选：ABC. 11．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于 【解题思路】对于A，连接，交于，连接、，证明即可由线面平行判定定理得平面；对于B，证明平面即可得证平面；对于C，求证为二面角的平面角即可得解；对于D，由得为异面直线与所成的角，从而依据正三角形得解. 【解答过程】对于A，连接，交于，连接、， 则由正方体性质可知且， 所以四边形为平行四边形，故． 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，所以， 由正方体性质有、平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可得，又，平面， 所以平面，故平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，，又 所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误； 对于D，因为，所以为异面直线与所成的角， 由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一下·全国·单元测试）已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点B到的距离为 ． 【解题思路】根据折前折后不变的数量关系，二面角的平面角，利用等面积法求高． 【解答过程】如图， 图①中，由题意，， 所以， 因为， 所以为二面角的平面角， 即， 所以图②中， 设点B到的距离为h， 由等面积法可知， 即， 故答案为：． 13．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，平面平面，，且，则与平面所成角的大小是 ．    【解题思路】过点作于点，利用面面垂直的性质得到平面，从而得到为与平面所成的角，再利用几何关系，即可求出结果. 【解答过程】过点作于点，    平面平面，平面平面，平面， 平面，则为与平面所成的角， ，，， 故答案为：. 14．（24-25高一下·全国·课后作业）在正四面体中，，，分别是，，的中点，有下列四个命题： ①平面； ②平面平面； ③平面； ④平面平面． 其中正确命题的序号是 ①③④ ． 【解题思路】根据线线平行得出线面平行，根据线面垂直得出面面垂直分别判断各个小题. 【解答过程】    因为，分别是，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故①正确； 因为是的中点，所以，． 因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面，故④正确； 因为，所以平面，故③正确； 设，因为，分别是,的中点，所以O是中点, 若平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 由面，可得； 设正四面体边长为2，则等边三角形中得，则，与矛盾，②不正确． 故答案为：①③④. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 【解题思路】根据面面垂直的性质可得平面，即可得，结合，即可由线面垂直的判定求证. 【解答过程】由题意知为正三角形，是AD的中点，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，. 又四边形是菱形且， 是正三角形，.又，，平面， 平面. 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上的一点，且，求二面角的大小． 【解题思路】首先根据题意易证，，从而得到是二面角的平面角，再求其大小即可. 【解答过程】由已知平面，平面，所以． 因为是的直径，且点在圆周上，所以． 又因为，平面，所以平面． 又平面，所以． 又因为是二面角的棱， 所以是二面角的平面角． 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以，即二面角的大小是． 17．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中． (1)求直线和平面所成的角； (2)求直线和平面所成的角． 【解题思路】（1）根据正方体性质，知道平面，则就是与平面所成的角，计算即可． （2）连接，与相交于点，连接.证明为斜线在平面上的投影，则为和平面所成的角．再结合锐角三角函数解题即可. 【解答过程】（1）根据正方体性质，平面，就是与平面所成的角， 在中，，， ，和平面所成的角是． （2）连接，与相交于点，连接，如图所示．设正方体的棱长为． 平面，平面，， 又，，，平面，平面， 为斜线在平面上的投影，为和平面所成的角． 在中，，， ．． 直线和平面所成的角为． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为等边三角形．    (1)求证：； (2)若为边上的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【解题思路】（1）连接，，由三线合一可得，，因为平面，所以； （2）先证明平面平面，再结合平面，最后应用面面垂直判定定理得证． 【解答过程】（1）设为的中点，连接，，如图．    因为为等边三角形，所以， 在菱形中，，为的中点，所以． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 如图，设为的中点，连接，，，则在中，， 因为平面，平面， 所以平面，在菱形中，， 因为平面，平面，所以平面， 而，平面，， 所以平面平面． 由（1）得平面，而平面， 所以平面平面． 所以平面平面． 19．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到平面的距离． 【解题思路】（1）由面面垂直的性质定理得到平面，再由面面垂直的判定定理证明即可； （2）则，则，故平面，点到平面的距离为FG，由余弦定理计算即可. 【解答过程】（1）证明：因为，E为AB的中点，则． 又，则为正三角形，所以． 因为，，则． 从而，即． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 由平面，得平面平面． （2）取的中点，连接． 因为为PC的中点，则，且， 所以平面，所以点到平面的距离为FG． 在中，，， 则，即，所以， 即点到平面的距离为． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$