专题06 函数三大性质：奇偶性，单调性，周期性（13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（人教A版2019必修第一册）

专题06 函数三大性质：奇偶性，单调性，周期性 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：奇偶性 题型二：单调性 题型三：周期性 题型四：三大性质“识图” 题型五：三大性质求解析式 题型六：三大性质解不等式 题型七：三大性质应用：平移 题型八：三大性质应用：抽象函数 题型九： 广义奇函数：中心对称 题型十： 广义偶函数：轴对称 题型十一：对称构造周期 题型十二：双函数性质应用 题型十三：系数为r型综合 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01奇偶性 ⭐技巧积累与运用 .判定函数的奇偶性的常见方法： （1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立； （2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数； （3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论（在定义域内）复合函数： 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数 1．已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（   ） A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数 D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性的定义判断A，B；举反例判断C；根据单调性的定义判断D． 【详解】解：对于A，令， 则， 所以为偶函数，即是偶函数，故A正确； 对于B，令， 则， 所以是偶函数，即是偶函数，故B正确； 对于C，取，则在R上单调递减， 则，在R上单调递增，故C错误； 对于D，因为是单调递增函数， 任取，且， 则， 所以， 所以也是单调递增函数，故D正确. 故选：C. 2．已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数定义，结合直接求解. 【详解】因为为奇函数， 所以， 令，得，所以. 故选：A. 3．已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【详解】令，则， 由，可得， 即，. 因为是定义在上的减函数，所以也是定义在上的减函数， 故，即. 因为，所以，即实数的取值范围是. 故选：B 题型02单调性 ⭐技巧积累与运用 单调性的运算关系： ①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 ． 1．已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得到在定义域上单调递减，再利用分段函数、一次函数、反比例函数的性质，即可求解. 【详解】因为，且， 不妨设，则，， 所以在定义域上单调递减， 当时，在区间上单调递减，所以， 当时，，，为减函数， 又，解得， 综上： 故选：A. 2．定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，则由，可得，构造函数，从而可得出函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，不妨设， 则由，可得， 则， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递减， 由，得， 由，得， 因为函数的定义域为，所以， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性的定义推出在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的. 【详解】不妨设，由，可得：， 则函数，在R上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 故选：B． 题型03 周期性 ⭐技巧积累与运用 周期性 ①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b. ②常见的周期函数有： f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a. 1．若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和. 【详解】根据题意，定义在上的函数满足 则，故函数为周期函数，4是函数的一个周期. 因是上的奇函数，则，的图象关于点对称， 于是，， 在，取，得， 因， 则 ， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对称性解题. 2．若定义在上的函数满足是奇函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】根据已知得函数的周期为4，再结合函数是奇函数得出，进而计算一个周期函数值和为0，最后计算求值. 【详解】由得，函数的周期为4， 又是奇函数，所以函数的图象关于对称，即， 因为，令可得 令得：，所以， 故. 故选：A. 3．已知函数的定义域为R，值域为，若，函数为偶函数，，则（   ） A．4050 B．4552 C．4554 D．4556 【答案】C 【分析】由条件证明为周期函数，周期为，再证明函数为偶函数，再结合函数性质求，利用加法的运算律求结论. 【详解】由可得，① 对任意的，，所以，，② 由①②可得，所以函数是周期为4的周期函数. 因为为偶函数，则， 因为，由可得， 且，由可得， 因为，所以，，故函数为偶函数， 因为，则，所以，， 由可得，因为，所以， 故选：C. 题型04三大性质“识图” 1．函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据与关系判断函数的奇偶性，再利用即可选出符合题意的图象. 【详解】由题意知定义域为R， 由，故函数为奇函数，图象关于原点对称，C，D错误； 又，故B错误，A正确. 故选：A. 2．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数的定义域，结合幂函数和指数函数的增长速度的不同可得时，，证明时，，由此判断正确选项. 【详解】函数的定义域为， 当时，，，所以， 当时，，， 随的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于大于的增长速度， 故当时，. 由于ABD不满足以上条件，故函数的图象大致为C. 故选：C. 3．函数的图象简图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域判断即可. 【详解】由，得，解得或， 则的定义域为或， 可知在处处无意义，故ABC错误；D正确. 故选：D. 题型05三大性质求解析式 1．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的定义列式，消去得到的解析式，即可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为是偶函数，所以， 即①， 因为是奇函数，所以， 即②， ①②联立得，所以. 故选：A. 2．已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且．若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性求的解析式，再由转化为，设，由在上单调递增求参数的取值范围. 【详解】因为，， 由，用代替得：即， 所以. 由，得. 设，则在上单调递增. 所以或或，即或或，所以. 故选：C 【点睛】方法点睛：二次函数在给定区间上的单调性问题，一般要讨论抛物线开口方向与区间与对称轴的位置关系. 3．已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到新的等式，联立消去即可求得结果. 【详解】因为①， 函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数， 所以，即②， ②①得，即， 所以， 故选：B. 题型06三大性质解不等式 1．已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得函数关于点对称，结合单调性可得函数在上单调递增，再转化不等式为，由单调性即可列不等式得解集. 【详解】因为，则，所以函数关于点对称， 又函数在单调递增，所以函数在上单调递增， 即函数在上单调递增， 不等式转化为， 所以，即，解得， 故不等式的解集为. 故选：C. 2．设函数，则不等式的解集为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且，即为偶函数， 当时与，与均在上单调递增， 所以与均在上单调递增， 所以在上单调递增，则不等式等价于， 即，解得或， 即不等式的解集为. 故选：B. 3．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数性质及区间单调性可得，两边平方求解集. 【详解】依题意，得在上为增函数，且为偶函数， 所以，即， 所以，两边平方得，解得． 故选：D 题型07 三大性质应用：平移 ⭐技巧积累与运用 图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移 (1)平移变换：上加下减，左加右减 (2)对称变换 ①y＝f(x) y＝－f(x)； ②y＝f(x) y＝f(－x)； ③y＝f(x) y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)． ⑤y＝f(x) y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x) y＝f(|x|)． 1．已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为（    ） A．6 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】将图象与两坐标轴围成的图形面积，转化为图象与所围成的图象面积.利用的单调性、对称性等知识求得围成图形的面积. 【详解】由题可知函数图象为图象向左平移一个单位得到， 图象与两坐标轴围成的图形面积即为图象与所围成的图形面积， ，由得，解得， 所以的定义域为， 则有，函数的图象关于点成中心对称， 又，且点与点也关于点成中心对称， ， 由复合函数单调性可得函数在区间上单调递减， 如图，根据对称性可知图象与所围成的图形面积是， 也即图象与两坐标轴围成的图形面积为. 故选：C 【点睛】本题涉及到多个函数的性质，如函数定义域的求法、函数图象变换（左加右减）、函数图象的对称性的判断方法、复合函数单调性的判断，还有对称图形面积的求法，需要利用数形结合的数学思想方法来求解. 2．已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数性质、对称性求得、、，进而有，再确定的周期，利用周期性求函数值的和. 【详解】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得． 由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 所以，， 综上，， 由上，，得， 所以，则4为的一个周期， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键. 3．已知定义在上的函数满足：为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】依题意可得、，再结合所给解析式计算可得. 【详解】因为为奇函数，所以， 因为为偶函数，所以， 所以， 又时，，则， 所以. 故选：B 题型08 三大性质应用：抽象型 1．已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由结合题意，利用单调性的定义法判断在上是增函数，利用赋值法得，从而原不等式等价，利用单调递增化为，解一元二次不等式即可得解. 【详解】任取，且，因为， 所以， 因为时，，所以， 所以，即， 所以在上是增函数. 令，所以，令，所以， 不等式等价于， 所以即，因为在上是增函数， 所以，解得或. 故选：B 2．若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【分析】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【详解】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 3．函数的定义域为为奇函数，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由可判断是周期为6的函数，再结合的性质，计算的值，结合周期性得到. 【详解】由可知， 所以， 又有， 故得， 由为奇函数可知关于中心对称， 通过赋值计算知： ， 故． 故选：B. 题型09 广义奇函数：中心对称 ⭐技巧积累与运用 中心对称： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 1．定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式，结合函数单调性的定义可以判断出函数的单调性，再根据函数平移的性质，结合已知定义可以判断函数的奇偶性，最后利用函数的单调性、奇偶性，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】对任意，都有， 不妨设，由， 所以函数是实数集上的减函数， 函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数是以为中心的“中心捺函数”， 所以函数是以为中心的“中心捺函数”， 因此函数是奇函数， 由 ， 当时，则有，此时没有意义， 当时，由， ，由， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据不等式判断函数的单调性，利用函数平移判断函数的对称性. 2．已知函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，令，可得为奇函数，则的图象关于点中心对称，可得，由可得， 利用导数确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】根据题意，函数， 所以， 令， 则，所以为奇函数， 所以的图象关于点中心对称，所以， 由，可得， 所以， 由， 则， 所以函数单调递减， 由可得，， 即，解得，实数a的取值范围是. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：令，证得为奇函数，可得的图象关于点中心对称，由可得，再利用导数确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 3．已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合条件得到：，然后根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】由题意得，函数， 设（）， 由，得从而：， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数； 则可得：，即， 整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 题型10 广义偶函数：轴对称 ⭐技巧积累与运用 1．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用图象变换，结合偶函数的性质求出值. 【详解】依题意，，函数是偶函数，其图象关于直线对称， 函数的图象可视为函数的图象向左（）或向右（）平移个单位而得， 因此函数的图象对称轴为，所以，即. 故选：D. 2．已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件证明函数的图象关于对称，再判断函数在上的单调性，结合函数的性质化简不等式求其解. 【详解】因为，所以， 故函数的图象关于对称， 因为当时，， 函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以不等式可化为， 所以，所以， 故不等式的解集为. 故选：B . 3．已知定义在上的函数满足，且对于，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性及对称性脱去“f”，解不等式得解. 【详解】由可知函数图象关于对称， 由，恒成立知函数在上单调递增， 所以由可知，， 平方后可得，解得或， 故选：D 题型11 对称构造周期 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 函数的周期性：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； 1．已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象关于点对称和找到图象的对称轴和周期，再由确定单调性，分别求出，画出大致图象，最后数形结合求出取值范围. 【详解】由的图象关于点对称可得． 由，可得， 故函数的图象关于直线对称， 且，得的周期为2． 当时，， 单调递增，且，则，， 画出在一个周期内的大致图象如图所示： 当时，结合图象可得，即． 故实数m的取值范围为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据函数的图象关于点对称，确定函数的周期和对称轴. 2．已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得出函数的周期性，再结合奇函数的性质得出函数的值域，从而不等式恒成立转化为新不等式有解，再根据和分类讨论可得． 【详解】由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称， 由任意的x，总有成立，即恒成立， 于是得函数的周期是4，又当时，， 而是奇函数，当时，， 又，，从而行， 即时，，而函数的周期是4， 于是得函数在R上的值域是， 因为对任意，存在，使得成立， 从而得不等式在R上有解，当时，显然成立， 当时，在R上有解，必有，解得， 则有. 综上得. 故选：B． 【点睛】结论点睛：不等式恒成立问题的转化：的定义域是，的定义域是， （1）对任意的，存在，使得成立； （2）对任意的，任意的，恒成立； （3）存在，对任意的，使得成立； 3．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且在区间上是增函数．记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知函数周期，在上是减函数，且，又，，，进而可得结果. 【详解】根据题意，函数的定义域为，为偶函数， 即， 又为奇函数，则，即， 所以，则， 即函数周期为， 在区间上是增函数，则在区间上是增函数， 又为奇函数，则，所以， 而，， ， 所以. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由题意可知函数周期，在上是减函数，且，进而可比较大小. 题型12 双函数性质应用 ⭐技巧积累与运用 双函数性质： 1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质 2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系 传递中心，对称轴，与周期 若函数关于轴对称，关于中心对称，则函数的周期为， 若函数关于轴对称，关于轴对称，则函数的周期为， 若函数关于中心对称，关于中心对称，则函数的周期为. 1．已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】由条件变形求出的图像关于对称，利用奇函数性质可得的图象关于点中心对称，进一步求得是以4为周期的周期函数，变形可得也是以4为周期的周期函数，赋值法求出，从而利用周期可求得答案. 【详解】因为的图象关于对称，所以． 因为①，则， 即②， ①②得，， 所以的图像关于对称． 令，则是奇函数， 所以，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数． 因为，所以． 因为是以4为周期的周期函数， 所以也是以4为周期的周期函数， 由，取，，所以． 因为，所以， 所以． 由，取，所以， 所以， 所以. 故选：B． 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下 （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心. 2．已知函数的定义域均为R，且满足则（    ） A．3180 B．795 C．1590 D．1590 【答案】D 【分析】根据递推关系可得且，进而有，构造易知是周期为2，分别求得、，再求、，根据周期性求，最后求和. 【详解】由，则，即， 由，则，即， 又， 即， 所以，故， 综上，，则，故关于对称， 且有， 令，则，即的周期为2， 由知：关于对称且， 所以，即，则， 由，可得，则， 所以则；则， 依次类推：，，……，， 所以. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据递推式得且，构造并确定其周期，依据周期性求. 3．设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】A 【分析】由得，结合已知得，进而有，由可判断C项中的对称性；由为奇函数可得的周期、对称性及特殊值，从而化简判断A正误；B、D由，结合A即可判断. 【详解】C：由，则，则， 又，所以，令得，即. 所以，所以函数的图象关于对称， 而，，则的图象关于对称，错； A：为奇函数，则关于对称，且， ∴，，，，∴. 又，∴， ∴的周期， ∴，对； D：因为，所以， 所以，错； B：，错. 故选：A 【点睛】关键点睛：利用导数得，结合已知得到，进而求其周期和对称性，应用周期和对称性求、、的值. 题型13系数为r型综合 ⭐技巧积累与运用 带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移 1．已知函数的定义域为，且为奇函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据求出的一个周期为4，由为奇函数求出函数的图象关于点对称，然后求解即可. 【详解】由，则， 所以，所以的一个周期为4. 由，令，则有，所以. 因为为奇函数，所以，所以， 所以函数的图象关于点对称， 所以，所以， 令，则，即， 令，则， 令，则，而， 又因为的一个周期为4， 所以 ， 故选：B. 2．已知函数的定义域均为，的图象关于点中心对称，，，，则（    ） A． B．2 C． D．1003 【答案】C 【分析】根据题意，可得，即是上的偶函数和以4为周期的周期函数，从而也是以4为周期的周期函数，可得解. 【详解】因为的图象关于点中心对称，所以①． 因为，所以②． 因为③，所以④． ③④得，，所以是上的偶函数， 所以①可变形为，则， 故，所以是以4为周期的周期函数． 由④可得，则也是以4为周期的周期函数． 因为，又， 所以，所以． 故选：C． 【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可. 3．已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为奇函数，结合导数运算，由为奇函数，得到，通过整理可得，进而分析得到,,从而得出结果. 【详解】为奇函数，. 即，两边求导得， 则，可知关于直线对称， 又为奇函数，所以， 即，可知关于直线对称， 令，可得，即， 由，可得， 由，可得，即， 可得，即， 令，可得； 令，可得； 且，可知为的周期. 可知,, 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 能力培优 1．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题： ①；②函数图象的一条对称轴为； ③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根； 其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对于①，令代入已知等式可求出，再结合其为偶函数可得，从而可求出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，由当，且时，都有，可得在上为严格增函数，再结合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由，的周期为6，及函数的单调性分析判断. 【详解】①：对于任意，都有成立， 令，则，解得， 又因为是R上的偶函数，所以， 所以，所以函数的周期为6， 所以， 又由，故；故①正确； ②：由（1）知的周期为6， 又因为是R上的偶函数，所以， 而的周期为6，所以，， 所以：， 所以直线是函数的图象的一条对称轴．故②正确； ③：当，且时，都有． 所以函数在上为严格增函数， 因为是R上的偶函数，所以函数在上为严格减函数， 而的周期为6，所以函数在上为严格减函数．故③正确； ④：，的周期为6，所以， 又在先严格递减后严格递增，所以在上除端点外不存在其他零点， 所以在和上各有一个零点， 所以函数在上有四个零点．故④正确； 故选：D． 【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法求出，从而可得，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析问题的能力，属于较难题. 2．设函数的定义域为，且，则（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】B 【分析】令结合得，令得，令，，得，令，分别令可以得到，令，得的周期为，所以. 【详解】因为，令，有，则或． 若，则令，有，得，与已知矛盾，所以． 令，有，则，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，有，得， 令，有，即， 所以，故，所以的周期为， 所以． 故选：B． 【点睛】方法点睛：赋值法解决抽象函数问题，通过对赋值，得到相应的函数值，进而研究函数性质或者得到待求函数值. 3．已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（    ） A． B．1 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】借助赋值法结合题意可得函数的对称性与周期性，结合题目中所给条件可得，即可得解. 【详解】因为为偶函数，所以①， 因为，所以， 结合①有②， 因为为奇函数，所以，所以， 结合②有，所以，所以， 所以的周期为8．因为，所以， 同理，由，得， 所以，， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，所以， 所以的周期为8，所以， 由，得， 由，得，所以， 所以． 故选：A. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 4．已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的，， 故对任意的，，故函数的定义域为， 因为 ，所以，，函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以，函数在上为增函数， 由，可得， 所以，， 所以，，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以，函数在、上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得，此时，； 当时，则， 所以，函数在上单调递减，在、上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（    ） A． B．，使得 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A，令，代入求值即可；对于B，设，则总存在正整数，使得，此时，与②矛盾；对于C，根据单调性的定义证明函数在上单调递减，再结合奇函数的性质可得函数在上的单调性；对于D，根据函数的单调性和奇函数的性质，以及，可解不等式. 【详解】对于A，令，则，故正确； 对于B，假设，，， 则一定存在正整数，使得，此时与条件②矛盾，故错误； 对于C，假设，使得， 由，得，， 则一定存在正整数，使得，此时，与条件②矛盾， 故，有； 设，且， 由，得， 由任意的实数，都有，得，， 故，即，有； 综上，，有； 又， 所以在上单调递减，由于函数是定义在上的奇函数， 所以函数在上单调递减，故正确； 对于D，，则. 又，. ，， 所以，， 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 又函数是定义在上的奇函数，所以； 故解集为，故正确. 故选：ACD. 6．已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，根据的图象关于对称，所以关于轴对称，故，A正确；B选项，由奇函数性质得到，故，B错误；CD选项，由题目条件得到，结合得到，故，推出，得到周期，赋值法得到，，并利用周期求出. 【详解】A选项，因为的图象关于对称，所以关于轴对称， 故是偶函数，则，故A正确； B选项，因为是奇函数，所以，即，故B错误； CD选项，由得， 又，所以，又， 即，即，则， 所以，所以①， 即②， ②-①得，所以函数的周期为4， 令，由，得， 再令，则，所以， 又，由， 所以 ，故C，D正确. 故选：ACD. 7．已知定义域为R的函数满足为偶函数.当时，，且当时，.对，都有，则的取值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】由条件可求得当，，，时的函数解析式，并且计算当时，的解，结合图像求的最小值. 【详解】因为定义域为的函数满足为偶函数， 所以函数关于对称，， 因为当时，，当时，， 所以当时，，则， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 如图，画出函数图像 当时，令，解得或， 对，都有， 结合图像，得. 故选：CD. 8．已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则 【答案】16 【分析】根据奇函数的定义以及图像平移可知与的图像的交点关于点对称，结合对称性即可得结果. 【详解】因为函数为奇函数， 则，可得， 可知的图象关于点对称， 又因为， 将向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即可得， 可知的图象关于点对称， 由题意可知：与的图象的交点关于点对称， 可得， 所以. 故答案为：16. 9．已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】构造得，则其为增函数，然后分类讨论即可. 【详解】因为函数对任意给定的实数，使恒成立， 即，所以函数在上为增函数， 又函数是上的奇函数，所以， 则不等式， 当，即时，则，解得，此时无解； 当，即时，，解得，则， 综上解集为. 故答案为：. 10．已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【分析】构造函数，根据奇偶性定义可知为奇函数，从而代入运算即可. 【详解】是定义在上的奇函数，则有， ， 设，函数定义域为， ，为奇函数， 则有，即，所以. 故答案为：4. 高考真题 1．（2024天津高考）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 2．（2024全国高考2卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 3．（2024全国高考1卷）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 4．（2024全国高考2卷）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 5．（2024全国高考甲卷）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数三大性质：奇偶性，单调性，周期性 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：奇偶性 题型二：单调性 题型三：周期性 题型四：三大性质“识图” 题型五：三大性质求解析式 题型六：三大性质解不等式 题型七：三大性质应用：平移 题型八：三大性质应用：抽象函数 题型九： 广义奇函数：中心对称 题型十： 广义偶函数：轴对称 题型十一：对称构造周期 题型十二：双函数性质应用 题型十三：系数为r型综合 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01奇偶性 ⭐技巧积累与运用 .判定函数的奇偶性的常见方法： （1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立； （2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数； （3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论（在定义域内）复合函数： 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数 若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数 1．已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（   ） A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数 D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数 2．已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C．0 D．2 3．已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型02单调性 ⭐技巧积累与运用 单调性的运算关系： ①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 ． 1．已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型03 周期性 ⭐技巧积累与运用 周期性 ①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b. ②常见的周期函数有： f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a. 1．若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．若定义在上的函数满足是奇函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 3．已知函数的定义域为R，值域为，若，函数为偶函数，，则（   ） A．4050 B．4552 C．4554 D．4556 题型04三大性质“识图” 1．函数的图象为（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象简图可能是（   ） A． B． C． D． 题型05三大性质求解析式 1．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且．若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 题型06三大性质解不等式 1．已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．设函数，则不等式的解集为（   ）. A． B． C． D． 3．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型07 三大性质应用：平移 ⭐技巧积累与运用 图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移 (1)平移变换：上加下减，左加右减 (2)对称变换 ①y＝f(x) y＝－f(x)； ②y＝f(x) y＝f(－x)； ③y＝f(x) y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)． ⑤y＝f(x) y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x) y＝f(|x|)． 1．已知函数，若，则图象与两坐标轴围成的图形面积为（    ） A．6 B． C．4 D．2 2．已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知定义在上的函数满足：为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B．1 C．2 D． 题型08 三大性质应用：抽象型 1．已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 2．若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 3．函数的定义域为为奇函数，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 题型09 广义奇函数：中心对称 ⭐技巧积累与运用 中心对称： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 1．定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型10 广义偶函数：轴对称 ⭐技巧积累与运用 1．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数满足，且对于，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型11 对称构造周期 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 函数的周期性：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； 1．已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且在区间上是增函数．记，，，则（    ） A． B． C． D． 题型12 双函数性质应用 ⭐技巧积累与运用 双函数性质： 1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质 2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系 传递中心，对称轴，与周期 若函数关于轴对称，关于中心对称，则函数的周期为， 若函数关于轴对称，关于轴对称，则函数的周期为， 若函数关于中心对称，关于中心对称，则函数的周期为. 1．已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 2．已知函数的定义域均为R，且满足则（    ） A．3180 B．795 C．1590 D．1590 3．设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A． B． C．， D． 题型13系数为r型综合 ⭐技巧积累与运用 带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移 1．已知函数的定义域为，且为奇函数，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域均为，的图象关于点中心对称，，，，则（    ） A． B．2 C． D．1003 3．已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 能力培优 1．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题： ①；②函数图象的一条对称轴为； ③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根； 其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设函数的定义域为，且，则（    ） A． B．0 C．4 D． 3．已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（    ） A． B．1 C．2023 D．2024 4．已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（    ） A． B．，使得 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 6．已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 7．已知定义域为R的函数满足为偶函数.当时，，且当时，.对，都有，则的取值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则 9．已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，有恒成立，则不等式的解集是 ． 10．已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 高考真题 1．（2024天津高考）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 2．（2024全国高考2卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2024全国高考1卷）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 4．（2024全国高考2卷）若为偶函数，则 ． 5．（2024全国高考甲卷）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$