16.2 二次根式的乘除（第2课时 二次根式的除法）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第16章 二次根式 16.2 二次根式的乘除 第2课时 二次根式的除法 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 了解二次根式的除法法则.（重点） 2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算. （难点） 3. 能将二次根式化为最简二次根式.（重点） 情景导入 二次根式的乘法法则： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 计算 公式逆用： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. 化简 新知探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1） = _______， = _______； （2） = _______， = _______； （3） = _______， = _______. 一般地，二次根式的除法法则是 例题讲解 例4 计算： 解: 例题讲解 例5 化简: 解: 例题讲解 例6 计算: 例题讲解 概念归纳 观察上面例4、例5、例6中各小题的最后结果，比等， 可以发现这些式子有如下两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式 例题讲解 例7 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知 ，求a的值. 解：∵ ∴ 现在来看本章引言中的问题． 如果两个电视塔的高分别是，，那么它们的传播半径之比是．这个式子还可以化简： 我们看到，这个比与地球半径无关．这样，只要知道，，就可以求出比值． 课堂练习 1. 计算： （1） ； （2） ； 解：（1） （2） 1. 计算： （3） ； （4） ； （3） （4） 解： 2. 把下列二次根式化成最简二次根式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 3. 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知S=16， b= ，求a. 解：因为S=ab，所以 分层练习 A 【点技巧】最简二次根式的两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． B 【答案】B 6. 计算： D 8. 电流通过导线时会产生热量，电流I(单位：A)、导线电阻R(单位：Ω)、通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足Q＝I2Rt.已知导线的电阻为2 Ω，1 s内导线产生50 J的热量，则电流I为(　　) A．2 A B．5 A C．8 A D．10 A B 【答案】B 8 2 (1)已知小明家住21层，每层的高度近似为3 m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间．(结果保留根号) (2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64 J的动能，高空抛物动能(J)＝10×物体质量(kg)×下落高度(m)，某质量为0.1 kg的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？ 习题 1. 计算： 解： 36 2.计算： 解： 2.计算： 解： 3.化简： 解： 4.化简： 解： 4.化简： 解： 5.根据下列条件求代数式 的值； (1) a=1，b=10，c=－15； 解： (2) a=2，b=－8，c=5． 解： 设长方形的面积为S，相邻两边分别为a，b． (1) 已知 ， ，求S； (2) 已知 ， ，求S． 6. 解： 设正方形的面积为S，边长为a． (1) 已知S=50，求a； (2) 已知S=242，求a． 7. 解： 计算： 8. 解： 解： 已知 ，求 与 的近似值． 9. 解： 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知 ， 求b． 10. 解： 已知长方体的体积 ，求它的底面积S． 11. 如图，从一个大正方形中裁去面积为15 cm2和24cm2的两个小正方形，求留下部分的面积． 12. 解： ∵面积为15 cm2的正方形的边长为 cm，面积为24cm2的正方形的边长为 (cm)， ∴留下部分的面积为 用计算器计算： 13. 解： 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： . 课堂小结 一、二次根式的除法法则： (a≥0, b>0) 二、最简二次根式特征： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)； ③分母中不含二次根式. 三、利用商的算术平方根的性质： (a≥0, b>0) 四、思想方法： 类比思想，转化思想 1. [2024北京四中期中]下列根式是最简二次根式的是(　　) A． B． C． D． 2. 下列各式计算正确的是(　　) A．÷＝4 B．÷＝ C．÷＝5 D．÷＝7 3. [2024周口期末]若＝成立，则x的值可以是(　　) A．－2 B．0 C．2 D．3 【点拨】∵＝成立，∴解得－1≤x＜2.∴x的值可以是0. 4. 已知不等式2x－＞0，则这个不等式的解集为________. x＞ 5.设长方形的面积为S，相邻的两边长分别为a，b，若S＝4，a＝，则b＝________. (1)÷(a＞0，b＞0)； (2)； 原式＝＝×＝. 【解】原式＝＝＝2a. (3)×÷； (4)÷÷. 【解】原式＝5×4÷2＝(5×4÷2)＝10. 原式＝÷÷＝＝. 7. 将化为最简二次根式，其结果是(　　) A．　 B．　 C．　 D． 9. 如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①·＝1；②＝；③÷＝－b，其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【点拨】∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0.∴·＝1，＝，÷＝－b. 10.[2024石家庄期末]已知最简二次根式与的被开方数相同，则a＋b＝________. 【点拨】由题意得解得∴a＋b＝8. 11.若×4÷＝2×4×÷4＝b，则a＝________，b＝________. 【点拨】由题意可得b＝×4÷＝＝2. ∴a＝×2＝×2＝. 【解】原式＝·＝·＝＝. 当x＝3时，原式＝.(所取x值不唯一) 12.先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值. 13.小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见提示“高空抛物害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t(单位：s)和下落高度h(单位：m)近似满足公式t＝(不考虑风速的影响，g≈10 m/s2，≈2.236) 【解】由题意可知h≈20×3＝60(m)． ∴t＝≈＝2(s)． ∴该物品落地的时间约为2 s. 【解】该玩具最低的下落高度h＝＝64(m)， ∴t＝≈＝≈＝3.577 6(s)． ∴最少经过约3.577 6 s落地就可能会伤害到楼下的行人． 14.阅读下面的材料，解答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，＋1与－1. 这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了，例如：＝＝，＝＝＝＝. (1)请你写出3＋的有理化因式：_________________； (2)请仿照上面给出的方法化简(b≥0且b≠1)； 3－(答案不唯一) 【解】原式＝＝＝1＋. (3)已知a＝，b＝，求的值. 【解】a＝＝＝－－2， b＝＝＝－＋2.把a，b的值代入，得＝＝＝4. $$