第二单元 长方体（一）（预习自检卷一）-2025年五年级数学寒假自学课（北师大版）

编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年五年级数学寒假自学课 第二单元 长方体（一）（预习自检卷一） 一、填空题（满分20分，每小题2分） 1．（2分）用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长（ ）cm的铁丝。 2．（2分）一个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是10cm（如图），一只蚂蚁从点A沿着长方体的棱爬到点B，至少要爬（ ）cm。 3．（2分）下面图形折叠成正方体，“恰”字的对面是（ ）字，“快”字的对面是（ ）字。 4．（2分）一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图（如图，单位：cm）。图中阴影部分的面积是（ ）cm2。 5．（2分）做一个无盖的长方体鱼缸，用了下面几块长方形玻璃。 （1）用上面的（ ）号玻璃做鱼缸底最合适。（填序号） （2）做好这个鱼缸，至少需要（ ）平方分米的玻璃。 6．（2分）如图，用铁丝焊接一个长方体框架，三条棱长如图所示。如果继续焊完这个框架，还需要（ ）米的铁丝；给这个长方体框架包上包装纸，那么这个长方体的占地面积是（ ）平方米。 7．（2分）如图，将4个棱长为6cm的小正方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积会比原小正方体的表面积之和（ ）（填“增加”或“减少”）（ ）cm2。 8．（2分）把3个棱长为3分米的正方体木箱放在墙角处（如图），有（ ）个面露在外面，露在外面的面积是（ ）平方分米。 9．（2分）（如下图）5个棱长2厘米的正方体铁箱堆放在墙角，露在外面的面的面积是（ ）平方厘米。 10．（2分）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是（ ）平方厘米。 二、判断题（满分10分，每小题2分） 11．（2分）正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体。（ ） 12．（2分）如果把5个棱长为1厘米的正方体排成一个长方体后，那么表面积比原来减少了6平方厘米。（ ） 13．（2分）一个长方体棱长总和是36cm，相交于一个顶点的三条棱长之和是9cm。（ ） 14．（2分）4个小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面有8个。（ ） 15．（2分）将一个长方体分割成2个长方体，2个长方体的表面积之和与原长方体的表面积相比，没有发生变化。（ ） 三、选择题（满分10分，每小题2分） 16．（2分）如图，把4个棱长3cm的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是（    ）cm2。 A．9cm2 B．27cm2 C．81cm2 D．100cm2 17．（2分）下面图形不是正方体展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 18．（2分）把4个长是10厘米、宽是8厘米、高是1厘米的长方体盒子放在一起用彩纸包装起来。下面最节省包装纸的方案是（    ）。 A．B．C．D． 19．（2分）一个长方体中，相交于一个顶点的三条棱长分别是1cm、2cm、3cm，把这个长方体整个放在桌面上，占用桌面面积最大的是（    ）。 A．3cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．12cm2 20．（2分）在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法判断 四、计算题（满分6分） 21．（6分）求下面立体图形的表面积。（单位：分米） 五、操作题（满分6分） 22．（6分）下图是一个长方体表面展开图的一半，请把展开图补充完整。（画出两种） 六、解答题（满分48分） 23．（6分）学校要修建一个长30米、宽20米、深1.5米的游泳池，需要在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 24．（6分）笑笑的房间长4米，宽3米，高2.8米。除去门窗4.2平方米，房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，这个房间至少需要多大面积的墙纸？ 25．（6分）淘气用两根同样长的铁丝，一根刚好围成一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，另一根刚好围成一个正方体框架，围成的正方体框架的棱长是多少厘米？ 26．（6分）收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 27．（6分）奇思上课时用相同的正方体剪开得到不同形状的展开图，惊奇地发现所有展开图的周长都是70厘米。奇思剪开的正方体展开图的面积是多少？（请画出任意一种正方体展开图，再计算） 28．（6分）一种无盖帆布收纳箱的形状是长方体，为了让收纳箱稳固，里面配置了一个与收纳箱长、宽、高完全相同的金属支架，如下图。 （1）焊制收纳箱的金属支架至少需要多长的金属条？ （2）加工制作这个收纳箱至少需要多大的帆布（手柄共用布0.6平方分米）？ 29．（6分）一间教室长7.5米，宽6米，高4米，扣除门窗和黑板的面积18平方米，现在要粉刷教室的四面墙壁和顶棚。 （1）要粉刷的面积是多少？ （2）如果每平方米用涂料200克，共需涂料多少千克？ 30．（6分）4个棱长为10厘米的正方体纸箱放在墙角（如图）。 （1）有几个面露在外面？ （2）露在外面的面积是多少平方厘米？ 参考答案 1．【分析】题目中的相交于同一个顶点的三条棱的长度就是长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【解答】 （cm） 用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长80cm的铁丝。 2．【分析】根据题意可知：蚂蚁从A点沿着一个长方体框架的棱爬到B点，至少应爬一个高、一个长、一个宽，10cm就是长方体的长宽高的和，据此即可解答。 【解答】在如图的长方体中，相交于同一顶点的三条棱长之和是10cm，至少要爬10cm。 故答案为：10 3．【分析】1－4－1型正方体展开图，如果“春”字在下面，则“恰”字在左面，“风”字在右面，“乐”字在上面，“快”字在后面，“如”字在前面，上下面相对，左右面相对，前后面相对，据此分析。 【解答】根据分析，“恰”字的对面是风字，“快”字的对面是如字。 4．【分析】根据题意，一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图，图中阴影部分是一个长5cm，宽是2cm的长方形，根据长方形面积＝长×宽，据此解答。 【解答】5×2＝10（cm2） 所以图中阴影部分的面积是10cm2。 5．【分析】（1）根据题意，选择只有一个的尺寸作为鱼缸的底，选择长和宽匹配的长方形作为鱼缸的围边，以确定能组成无盖长方体鱼缸。 （2） 求至少需要多少平方分米的玻璃，就是求这个无盖长方体鱼缸的表面积，即五个面的面积之和，即为①＋②＋③＋④＋⑤玻璃的和，依据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽。将数据代入公式计算即可。 【解答】（1）对比5个长方形，单独尺寸的只有①长方形玻璃，所以选择①作为鱼缸的底，其它玻璃作为围边。用上面的①号玻璃做鱼缸底最合适。 （2）鱼缸的表面积： 3×6＋4×6＋3×4＋4×6＋3×4 ＝18＋24＋12＋24＋12 ＝42＋12＋24＋12 ＝54＋24＋12 ＝78＋12 ＝90（平方分米） 做好这个鱼缸，至少需要90平方分米的玻璃。 6．【分析】根据长方体的特征可知，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，即长、宽、高各有4条；一般情况下长方体的6个面都是长方形，相对的面完全相同。 用铁丝焊接一个长方体框架，已知长、宽、高各焊了1条，则长、宽、高还各需3条，根据“（长＋宽＋高）×3”代入数据计算，即可求出还需铁丝的长度。 求这个长方体的占地面积，就是求长方体的底面积，根据“长方体的底面积＝长×宽”，代入数据计算求解。 【解答】（0.3＋0.4＋0.5）×3 ＝1.2×3 ＝3.6（米） 0.3×0.4＝0.12（平方米） 如果继续焊完这个框架，还需要3.6米的铁丝；给这个长方体框架包上包装纸，那么这个长方体的占地面积是0.12平方米。 7．【分析】看图可知，将4个小正方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积会比原小正方体的表面积之和减少了6个正方形的面，减少的面积＝正方体棱长×棱长×6，据此分析。 【解答】6×6×6＝216（cm2） 大长方体的表面积会比原小正方体的表面积之和减少216cm2。 8．【分析】观察可知，从正面看有3个面露在外面，从上面看有2个面露在外面，从右面看有2个面露在外面，再用加法计算一共有多少个面露在外面。接着根据，计算一个面的面积，有几个面再乘几，即可得露在外面的总面积。 【解答】从正面看有3个面露在外面，从上面看有2个面露在外面，从右面看有2个面露在外面。 （个） （平方分米） 有7个面露在外面，露在外面的面积是63平方分米。 9．【分析】观察图形可知，从正面看到5个面，从上面看到3个面，从右面看到2个面，中间的缺口处还能看见2个竖着的面，则露在外面的面一共有（5＋3＋2＋2）个； 由正方体的特征可知，每个面是边长为2厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面的面积。 【解答】露在外面的面有：5＋3＋2＋2＝12（个） 2×2×12 ＝4×12 ＝48（平方厘米） 露在外面的面的面积是48平方厘米。 10．【分析】观察图形可知，这个组合图形的表面积可以看做是棱长6厘米的正方体的表面积与棱长2厘米的正方体的4个面的面积与棱长是l厘米的正方体的4个面的面积之和，据此利用正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可解答。 【解答】1×1×4×4＋2×2×4×4＋6×6×6 ＝4×4＋4×4×4＋36×6 ＝16＋16×4＋216 ＝16＋64＋216 ＝80＋216 ＝296（平方厘米） 这个立体图形的表面积是296平方厘米。 11．【分析】由6个长方形（也可能两个相对的面是正方形）所围成的立体图形叫做长方体。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫立方体，是特殊的长方体。 【解答】正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体。 原题说法正确。 故答案为：√ 12．【分析】把5个棱长为1厘米的正方体排成一个长方体后，表面积比原来减少了8个正方形的面积，先求出1个正方形的面积，再乘8，求出减少的总面积。据此解答即可。 【解答】1×1×8＝8（平方厘米） 则如果把5个棱长为1厘米的正方体排成一个长方体后，那么表面积比原来减少了8平方厘米。原题干说法错误。 故答案为：× 13．【分析】根据长方体的特征可知，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 已知一个长方体棱长总和是36cm，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可知长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，代入数据计算，即可求出相交于一个顶点的三条棱长之和。 【解答】36÷4＝9（cm） 一个长方体棱长总和是36cm，相交于一个顶点的三条棱长之和是9cm。 原题说法正确。 故答案为：√ 14．【分析】因为该组合体可以从前、后、上、左、右几个方位观察。通过对该组合体的观察，该组合体从前面看，有3个小正方形，从上面看，有3个小正方形，从右面看，有3个小正方形，从左面看，有1个小正方形，从后面看，有2个小正方形，把这几个方位能看见的小正方形数量加起来即可。 【解答】由分析可得： 露在外面的面有： 3＋3＋3＋1＋2 ＝6＋3＋1＋2 ＝9＋1＋2 ＝10＋2 ＝12（个） 综上所述：该物体露在外面的面有12个。 故答案为：× 15．【分析】两个立体图形（比如正方体之间、圆柱之间）拼起来，因为面数目减少，所以表面积减少；反之，一个立体图形分割开，因为面数目增加，所以表面积增加；据此解答。 【解答】将一个长方体分割成2个长方体，2个长方体的表面积之和与原长方体的表面积相比，增加了两个切面，表面积增加；原说法错误。 故答案为：× 【点评】本题考查立体图形的切拼及长方体表面积的认识。 16．【分析】根据正方体表面积的特征可知，正方体的六个面都是相等的正方形，观察可知，从上面可以看到3个正方形，从正面可以看到3个正方形，从右边可以看到3个正方形，即一共可以看到个正方形，根据，代入数据计算正方形的面积再乘，即可得解。 【解答】 （cm2） 如图，把4个棱长3cm的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是81cm2。 故答案为：C 17．【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。据此逐项分析解答。 【解答】 A．，符合正方体展开图的“1－4－1”结构，是正方体展开图； B．，符合正方体展开图的“2－2－2”结构，是正方体展开图； C．，不符合正方体展开图的特征，不是正方体展开图； D．，符合正方体展开图的“1－3－2”结构，是正方体展开图。 不是正方体展开图的是。 故答案为：C 18．【分析】要想最省包装纸，就是求这4个长方体拼成大长方体后的表面积最小，即求出哪种包装方式下，拼成的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。 【解答】A．减少的表面积： 10×8×6 ＝80×6 ＝480（平方厘米） B．减少的表面积： 10×1×4＋8×1×4 ＝40＋32 ＝72（平方厘米） C．减少的表面积： 10×8×4＋10×1×4 ＝80×4＋40 ＝320＋40 ＝360（平方厘米） D．减少的表面积： 8×1×6＝48（平方厘米） 480＞360＞72＞48 所以下面最节省包装纸的方案是A。 故答案为：A 19．【分析】根据长方体的长、宽、高的意义可知，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。把这个长方体整个放在桌面上，占用桌面面积最大就是这个长方体的最大面的面积。根据长方形面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。 【解答】2×3＝6（cm2） 则占用桌面面积最大是6cm2。 故答案为：B 20．【分析】原来大正方体的表面积需要计算小长方体上面、正面、右面的面积，挖掉小长方体后剩下物体的表面积需要计算小长方体下面、后面、左面的面积，其余部分面积不变，小长方体相对的面完全相同，则表面积不变；据此选择。 【解答】由分析可得：在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，不变。 故答案为：C 21．【分析】观察图形可知，通过右上角3个截面的平移，这个形体的表面积等于棱长是6分米的正方体的表面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。 【解答】6×6×6＝216（平方分米） 则这个立体图形的表面积是216平方分米。 22．【分析】依据长方体的特征，即相对的面面积相等，从而可以作出符合要求的图。 【解答】如图： 23．【分析】在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，就是计算长方体游泳池的侧面积和一个底面积，即贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算。 【解答】 （平方米） 答：贴瓷砖的面积是750平方米。 24．【分析】求壁纸的面积，就是求长方体房间的5个面的面积和减去门窗面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解答】4×3＋（4×2.8＋3×2.8）×2－4.2 ＝12＋（11.2＋8.4）×2－4.2 ＝12＋19.6×2－4.2 ＝12＋39.2－4.2 ＝51.2－4.2 ＝47（平方米） 答：这个房间至少需要47平方米的壁纸。 25．【分析】根据题意，结合长方体的棱长和公式：（长＋宽＋高）×4，算出一根铁丝的长度，再结合正方体的棱长和公式：棱长×12，算出正方体框架棱长的长度即可。 【解答】（8＋6＋4）×4 ＝18×4 ＝72（厘米）   72÷12＝6（厘米） 答：围成的正方体框架的棱长是6厘米。 26．【分析】在计算捆一圈的长度时，需要考虑到杂志的长、宽、高，分别计算出两个长、两个宽和四个高的长度，再相加得到总长度。然后，再加上打结时两端预留的绳子长度，即可得到妈妈一共用掉的绳子长度。最后，将长度单位从厘米转换为米。 【解答】2×26＋2×21＋4×12 ＝52＋42＋48 ＝142（厘米） 142＋10×2 ＝142＋20 ＝162（厘米） 162厘米＝1.62米 答：妈妈一共用掉了1.62米绳子。 27．【分析】正方体展开图如图所示，根据正方体每条棱长都相等的特征可知，用展开图的周长除以14计算出正方体的棱长；该展开图的面积可以看作是2个正方形的面积加上一个长方形的面积，据此解答。 【解答】正方体的展开图如下： 70÷14＝5（厘米） 5×5×2＋（5＋5＋5＋5）×5 ＝25×2＋20×5 ＝50＋100 ＝150（平方厘米） 答：奇思剪开的正方体展开图的面积是150平方厘米。 28．【分析】（1）观察可知，金属支架＝长×2＋宽×4＋高×4，据此列式解答。 （2）根据题意，由于是无盖的帆布收纳箱，只求出这个长方体除了上底面之外的五个表面积和再加上手柄共用的布即可。根据长方体表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解答】（1）5×2＋4.2×4＋3.5×4 ＝10＋16.8＋14 ＝26.8＋14 ＝40.8（分米） 答：焊制收纳箱的金属支架至少需要40.8分米的金属条。 （2）5×4.2＋（5×3.5＋4.2×3.5）×2＋0.6 ＝21＋（17.5＋14.7）×2＋0.6 ＝21＋32.2×2＋0.6 ＝21＋64.4＋0.6 ＝85.4＋0.6 ＝86（平方分米） 答：加工制作这个收纳箱至少需要86平方分米的帆布。 29．【分析】（1）求要粉刷的面积，就是求这个长方体教室的5个面的面积减去门窗的面积；根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出要粉刷的面积； （2）每平方米用涂料的数量×要粉刷的面积，再根据1千克＝1000克，换算成千克单位即可。 【解答】（1）7.5×6＋（7.5×4＋6×4）×2－18 ＝45＋（30＋24）×2－18 ＝45＋54×2－18 ＝45＋108－18 ＝153－18 ＝135（平方米） 答：要粉刷的面积是135平方米。 （2）200×135＝27000（克） 27000克＝27千克 答：共需要涂料27千克。 【点评】本题考查长方体表面积公式的实际应用，关键是熟记公式。 30．【分析】因为是放在墙角处，所以露在外部的有：正面4个正方形，右面2个正方形，上面2个正方形，一共有4＋2＋2＝8个，每个小正方形面的面积是10×10＝100平方厘米，据此再乘8就是露在外部的总面积。 【解答】（1）露在外部的面有： 4＋2＋2 ＝6＋2 ＝8（个） （2）10×10×8 ＝100×8 ＝800（平方厘米） 答：有8个面露在外部，露在外部的面积是800平方厘米。 【点评】考查了规则立体图形的表面积，明确露在外部的有哪几个面是解决此类问题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$