寒假新课衔接：专题05 圆柱与圆锥 圆柱的表面积-六年级下册数学（人教版）

2024－2025学年人教版数学六年级寒假新课衔接 专题05 圆柱与圆锥 *圆柱的表面积 一、思维导图 知识点一：圆柱的侧面展开图 ①沿着高展开，展开图形是长方形，如果h＝2πr，则展开图形为正方形 ②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形 ③无论怎么展开都得不到梯形 底面直径和高相等的圆柱，侧面沿高展开后得到的一定是一个（ ）。 A.长方形 B.正方形 C.平行四边形 【分析】圆柱的侧面沿高展开可以是一个长方形或正方形；侧面展开是长方形时，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；侧面展开是正方形时，圆柱的底面周长和高相等。已知圆柱的底面直径和高相等，根据圆的周长公式C＝nd，那么πd＞d，πd＞h，即底面周长一定大于高。据此判断选择。 【详解】根据分析可得： 底面直径和高相等的圆柱，侧面沿高展开后得到的一定是一个长方形。故答案为：A 把一个圆柱的侧面展开，不可能是（ ）。练1 A.长方形 B.正方形 C.平行四边形 D.梯形练2 下面图形中（ ）是圆柱体的展开图。 A B C D练3 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，已知它的底面周长是31.4分米，则这个圆柱底面直径和高的比是（ ）。 知识点二：圆柱的侧面积 把圆柱侧面沿高展开，得到一个 ，长方形的长是圆柱的 ，长方形的宽是圆柱的 。长方形的面积就是圆柱的 ，用字母表示为＝Ch＝2πrh 一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是6厘米，那么底面半径是（ ）厘米，侧面积是（ ）平方厘米，底面积是（ ）平方厘米。 【分析】先根据圆的周长公式C＝2πr的逆运算，用r＝C÷π÷2求出半径，再根据侧面积公式圆柱的侧面积＝底面周长×高，然后根据圆的面 积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 12.56×6＝75.36（平方厘米） 3.14×2² ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是6厘米，那么底面半径是2厘米，侧面积是75.36平方厘米，底面积是12.56平方厘米。练1 一个圆柱的侧面展开图近似是一个正方形，圆柱的高是5厘米，这个圆柱的侧面积约是（ ）平方厘米。 A.5 B.10 C.25 D.无法确定练2 一台压路机，前轮直径是1米，轮宽1.2米，工作时每分钟滚动15周。 （1）这台压路机1分钟前进多少米？ （2）如果每分钟前进200米，一分钟前轮压过的路面是多少平方米？ 知识点三：圆柱的表面积 圆柱的表面积指的是圆柱的两个 加上一个 。 （1） 已知底面半径r，则＝2＝ （2）已知底面周长C，可以先根据r＝C÷π÷2计算出半径，再根据＝2＝ 计算表面积 求表面积。9厘米 底面周长12.56厘米 【分析】左图：先利用r=d÷2，求出r，再套公式S＝2＝2πr2+πdh即可。 右图：先根据圆的周长公式C＝2πr的逆运算，用r＝C÷π÷2求出半径，再根据侧面积公式圆柱的侧面积＝底面周长×高，然后根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】左图：r=5÷2=2.5（dm） S＝2 ＝2×3.14×2.52+3.14×5×10 =196.25（dm2） 右图：12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 3.14×2² ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 12.56×2+12.56×9=25.12+113.04=138.16（平方厘米） 把一个底面直径为4cm，高为5cm的圆柱，沿底面直径切割成两半，表面积增加了多少cm²？正确的列式是（ ）。练1 A.3.14×4×5×2 B.4×5×2 C.4×5练2 一根圆柱形木材的底面半径是2 dm，高是26 dm，将这根木材从高中间锯成两根同样大小的圆柱，其中一根圆柱形木材的表面积是多少？ 要给100个油桶的外表面喷漆，油桶大小如图所示，按每平方米需要油漆0.25 kg计算，喷这些油桶需要油漆多少千克？练3 知识点六 三、课后巩固 1.仔细想，认真填。 （1）一个圆柱的侧面积是9.42cm²，底面积是3.14cm²，它的表面积是（ ）cm²。 （2）一个圆柱的侧面展开图是一个长5.2cm、宽4cm的长方形，这个圆柱的侧面积是（ ）cm²。 （3）一根圆柱形木料的底面半径是0.5米，长是2米。将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（ ）平方米。 （4）一种滚筒油漆刷（如图），滚筒滚动一周能刷漆的面积是（ ）平方厘米。 （5）一顶帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是圆环，用黄色布做（如图，单位：cm）。做这顶帽子所用的黑布与黄布相差（ ）cm²。 2.精挑细选。（将正确答案的序号填在括号里） （1）做一个无盖的圆柱形油桶，求至少需用多少铁皮，就是求油桶的（ ）。 A.底面积 B.侧面积 C.表面积 D.侧面积＋一个底面积 （2）把一根圆柱形木头锯成两根，得到的两根圆柱形木头的表面积之和与原来圆柱形木头的表面积相比（ ）。 A.增加了 B.减少了 C.不变 D.无法确定 （3）将一根高5分米的圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分（如下图），这时表面积比原来增加了60平方分米。这根圆柱形木料原来的表面积是（ ）平方分米。 A.18π B.48π C.72π D.132π （4）一个圆柱底面直径是10cm，若高增加2cm，则表面积增加（ ）cm²。 A.31.4 B.62.8 C.20 D.157 3.综合应用 （1）今年的5月12日是母亲节，小芳为妈妈亲手制作了一个蛋糕作为母亲节礼物，她用丝带捆扎圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结共用去的丝带长15厘米。 ①捆扎这个蛋糕盒至少用去丝带多少厘米？ ②小芳在蛋糕盒的整个侧面绘制了祝福图案，她绘制图案的面积是多少平方厘米？ （2）一个圆柱形铁皮盒，底面半径是3分米，高5分米。在这个盒子的侧面贴上商标纸，需多少平方分米的纸？ （3）王老师把3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体。已知拼成后的圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多240平方厘米，圆柱体的底面直径是10厘米。拼成后的圆柱体的表面积是多少平方厘米？ （4）一个零件由两个圆柱组成（如图），它们的高都是10厘米，底面半径分别是4厘米和8厘米。现在要给这个零件的表面涂上颜色，涂色部分共多少平方厘米？ 参考答案 知识点一：圆柱的侧面展开图练1 D 【分析】圆柱的展开图可能是正方形、可能是长方形、也可能是平行四边形，根据圆柱的侧面展开图的特点，结合圆柱的侧面的几种展开图方法与展开图的特点即可进行选择。 【详解】圆柱的侧面沿高展开可能是长方形或正方形，如果斜着展开是一个平行四边形，因为圆柱的上下底面是完全相同的两个圆，所以圆柱的侧面展开图不可能是梯形。 故答案为：D练2 A 【分析】圆柱体侧面展开图特征：如果沿着圆柱体的高将圆柱体侧面展开，得到的图形是一个矩形。矩形的长等于圆柱体底面圆的周长，即C＝2πr（其中为底面半径）。矩形的宽等于圆柱体的高。圆柱体两个底面展开图特征：圆柱体的两个底面是完全相同的圆。圆的半径就是圆柱体底面半径r。在圆柱体展开图中，两个底面圆分别位于侧面展开长方形的上下两侧（当沿着高展开时）。逐一分析各项，是否符合圆柱体展开图的特征。 【详解】A：图中长方形的高为2，长为9.42，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，符合圆柱体展开图的特征。 B：图中长方形的长为3，高为2，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 C：图中长方形的高为2，长为12，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 D：图中长方形的高为2，长为24，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（6÷2）＝6.28×3＝18.84，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 故答案为：A练3 50：157 【分析】根据正方形的特征可知，圆柱的底面周长等于圆柱的高，所以根据圆周长公式：C＝πd，用31.4÷3.14即可求出底面直径，进而写出圆柱底面直径和高的比，再化简即可；化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。 【详解】31.4÷3.14＝10（分米） 10：31.4 ＝（10×5）：（31.4×5） ＝50：157 这个圆柱底面直径和高的比是50：157。 知识点二：圆柱的侧面积 长方形 底面周长 高 侧面积 练1 C 【分析】据题意可知，圆柱的侧面展开是近似正方形，圆柱的高就是这个正方形的边长，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可得解。 【详解】5×5＝25（平方厘米） 这个圆柱的侧面积约是25平方厘米。故答案为：C练2 （1）47.1米 （2）240平方米 【分析】（1）一台压路机，工作时每分钟滚动15周，则这台压路机1分钟前进的长度等于前轮15周的长度，根据圆的周长C＝πd，求出这台压路机1分钟前进多少米即可。 （2）如果每分钟前进200米，一分钟前轮压过的路面面积＝前进长度×轮宽，据此解答即可。 【详解】（1）前进：3.14×1×15 ＝3.14×15 ＝47.1（米） 答：这台压路机1分钟前进47.1米。 （2）面积：200×1.2＝240（平方米） 答：一分钟前轮压过的路面是240平方米。 知识点三：圆柱的表面积 圆柱的表面积指的是圆柱的两个 加上一个 （1） 已知底面半径r，则＝2＝ （2）已知底面周长C，可以先根据r＝C÷π÷2计算出半径，再根据＝2＝ 计算表面积 B练1 【分析】根据题意，沿圆柱的底面直径切割成两半，那么表面积增加了两个长等于圆柱的高，宽等于圆柱底面直径的长方形面积，根据长方形面积＝长×宽，据此解答。 【详解】4×5×2 ＝20×2 ＝40（cm²） 正确的列式是4×5×2。 故答案为：B练2 188.4平方分米 【分析】木材被锯成两根，每根的高度为h÷2＝13 dm。底面半径r＝2 dm。可以根据＝2＝2πr²＋2πrh进行计算即可。 【详解】先求出圆柱形木材的侧面积，再根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，解答即可。 2×2×3.14×26÷2＋3.14×2²×2 ＝163.28＋25.12 ＝188.4（dm²） 答：其中一根圆柱形木材的表面积是188.4平方分米。练3 51.81千克 【分析】油桶的尺寸为高8 dm，半径3dm。首先计算一个油桶的表面积。 半径r＝3 dm，高h＝8dm。底面积＝πr²，侧面积＝2πrh，表面积＝2＝2πr²＋2πrh，然后算换单位，再计算出一个油桶需要的油漆重量，最后计算100个油桶需要的油漆重。 【详解】 （314×3²×2＋3.14×3×2×8） ＝（3.14×9×2＋9.42×2×8 ＝（28.26×2＋18.84×8） ＝（56.52＋150.72） ＝207.24（平方分米） 207.24÷100×0.25×100 ＝2.074×0.25×100 ＝0.5181×100 ＝51.81（千克） 答：喷这些油桶需要油漆51.81千克 知识点六 三、课后巩固 1.仔细想，认真填。 （1）15.7 【分析】圆柱的表面积由两个底面积和一个侧面积组成。已知侧面积＝9.42cm²和底面积 ＝3.14cm²，根据表面积＝2进行计算即可 【详解】 2×3.14＋9.42 ＝6.28＋9.42 ＝15.7（cm²） （2）20.8 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，其长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。长方形的面积就是圆柱的侧面积。 【详解】 5.2×4＝20.8（cm²） （3）4.71 【分析】将圆柱形木料截成4段，要截3次，每截1次增加2个圆柱的底面积，截3次表面积就增加了3×2＝6个底面积，根据圆的面积：S＝m²，代入数据求出底面积，再用底面积×6即可。 【详解】（4－1）×2 ＝3×2＝6（个） 3.14×0.5²×6 ＝3.14×0.25×6 ＝4.71（平方米） 这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了4.71平方米。 （4）452.16 【分析】滚筒油漆刷的刷漆面积是其侧面积。滚筒的直径为6cm，所以半径r＝3 cm，高度h＝2.4 dm＝24 cm（因为1 dm＝10cm）。再根据侧面积＝2πrh计算即可。 【详解】2.6dm＝24cm 3.14×6×24＝452.16（平方厘米） 滚筒滚动一周能刷漆的面积是452.16平方厘米。 （5）53.38 【分析】从图中可知，黑布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的一个底面积，黄布的面积＝圆环的面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S底＝π²，圆环的面积公式S环＝π（R²－r²），代入数据计算，分别求出黑布与黄布的面积，再相减即可。 【详解】18÷2＝9（cm） 9＋8＝17（cm） 黑布的面积： 3.14×18×8＋3.14×92 ＝56.52×8＋3.14×81 ＝452.16＋254.34 ＝706.5（cm²） 黄布的面积： 3.14×（17²－9²） ＝3.14×（289－81） ＝3.14×208 ＝653.12（cm²） 相差：706.5－653.12＝53.38（cm²） 做这顶帽子所用的黑布与黄布相差53.38cm²。 2.精挑细选。（将正确答案的序号填在括号里） （1）D 【分析】做一个无盖的圆柱形油桶，需要的铁皮面积包括侧面积和一个底面积。 【详解】做一个无盖的圆柱形油桶，需要的铁皮是侧面积＋一个底面积。 正确答案是D. （2）A 【分析】把一根圆柱形木头锯成两根，会增加两个底面的面积，所以表面积会增加。 【详解】表面积增加了。正确答案是A. （3）B 【分析】根据题意，把一个圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分，表面积增加60平方分米，那么增加的表面积是2个切面的面积，每个切面山的长、宽分别等于圆柱的底面直径和高；用增加的表面积除以2，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面直径；然后根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝π²，代入数据计算即可。 【详解】圆柱的底面直径： 60÷2÷5 ＝30÷5 ＝6（分米） 圆柱的表面积： π×6×5＋π×（6÷2）²×2＝π×6×5＋π×9×2＝30π＋18π＝48π（平方分米） 这根圆柱形木料原来的表面积是48π平方分米。 故答案为：B （4）B 【分析】圆柱高增加后，相对原来的表面积，只是侧面积部分增加。所以计算这增加部分的侧面积即可。圆柱的侧面积＝底面周长×高。故表面积增加部分＝π×10×2。据此计算。 【详解】3.14×10×2 ＝31.4×2 ＝62.8（cm²） 故答案为：B 3.综合应用 （1）（1）255厘米 ②2512平方厘米 【分析】①看图，丝带长包括4条底面直径、4条高和打结处的长度，将这三部分的长度相加求出捆扎这个蛋糕盒至少用去多少厘米丝带。 ②求绘制图案的面积是多少平方厘米，就是求圆柱形蛋糕盒的侧面积，根据“圆柱的侧面积＝πdh”解答即可。 【详解】①40×4＋20×4＋15 ＝160＋80＋15 ＝240＋15 ＝255（厘米） 答：捆扎这个蛋糕盒至少用去丝带255厘米。 ②3.14×40×20 ＝125.6×20 ＝2512（平方厘米） 答：她绘制图案的面积是2512平方厘米。 （2）94.2平方分米 【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高，其中底面周长＝2πr。据此，先求出圆柱的底面周长，再乘高，求出圆柱侧面积，即贴商标纸的面积。 【详解】2×3.14×3×5 ＝18.84×5 ＝94.2（平方分米） 答：需94.2平方分米的纸。 （3）517平方厘米 【分析】根据题意，把3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体，拼成后的圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多240平方厘米，表面积多的240平方厘米等于原来两个小圆柱的侧面积和，据此可以求出原来每个小圆柱的侧面积，再根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，把数据代入公式解答。 【详解】240÷2×3＋3.14×（10÷2）²×2 ＝120×3＋3.14×25×2 ＝360＋78.5×2 ＝360＋157 ＝517（平方厘米） 答：拼成后大圆柱的表面积是517平方厘米。 （4）1155.52平方厘米 【分析】涂色部分等于底面半径是8厘米，高是10厘米的圆柱的表面积加上底面半径是4厘米，高是10厘米圆柱的侧面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积；圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×8²×2＋3.14×8×2×10＋3.14×4×2×10 ＝3.14×64×2＋25.12×2×10＋12.56×2×10 ＝401.92＋502.4＋251.2 ＝1155.52（平方厘米） 答：涂色部分的面积是1155.52平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$