期末复习(4)分式-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

期末复习（四） 分式 ④重难点突破 出出 【反思归纳】分式的运算应抓住两个关键：一是灵活 运用分解因式约分和通分，二是巧借运算律简化运算。 重难点一分式的有关概念及基本性质 对点训练 【例】若把分式号，中x的值同时扩 5.化简。- 2 大到原来的5倍，则分式的值 「a一的结果是 A.扩大到原来的5倍B.不变 6.先化简，再求值：(a+1-4a二5)÷（一 a-1 C.扩大到原来的10倍D.缩小为原来的号 )，其中a从一2,0,1,2中选出一个你 a"-a 【反思归纳】解决此类题目关键是抓住分子、分母 喜欢的数代入求值. 变化的倍数，先把字母变化后的值代入分式，再约分， 然后与原式比较得结论 对点训练 1下列各式：2,3,5，台红十 x’ πa-b'm y),其中是分式的共有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列等式成立的是 A+号 B.q+6 atb =a十b Caa 1 重难点三分式方程 D. 【例3】分式方程25=、3 3.下列四个分式中，是最简分式的是 ( -2=22的解是（） A.a+6 B+2x+1 A.x=-2 B.x=2 a+b x+1 C.x=1 D.x=1或x=2 c D.b 【反思归纳】解分式方程的基本思想是“转化思 a-b 想”，即把分式方程转化为整式方程并求解，此外，要注 4如果分式一号的值为0，则工的值是 意验根 重难点二 分式的运算 对点训练 【例2】先化简，再求值：(1一1)÷ 7若关于x的分式方程十千的 解为负数，则a的取值范围是 m2+2m十其中m=2. m2-1 8.(2023·徐州)随着2022年底城东快速路的 全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得 以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏 马台景区，可沿甲路线或乙路线前往.已知 甲、乙两条路线的长度均为12km,甲路线的 平均速度为乙路线的1.5倍，甲路线的行驶时 间比乙路线少10min,求甲路线的行驶时间. 127八年级数学·上册 网 (》 甲路线 6已知，20÷M=。6则M等于 一东快道路 和大随 B费 D.2 乙路线 7.某工程队要铺建一条长2000米的管道，采 用新的施工方式，工作效率提高了25%，结果 比原计划提前2天完成任务，设这个工程队 原计划每天铺建x米管道，依题意所列方程 正确的是 A.2000+2= 2000 1.25.x B.2000 2000+2 x 1.25.x B备考集训(100分】 C.2000+2000 =2 x 1.25x 一、选择题（每小题4分，共32分】 n90 2000=2 1.下列式子：-3xa, 1 x-y y 其中分式有 ( 8.(2023·伊春)若关于x的分式方程”2十1 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ,x一的解是非负数，则m的取值范围是 2-x 2.计算(÷罗的结果是 ( A.S p B.3mn C A.m≤2 B.m>2 m n C.m≤2且m≠-2D.m<2且m≠一2 3.目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它 二、填空题（每小题4分，共24分） 的最小刻度为0.2nm(其中1nm=10-9m), 用科学记数法表示这个最小刻度（单位：m), 9若分式的值为0，则x的值为 结果是 () -x).x2-9 A.2×10-8m B.2×10-m 10化简：2兰千} C.2×10-10m D.2×10-1m 山.计算：（信）厂×(） +√25= 4.若关于x的分式方程”二3=1的解为x=2, x-1 12.已知a2一6a+9与b一1|互为相反数，则式 则m的值为 () 子（兮一合）÷(u+6的值是 A.5 B.4 C.3 D.2 5.下列计算正确的是 13.当a= 时，方程a.x一4 a1x+=5的解与 ÷(a+b)=1 "a+b 方程一=}的解相同 =a+1 14.小明打车去火车站，可以选择两条不同路 线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥 堵，路线B的全程比路线A的全程多7千 米，但平均车速比走路线A时能提高60%. 若走路线B的全程能比走路线A少用15 助学助教优质高数128 分钟，若设走路线A时的平均速度为x千 17.(10分)先将(2 米/时，根据题意，可列分式方程为 （n2g十1D÷n2”n品g化简， 然后选一个你喜欢的值代人求值， 三、解答题（共44分） 15.(10分)计算： (1)(2x3y2)-2÷(x-2y)3: (2)(m+2- 51 18.(12分)京广高速铁路工程指挥部要对某路 段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队 的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成 这项工程所需天数是乙队单独完成这项工 程所需天数的子：若由甲队先做10天，剩下 16.(12分)解下列方程： 的工程再由甲、乙两队合作30天完成 2.x5 (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多 102x+5+5x”-2-1: 少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元， 乙队每天的施工费用为5.6万元.工程 预算的施工费用为500万元.为缩短工 期并高效完成工程，拟安排预算的施工 费用是否够用？若不够用，需追加预算 多少万元？请给出你的判断并说明理 由。 (2)2-1= 8 x2-41 129八年级数学·上册B1,C1的坐标分别为(1,5)，(1,0)，(4,3)15.证明：.AB=AC,.∠B=∠C ∠DAC=∠B+∠C=2∠C,:AF平分∠DAC,∴∠FAC=3∠DAC=∠C I∠FAC=∠C, 又E是AC中点，.AE=CE.在△AEF和△CEM中，3AE=CE, ∠AEF=∠CEM, ∴.△AEF≌△CEM.∴.AF=CM.16.解：(1)60°；(2)结论：PB=2PF.BF⊥ AE,∴.∠BFP=90°.由(1)知∠BPE=60°，在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°= 30°，∴.PB=2PF.17.解：(1)①等边②BE=CE(2)BP=DP.证明：连接 PE.·△ACE,△ADP是等边三角形，∴.AC=AE,AD=AP=DP.∠CAE= ∠DAP=60°.∴.∠CAE-∠DAB=∠DAP-∠DAB,即∠CAD=∠EAP.在 「AC=AE, △CAD和△EAP中，∠CAD=∠EAP,∴.△CAD≌△EAP(SAS).·∠ACD AD-AP, =∠AEP=90°..PE⊥AB.EA=EB,∴.AP=BP.DP=AP,.BP=DP; (3)BP=DP.理由：连接PE.'△ACE,△ADP是等边三角形，∴.AC=AE,AD =AP=DP.∠CAE=∠DAP=60°.∴.∠CAE+∠DAB=∠DAP+∠DAB,即 ∠CAD=∠EAP.∴.△CAD≌△EAP(SAS).∴.∠ACD=∠AEP=90°..EA= EB,.'.AP=BP..DP=AP,.'.BP=DP. 期未复习（三）整式的乘法与因式分解 重难点突破 【例1】B1.C2.4323.解：原式=x2+x5·x8+16x2=x2+x2+16x2= 18x2.【例2】原式=[x2y(xy-1)-x2y(1-xy)]÷x2y=[x2y(2xy-2)]÷ x2y=2xy-2.4.解：原式=3a3+6a2+3a-2a2-4a-2=3a3+4a2-a-2.当 a=2时，原式=24+16-2-2=36.【例3】B5.解：原式=(200-2)2-(200 +1)(200-1)=2002-800+4-2002+1=-795.6.解：原式=x2-9-6(x2 2x十1)=x2-9-6x2+12x一6=一5x2十12x-15,,x满足5x2-12x一3=0， ∴.5x2-12x=3.当5x2-12x=3时，原式=-5x2+12x-15=-(5x2-12x)- 15=-18.【例4】D7.(1)a(a+2)(a-2)(2)mn(m+n)(m-n)8.2 9.解：a(a+1)-(a2+2b)=1,∴.a2+a-a2-2b=1.∴.a-2b=1..a2-4ab+4b -2a+4b=(a-2b)2-2(a-2b)=12-2×1=-1. 备考集训 1.B2.D3.D4.C5.C6.A7.A8.39.a+b+110.011.10 12.@④13.114.(1)解：原式=(10+合)(10-2)=10-（号）广=99是： (2)解：原式=3a-4a+2a=a.15.(1)解：原式=[(x+2y)-(x-y)]= (x十2y-x十y)2=(3y)2=9y,当x=2024,y=-6时，原式=324；(2)解：原 1 式=[4x2-y2-4x2+4xy-y]÷2y=(-2y2+4xy)÷2y=-y+2.x,x-2y =1,∴.2x-y=2,当2x-y=2时，原式=2x-y=2.16.(1)解：原式=axy(ax -y).(2)解：原式=[3(a一b)+4b][3(a-b)-4b]=(3a+b)(3a-7b). 17.解：+-3+户=3.r+是=.1(x-)=7-2=5； x 1 112 (2)x+-(r+7)-2=7-2=47.18.(1)(2a+b)(2b+a)(2)解： 阴影部分的面积为242cm,大长方形的周长为78cm,.2a2+2b=242,2(2a+ b+2b+a)=78,即a2+b=121,a+b=13..(a+b)2-2ab=a2+b,∴.ab=24. ∴.空白部分的面积为5ab=120.答：图中空白部分的面积为120cm2.19.解： (1)x2+2y2-2xy+4y+4=0,x2-2xy+y2+y2+4y+4=0,(x-y)2+(y+2)2 =0,∴.x-y=0,y+2=0,解得x=-2,y=-2;(2)a2+b=10a+8b-41,. a2-10a+25+6-8b+16=0,即(a-5)2+(b-4)2=0,a-5=0,b-4=0,解得 a=5,b=4,.c是△ABC中最长的边，∴.5≤c9. 期末复习（四）分式 重难点突破 【例1】A1.C2.C3.A4.-3【例2】原式=m-1÷m+1)(m-1 (m+1)2 ”·-出当0=2时，原式=2生=5点6解：原式 m m-l m 199 a+1)(a-1)-(4a-5)÷a-1-1=a-1-4a+5.a(a-12=a-2)2. a-1 a(a-1) a-1 a-2 a-1 a(a-1=a(a-2):a≠0,1,2，a=-2.当a=-2时，原式=-2×(-2-2） a-2 =8.【例3】C7.a<1且a≠08.解：设甲路线的行驶时间为xmin,则乙路 线的行骏时间为(x十10)mn,由题意得：号=号×异0解得：=20，经检验d =20是原方程的解，且符合题意，答：甲路线的行驶时间为20min. 备考集训 1.C2.D3.C4.B5.D6.A7.B8.C9.110.x+911.812.3 13.214.25-25+7 x 1千60%x=车15.(1)解：原式=2xy4÷xy=4y (2)解：原式-%号·骨号-m+316.1解：方程两边乘(2x十552》、 得10r-4女+10x+25=10+21x-10.解得x=了检验：当x=了时，(2x十 7 5)(5x一2)≠0.“原分式方程的解为x=3(2)解：两边同乘以(x十2)(x一2) 得：x(x十2)一x2十4=8，x2+2x一x2+4=8,2x=4,解得：x=2,检验：当x=2 时，x-4=0,.原分式方程无解.17.解：原式=2+m3.m-3)=m-3 m-32(m-1) 2 :m-3≠0且m-1≠0m≠3且m≠1.当m=7时，原式=”，3=2.（答案不 2 唯一，m≠3且m≠1即可)18.解：(1)设乙队单独完成这项工程需要x天，则 甲队单独完成这项工程需要子：天根据题意，得+30（士+上-1.解得： 3 =90.经检验x=90是原方程的根，号x=60,答：甲、乙两队单独完成这项工程 分别需60天和90天.(2)设甲，乙两队合作完成这项工程需要y天，（品十品y =1.解得y=36.需要施工费用：36×(8.4+5.6)=504（万元）.504>500.. 工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元. 期末难点突破专练 1.(1)1<AD<6(2)证明：延长AD到T,使得DT=AD,连接BT.同法可证 △ADC≌△TDB.∴.AC=BT,∴.∠T=∠DAC.EA=EF,∴.∠EAF= ∠EFA.∠EFA=∠BFT,∴∠T=∠BFT..BF=BT,∴AC=BF:(3)解：结 论：CD=AD+BC.理由：延长CE交DA的延长线于点G,,AD∥BC,∠G= ∠ECB,.E是AB的中点，.AE=EB,又.∠AEG=∠BEC,∴.△AEG≌ ABEC(AAS)...AG=BC,EC=EG.DELCG,..CD=GD..DG=AD+AG =AD+BC,∴.CD=AD+BC.2.(1)证明：∠BAC=∠DAE,∠CAE= ∠BAD..AC=AB,AE=AD,∴.△ACE≌△ABD(SAS);(2)50°(3)证明：连 接AF,过点A作AJ⊥CF于点J.:'△ACE≌△ABD,.S△E=S△AD,CE= BD.:A⊥CE,AH⊥BD.CE·AJ-号BD·AH,AI=AH.在R △AFJ和Rt△AFH中， AA.R△AP≌R△APHH),PJP EH.在R△AJE和R△AHD中，AAL:R△AJE≌R△AHD(H .EJ=DH,∴.EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.3.(1)证明：AB=AC,点D 是BC的中点，∴.AD⊥BC.∴.AD垂直平分BC,∴.BF=CF;(2)解：猜想：EF= AF+2DF.在FE上找一点P,使得AP=AF,在Rt△BDF中，∠CBE=30°，. BF=2DF,∴.CF=2DF,由(1)得：AD⊥BC,,∠CBE=30°，.∠BFD=90° ∠CBE=60°.∴.∠AFP=∠BFD=60°.·AP=AF,∴.△AFP是等边三角形. ∠APF=60°，AF=PF.∴.∠APE=180°-∠APF=120°.由(1)得：BF=CF. FD⊥BC,BF=CF,∴.DF平分∠BFC.∴.∠DFC=∠BFD=60°.∴.∠AFC= 180°-∠DFC=120°..∠APE=∠AFC.,AF=AF,AB=AC,FC=FB, △AFB≌△AFC.∴.∠ABF=∠ACF.点C关于直线l的对称点为点E,∴.直 线I垂直平分EC.∴.AE=AC.∴.AB=AE.∴.∠AEB=∠ABF.∴.∠AEB= —200