期末复习(2)轴对称-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

∠DAE=90°-∠ADE=90°-70°=20°.∴.∠DAC=∠DAE+∠EAC=35°. AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠DAC=35°..∠B=∠ADE-∠BAD=70°-35 =35°.3.10°4.110°5.70°或30°【例3C6.97.144°【例4】(1)连接 AC,AD,AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,∴.△ABC≌△AED(SAS)..AC= AD.又F为CD的中点，∴.AF⊥CD;(2)连接FB,FE,AF平分∠BAE, ∠BAF=∠EAF.又AB=AE,AF=AF,∴.△ABF≌△AEF(SAS).∴.∠ABF= ∠AEF,∠AFB=∠AFE,BF=EF..'∠ABC=∠AED,∠AFC=∠AFD=90°， .∠FBC=∠FED,∠BFC=∠EFD.∴.△BCF≌△EDF(ASA)..FC=FD,即 F为CD的中点.8.B9.(-1,0)或(-1,2)或(1,2)【例5】DE=DF.理由 如下：过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,.AD平分∠BAC,DML AB,DN⊥AC,.DM=DN.∠AED+∠AFD=180°，∠AFD+∠DFN= ∠DME=∠DNF, 180°，.∠DFN=∠AED.在△DME和△DNF中， ∠DEM=∠DFN,. DM=DN, △DME≌△DNF(AAS)..DE=DF.10.8 备考集训 1.D2.B3.A4.D5.B6.D7.C8.C9.610.311.25°12.6 13.9014.号cm/s或号cm/915.1)i证明：∠BAC=∠BED.AC//DE .∠ADE=∠DAC.·∠ADE=∠CGF.∴.∠DAC=∠CGF.∴.AD∥GF;(2) 解：由(1)知AC∥DE,AD∥GF,,∠AED=100°，∴.∠BAC=180°-100°=80. :AD平分∠BAC,.∠DAC=合∠BAC=40.“∠C=55,∠ADC=180 40°-55°=85°.AD∥GF,.∠CFG=∠ADC=85°.16.证明：(1)AE,BE 分别平分∠DAB,∠CBA,∴.∠BAE=∠FAE,∠ABE=∠CBE.:AD∥BC,. ∠ABE=∠F, ∠F=∠CBE..∠ABE=∠F.在△ABE和△AFE中，∠BAE=∠FAE, AE=AE, △ABE≌△AFE(AAS);(2),△ABE≌△AFE,∴.BE=FE,AB=AF.在 (∠EBC=∠F, △BCE和△FDE中，{BE=FE, ∴.△BCE≌△FDE(ASA)..BC= ∠BEC=∠FED, FD.∴.BC+AD=DF+AD=AF=AB.17.(1)①证明：，△ABC和△ADE是 等边三角形，.∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC.AD=DE=AE.∴.∠BAC -∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).②成立，(2)解：CE=BC+CD.证 LAD-AE, 明：，△ABC和△ADE是等边三角形，∴.∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC= AC,AD=DE=AE..∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD= AB=AC, ∠CAE.在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS). LAD-AE, .BD=CE.BD=BC+CD,.'CE=BC++CD 期末复习（二）轴对称 重难点突破 【例1】(3,1)，(1,1)1.C【例2】14202.垂直平分线上【例3(1)，AB= AC,ADLBC,∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60.:AB=AD,.∴△ABD是等 边三角形；(2)等边△ABD,∴.∠ABD=∠ADB=60°=∠ADE+∠BDE,BD =AD.又：'∠EDF=60°=∠ADE+∠ADF.∴∠BDE=∠ADF.由(1)知 ∠DAC=60°，.∠ABD=∠DAC.在△BDE和△ADF中， 「∠ABD=∠DAC, BD=AD, ..△BDE2△ADF...BE=AF.3.18°4.3 ∠BDE=∠ADF, 备考集训 1.C2.D3.C4.A5.B6.D7.D8.A9.310.75°11.612.80 13.814.解：(1D图略，△ABC的面积为：号×5X3=7.5;(2)图略，点A, -198 B1,C1的坐标分别为(1,5)，(1,0)，(4,3)15.证明：.AB=AC,.∠B=∠C ∠DAC=∠B+∠C=2∠C,:AF平分∠DAC,∴∠FAC=3∠DAC=∠C I∠FAC=∠C, 又E是AC中点，.AE=CE.在△AEF和△CEM中，3AE=CE, ∠AEF=∠CEM, ∴.△AEF≌△CEM.∴.AF=CM.16.解：(1)60°；(2)结论：PB=2PF.BF⊥ AE,∴.∠BFP=90°.由(1)知∠BPE=60°，在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°= 30°，∴.PB=2PF.17.解：(1)①等边②BE=CE(2)BP=DP.证明：连接 PE.·△ACE,△ADP是等边三角形，∴.AC=AE,AD=AP=DP.∠CAE= ∠DAP=60°.∴.∠CAE-∠DAB=∠DAP-∠DAB,即∠CAD=∠EAP.在 「AC=AE, △CAD和△EAP中，∠CAD=∠EAP,∴.△CAD≌△EAP(SAS).·∠ACD AD-AP, =∠AEP=90°..PE⊥AB.EA=EB,∴.AP=BP.DP=AP,.BP=DP; (3)BP=DP.理由：连接PE.'△ACE,△ADP是等边三角形，∴.AC=AE,AD =AP=DP.∠CAE=∠DAP=60°.∴.∠CAE+∠DAB=∠DAP+∠DAB,即 ∠CAD=∠EAP.∴.△CAD≌△EAP(SAS).∴.∠ACD=∠AEP=90°..EA= EB,.'.AP=BP..DP=AP,.'.BP=DP. 期未复习（三）整式的乘法与因式分解 重难点突破 【例1】B1.C2.4323.解：原式=x2+x5·x8+16x2=x2+x2+16x2= 18x2.【例2】原式=[x2y(xy-1)-x2y(1-xy)]÷x2y=[x2y(2xy-2)]÷ x2y=2xy-2.4.解：原式=3a3+6a2+3a-2a2-4a-2=3a3+4a2-a-2.当 a=2时，原式=24+16-2-2=36.【例3】B5.解：原式=(200-2)2-(200 +1)(200-1)=2002-800+4-2002+1=-795.6.解：原式=x2-9-6(x2 2x十1)=x2-9-6x2+12x一6=一5x2十12x-15,,x满足5x2-12x一3=0， ∴.5x2-12x=3.当5x2-12x=3时，原式=-5x2+12x-15=-(5x2-12x)- 15=-18.【例4】D7.(1)a(a+2)(a-2)(2)mn(m+n)(m-n)8.2 9.解：a(a+1)-(a2+2b)=1,∴.a2+a-a2-2b=1.∴.a-2b=1..a2-4ab+4b -2a+4b=(a-2b)2-2(a-2b)=12-2×1=-1. 备考集训 1.B2.D3.D4.C5.C6.A7.A8.39.a+b+110.011.10 12.@④13.114.(1)解：原式=(10+合)(10-2)=10-（号）广=99是： (2)解：原式=3a-4a+2a=a.15.(1)解：原式=[(x+2y)-(x-y)]= (x十2y-x十y)2=(3y)2=9y,当x=2024,y=-6时，原式=324；(2)解：原 1 式=[4x2-y2-4x2+4xy-y]÷2y=(-2y2+4xy)÷2y=-y+2.x,x-2y =1,∴.2x-y=2,当2x-y=2时，原式=2x-y=2.16.(1)解：原式=axy(ax -y).(2)解：原式=[3(a一b)+4b][3(a-b)-4b]=(3a+b)(3a-7b). 17.解：+-3+户=3.r+是=.1(x-)=7-2=5； x 1 112 (2)x+-(r+7)-2=7-2=47.18.(1)(2a+b)(2b+a)(2)解： 阴影部分的面积为242cm,大长方形的周长为78cm,.2a2+2b=242,2(2a+ b+2b+a)=78,即a2+b=121,a+b=13..(a+b)2-2ab=a2+b,∴.ab=24. ∴.空白部分的面积为5ab=120.答：图中空白部分的面积为120cm2.19.解： (1)x2+2y2-2xy+4y+4=0,x2-2xy+y2+y2+4y+4=0,(x-y)2+(y+2)2 =0,∴.x-y=0,y+2=0,解得x=-2,y=-2;(2)a2+b=10a+8b-41,. a2-10a+25+6-8b+16=0,即(a-5)2+(b-4)2=0,a-5=0,b-4=0,解得 a=5,b=4,.c是△ABC中最长的边，∴.5≤c9. 期末复习（四）分式 重难点突破 【例1】A1.C2.C3.A4.-3【例2】原式=m-1÷m+1)(m-1 (m+1)2 ”·-出当0=2时，原式=2生=5点6解：原式 m m-l m 199期末复习(二) 轴对称 ④重难点突破= 重难点三 等腰三角形的性质与判定 重难点一 轴对称与轴对称图形 【例3】如图,在△ABC 中,AB=AC,{BAC= 【例1】如图,在△ABC中; 120{*,AD BC,垂足为G,且 BC/$输,B(-3,1),BC=2, AD=AB,EDF=6 0*,其 则△ABC关于y轴对称的 两边分别交边AB,AC于点E,F.求证; △AB'C'中,点B,C的坐标 (1)△ABD是等边三角形; 分别是 (2)BE-AF. 【反思归纳】平面直角坐标系中,关于工轴对称的 两点,横坐标相等,纵坐标相反;关于v轴对称的两点。 横坐标相反,纵坐标相等。 对点训练 1.如图,若△ABC与△A 1---1M-4” B'C'关于直线MN对 称,BB交MN于点O. (yC 则下列说法中不一定正 确的是 ) A. ABC- A'B'C' B. AA' IMN C.AB/A'B' D. BO-B'O 重难点二 线段的垂直平分线 对点训练 【例2】如图,在△ABC 3.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,A 中,BC-14.$BAC=100*$ -36{*,BD AC于点D,则CBD= AB的垂直平分线分别交 AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交 AC,BC于点F,G.则△AEG的周长是 EAG- 第3题图 第4题图 【反思归纳】线段的垂直平分线的性质是证明线 4.如图,在四边形ABCD中,AD/BC,BC=5. 段相等的依据,遇到线段的垂直平分线通常构造线段 BAD的平分线AE交BC于点E,CE-2 垂直平分线上的点到线段两端点的距离。 对点训练 则线段AB的长为 B备考集训”(100分) 2.如图,在△ABC中,AB一AC,点 一、选择题(每小题4分,共32分) D在AC上,若△ABC的周长为 1.【新课标·传统文化】被誉为全国第三大露天 22,BC一6,△BCD的周长为 碑林的“语溪碑林”,摩崖上铭刻着500多方 14,则点D在线段AB的 古今名家碑文,其中悬针繁文具有较高的历 史意义和研究价值,下面四个悬针篆文中,明 121 八年数学·上册 显不是轴对称图形的是 A.4.5cm B. 5.5cm C.6.5cm #K祠个 D. 7cm 二、填空题(每小题4分,共20分) 9.如图,在等边△ABC中,AD是高,若AB-6. C B 4 D 则CD的长为__. 2.等腰三角形的一个内角是70{},则它的顶角是 C ### B.70* A.40* C.80* D.40*或70。 3.等腰三角形的一边长为6,另一边的长为13, ( 。 则它的周长为 。& 第9题图 第10题图 A.25 B.25或32 10.如图,△ABC与△AB.C 关于某条直线成 C.32 D.19 轴对称,则A一. 4.在平面直角坐标系中,点B的坐标是(4,一 11.如图,在等边三角形ABC 1),点A与点B关于x轴对称,则点A的坐 _~_ 标是 。 中,AC=9,点O在AC上, A.(4,1) B.(-1,4) 且AO-3,点P是AB上一 C.(-4,-1) D.(-1,-4) 动点,连接OP,以点O为圆 5.如图是屋架设计图的一部分,其中/A一30* 心,OP长为半径画孤交BC于点D,连接 点D是斜梁AB的中点,BC,DE垂直于横梁 PD.如果PO=PD,那么AP的长是 . AC,AB-16m,则DE的长为 ( 12.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70{*方 C.2m A.8m B.4m D.6m 向的M处,它以每小时40海里的速度向正 北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北 偏东40的N处,则N处与灯塔P的距离 第5题图 第6题图 岁 海里. #x# 6.如图,$EAF=15*,AB=BC=CD=DE$ EF,则DEF等于 ( _ B.750 A.90* C.70{* D.60* 7.如图,A,B两点在正方形网格 ................. M 的格点上,每个方格都是边长为 第12题图 第13题图 1的正方形,点C也在格点上; 13.如图,点P是AOB内部的一点,AOB 且△ABC为等腰三角形,则满 30*}.,OP=8cm,M,N是OA,OB上的两个 ( 足条件的点C有 ) 动点,则△MPN周长的最小值为 D.9个 cm. B.7个 A.6个 C.8个 三、解答题(共48分) 8.如图,点P是AOB外的一点, 14.(10分)如图,在平面直角坐标系中,A(一1 点M,N分别是 AOB两边上的 点,点P关于OA的对称点Q恰 5).B(-1,0).C(-4,3) 好落在线段MN上,点P关于 (1)在图中的点上标出相应字母A,B,C,并 OB的对称点R落在MN的延长 求出△ABC的面积; 线上.若PM=2.5 cm,PN=3cm,MN=4 (2)在图中作出△ABC关于y轴的对称图 cm,则线段QR的长为 ( 形△A.BC 并写出点A,B,C 的坐标. 助学助敏 优质高数 122 11 17.(15分)我们学习等边三角形时得到特殊直 角三角形的一个性质:在直角三角形中,如 果一个锐角等于30{},那么它所对的直角边 等于斜边的一半,在Rt/入ABC中,ACB= (1)如图1,作AB边上的中线CE,则; ①△ACE为 三角形; 15.(12分)如图,在入ABC中,AB=AC,D是 ②BE与CE之间的数量关系为 BA延长线上一点,E是AC的中点,连接 DE并延长,交BC于点M,DAC的平分 (2)如图2,CE是△ABC的中线,点D是边 线交DM于点F CB上任意一点,连接AD,作等边三角 求证:AF-CM. 形ADP,且点P在△ACB的外部,连接 BP.试探究线段BP与DP之间的数量 关系,写出你的猜想并加以证明 (3)如图3,当点D为边CB延长线上任意一 点时,在(2)中条件的基础上,线段BP 与DP之间存在怎样的数量关系?请说 明理由. ##### 16.(11分)如图,八ABC为等边三角形,D,E D B) 图2 图1 图3 分别是边AC,BC上的点,且AD=CE,AE 与BD相交于点P. (1) BPE的度数是 (2)若BF AE于点F,试判 断 BP与PF 的数量关 系,并说明理由. 123 八年级数学·上册