14.3.2 公式法-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

14.3.2公式法 第1课时 运用平方差公式分解因式 Φ知识储备$ 知识点二先提公因式再运用平方差公式分 用平方差公式分解因式：a2-2= 解因式 ,即两个数的平方差，等于这两个数的 4.(1)(答题模板)分解因式： 与这两个数的 的积。 ①(2023·北京)x2y-y3; 解：原式=y( A基础练 必备知识梳理一 =y 知识点一运用平方差公式分解因式 ②x3-4xy2. 解：原式=x( 1.【教材P117练习T1变式】下列各多项式中， =I 能用平方差公式分解因式的是 (2)【针对练习】分解因式： A.-x2+9 B.-x2-9 ①4a2b-b: C.x2+9 D.x2+2y2 2.(2023·杭州)分解因式：4a2-1= () A.(2a-1)(2a+1) ②-3xy3+12xy: B.(a-2)(a+2) C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1) ③x2(a-b)+(b-a). 3.(1)(答题模板)分解因式：25a2-36b. 解：原式=(5a)2-(6b) =(5a十 )(5a- (2)【针对练习】分解因式： 易错点○因没把多项式分解到不能分解为止 ①4a-9: 致错 5.判断下列分解因式是否正确，若不正确，请 写出正确的结果， ②81a2-49b; (1)16-b=(4+b2)(4-b): (2)4x2-36=(2x+6)(2x-6). ③(m-1)2-25. 【点津】分解因式时，若有公因式应先提公因式，再 看能否用平方差公式分解，此外，分解因式必须分 解到每一个因式都不能再分解为止. 87 八年级数学·上册 B综合练 膏关姚能力提升一 (2)(2m-n)2-169(m+n)2. 6.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 二项式x2一口y中“口”的部分，若该二项式 能分解因式，则“☐”不可能是 () A.x B.4 C.-4 D.9 13.32一1可以被22和30之间的整数整除，求 7.若多项式(2x)"-81能分解成(4x2+9)(2x 这个数 十3)(2x-3),则n= () A.2 B.4 C.6 D.8 8.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边 长为b的小正方形，将阴影部分剪开，拼成 右边的长方形，根据图形的变化过程写出的 一个正确的等式是 C素养练 学科素养培育一 14.【新课标·代数推理】李老师在黑板上写出 三个算式：52-32=8×2,92-72=8×4， A.(a-b)2=a2-2ab+b2 152一32=8×27，王华接着又写了两个具有 B.a(a-b)=a2-ab 同样规律的算式： C.(a-b)2=a2-b 112-52=8×12,152-72=8×22. D.a2-b2=(a+b)(a-b) (1)请你再写出两个（不同于上面算式）具 9.【新中考·结论开放】一个多项式，把它因式 有上述规律的算式： 分解后有一个因式(x十1)，请写出一个符合 (2)用文字表达上述算式的规律； 条件的多项式： (3)证明这个规律的正确性 10.计算： (1)6.62-3.42= (2)25×1012-992×25= 11.在实数范围内分解因式： (1)x2-2= (2)x-9= 12.【教材P119习题T2变式】分解因式： (1)25x2(a-b)+36y2(b-a). 核心 运算能力几何直观推理能力 素养 助学助教优质高数88 第2课时 运用完全平方公式分解因式 $知识储备$ ③(x-y)2-4(x-y-1). 式子a2+2ab+b= ,a2-2ab+ ,两个数的平方和加上（或减去） 这两个数的积的2倍，等于这两个数的 【点津】运用完全平方公式分解因式，被分解的多项式 A基础练 骨必备知识拉理口 必须满足三个特点：①多项式为三项式：②有两项可化 知识点一 完全平方式 为一个数（整式）的平方，且这两项的符号相同：③第三 1.下列各式中，是完全平方式的是 项是两数（整式）乘积的2倍或一2倍. A.x2-x+4 B.x2-2x+4 知识点三先提公因式再运用完全平方公式分 C.x2-4x+4 D.x2-4x+2 解因式 5.因式分解x2y一2xy十y的结果为 () 2.填空： A.(xy-1) B.y(x-1)2 (1)若x2一8.x十a是一个完全平方式，则a= C.y(x2-2x+1) D.y(x+1)2 6.【教材P118例6(1)变式】把下列各式分解因 (2)【T2(1)变式】若x2+bx+9是一个完全平 方式，则b= 式： (1)(2023·东营)3ma2-6nab+3mb2: 知识点二运用完全平方公式分解因式 3.下列各式中，能用完全平方公式因式分解的 是 () A.y2-x2+2xy B.y2+x2+xy C.25y2+15y+9 D.4x2+9-12x (2②+x+ 4.(1)(答题模板)完成下列填空 分解因式：4x2+4xy十y 解：原式=()2十2· ( )2=( )2: (2)【针对练习】分解因式： B综合练 膏关键能力提升一 ①1+x+, 7.用简便方法计算： 合×3.7-3.7×2.7+2.72× ②-x2-y2+2xy: 89 八年级数学·上册 8.若a,b,c是三角形的三边之长，则代数式 C素养练 学科素养培有与 a2+2bc-c2-b的值 ( 12.【新中考·解题方法型阅读理解题】由多项 A.小于0 B.大于0 式乘法：(x+p)(x十q)=x2+(p十q)x+ C.等于0 D.以上三种情况均有可能 g,将该式从右到左使用，即可得到用“十字 9.【整体思想】已知a十b=3,ab=2,则代数式 a3b+2a'b+ab的值为 () 相乘法”进行分解因式的公式：x2+（p十q)x A.6 B.18 C.28 D.50 +pq=(x+p)(x十q),示例：分解因式：x2十 5.x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). 10.分解因式： (1)4a-4a(b+c)+(b+c)2; 【问题解决分解因式： ①x2+5x+4= ②x2-6x+8 (2)(x2+1)2-4x2: 【拓展应用】阅读多项式2x2一x一3的分解 方法： ①二次项系数2=1×2； ②常数项一3=一1×3=1×（一3），验算： (3)a2(6-1)-6a(b2-1)+9(-1). “交叉相乘之和”； 1×3+2×(-1)=1 11.【新课标·过程纠错】下面是某同学对多项 1×(-1)+2×3=5 式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行分解 1×(-3)+2×1=-1 因式的过程， 1×1+2×(-3)=-5 解：设x2-4x=y, ③发现C的“交叉相乘之和”的结果1×( 则(x2-4x十2)(x2-4x十6)十4 3)十2×1=一1，等于一次项系数一1. =(y+2)(y+6)+4 即：(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3= =y2+8y+16 2x2-x一3，则2x2x-3=(x+1)(2x-3). =(y+4)8 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项 =(x2-4x+4)2. 式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照 回答下列问题： 以上方法，分解因式：3x2+5x-12= (1)该同学分解因式的结果是否彻底？若不 彻底，请直接写出分解因式的最后结果； (2)请你模仿以上方法对多项式(x2一2x) (x2一2x十2)十1进行分解因式. 请完成重难专练（八）（九 助学助教优质高数90方法技巧专题（二）变形乘法公式巧求式子的值 1.A2.373.±94.(1)20(2)解：原式=(a+1)-4·a·1=3-4=5 a a 5.36.解：①a2+b=(a十b)2-2ab=62-2×2=32;②(a-b)2=(a+b)2 4ab=62-4×2=28;③a2-ab+b=a2+b-ab=(a+b)2-3ab=62-3×2= 30.7.解：.a2+b=25,(a-b)2=a2+b2-2ab=1,.2ab=a2+b-(a-b)2= 25-1=24,.(a+b)2=a2+b+2ab=25+24=49.8.(1)(a+b)2-(a-b)2= 4ab(2)①±4②解：(2m+n)2-(2m-n)2=8m,即8m1=13-5=8,∴.mm= 1. 第2课时添括号法则 知识储备 不变改变 基础练综合练素养练 1.(1)①b-c②c-b③z-y④y-之⑤y-之y-x(2)a-3b252.C 3.(1)解：原式=x2+y2+2xy-2x-2y+1(2)解：原式=(a-c)2-(2b)2= a2+c2一2ac一4b4.D5.-一16.解：将-b+c添括号时出错，正确的解答过 程如下：(a-b+c)2=[a-(b-c)]=a2-2a(b-c)+(b-c)2=a2-2ab+2ac+ b-2bc+c2=a2+b+c2-2ab+2ac-2bc.7.解：Q>P.证明：Q=(m2-m+1) (m2+m+1)=[(m2+1)-m][(m2+1)+m]=(m2+1)2-m=m+m2+1,P =(m+1)2(m-1)2=(m2-1)2=m-2m2+1,m+m2+1-(m-2m2+1)= 3m2(m≠0)，..Q-P>0,.∴.Q>P. 14.3因式分解 14.3.1提公因式法 知识储备 1.几个整式分解因式2.公共3.公因式积 基础练综合练素养练 1.C2.B3.D4.B5.C6.(1)a(a+5)(2)2ab(2a-3)(3)(m-n) (3a+2b)7.(1)a3b1a-3b+1(2)①解：原式=2ab2(2ab-5c)；② 解：原式=-3ma(a2-2a+4)；③解：原式=2(x十y)(x-2y).8.B9.D 10.(1)解：原式=6a(a-b)2(2)解：原式=a(a-b)+c(a-b)=(a+c)(a-b). 11.A12.413.2514.(1)解：原式=2023×(1+2023-2024)=2023× 0=0;(2)解：原式=318×(32-6)=38×3=315.解：(1)提公因式法；2； (2)原式=(1+x)[1+x+x(1+x)十x(1+x)2]=(1+x) (1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)=(1+x)4;(3)(1+ x)+1 14.3.2公式法 第1课时运用平方差公式分解因式 知识储备 (a+b)(a一b)和差 基础练综合练素养练 1.A2.A3.(1)6b6b(2)①解：原式=(2ab+3)(2ab-3)；②解：原式= (9a+7b)(9a-7b)；③解：原式=[(m-1)+5][(m-1)-5]=(m+4)(m- 6).4.(1)①x2-y2(x+y)(x-y)②x2-4y2(x+2y)(x-2y)(2)① 解：原式=b(2a+1)(2a-1)②解：原式=3xy(4-y)=3xy(2+y)(2-y); ③解：原式=(a-b)(x2-1)=(a-b)(x+1)(x-1).5.解：(1)不正确，正确的 结果是16一b=(4十b)(2+b)(2一b);(2)不正确，正确的结果是4x2-36=4(x +3)(x-3).6.C7.B8.D9.x2+x(答案不唯一)10.(1)32(2)10 00011.(1)(x+√2)(x-√2)(2)(x2+3)(x十3)(x-√3)12.(1)解：原式 =25x2(a-b)-36y2(a-b)=(a-b)(25x2-36y)=(a-b)(5x+6y)(5x 6y).(2)解：原式=(2m-n)2-[13(m+n)]=[2m-n+13(m+n)][2m-n 13(m+n)]=(15m+12n)(-11m-14n)=-3(5m+4n)(11m+14n).13.解： 原式=(36)2-1=(3-1)(3+1)=(38-1)(3+1)(3+1)，38-1=26,33+ 1=28,.这个数是26或28.14.解：(1)答案不唯一，如：11-92=8×5,132 112=8×6;(2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数；(3)设m,n为整数，两个奇 数可表示为2m十1和2n十1，则(2m十1)2-(2n十1)2=4(m-n)(m十n十1).① 当m,n同是奇数或偶数时，m一n一定为偶数，所以4(m一n)一定是8的倍数；② 当m,n一奇一偶时，则m十n十1一定为偶数，所以4(m十n十1)一定是8的倍 -191 数；综上所述，任意两个奇数的平方差等于8的倍数. 第2课时运用完全平方公式分解因式 知识储备 (a+b)2(a-b)2和（或差）的平方 基础练综合练素养练 1.C2.(1)16(2)±63.D4.(1)2x2xyy2x+y(2)①解：原式= (号x+1.②解：原式=-(x-2xy十y)=-(x-)；③解：原式=(x y)2-4(x-y)+4=(x-y)2-2×2(x-y)+2=(x-y-2)2.5.B6.(1)解： 原式=3m(d-2a6+分)=3ma-b(2)解：原式=(r+2x+1D=2(+ 10.7.解：原式=7(3.72-2×3.7×2.7+2.7)=23.7-2.72=分8. B9.B10.(1)解：原式=(2a-b-c)2(2)解：原式=(x2+1+2x)(x2+1- 2x)=(x+1)2(x-1)2;(3)解：原式=(b2-1)(a2-6a+9)=(b-1)(a-3)2 =(b+1)(b-1)(a-3)2.11.解：(1)不彻底，结果是(x-2)1;(2)设x2-2x= y,则原式变形为y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1). 12.①(x+1)(x+4)②(x-4)(x-2)③(x+3)(3x-4) 综合与实践（三）探索拼图 活动1：(a+b)2=a+2ab+b活动2：解：(a+2b)(a+b)=a+ab+2ab+2b =a2+3ab十2b,∴.需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张.活动3： b abab b (a十3b)(a十2b)活动4：解：拼图如下：a ab 活动5：解：设MN b .S=aLx-(a+b)]=ax-a2-ab,S2=3b(x-a)=3bx-3ab,..Q=S -S2=(a-3b)x-a2+2ab,由题意得，若Q为定值，则Q将不随x的变化而变 化，可知当a-3b=0时，即a=3b时，Q=一a2十2ab为定值.活动6：解：由题 知：x-y=DG=BE=2,x2+y=34,则(x-y)2=4=x2+y-2xy,则2xy=30, .(x十y)2=x2+y2+2xy=34+30=64,∴.x+y=8(负值舍去)，图中阴影部分 面积为：号X2y+2x(x-0=y+豆X2=y十1=8， 1 1 第十四章核心素养专练 1.解：(1)(am)2·a”=24,4·a”=24,a”=6.(2)①a”·6=(ab)”②52023×（一 0.2)222=5X5202×(-0.2)2022=5×(-0.2X5)202=5×1=5.2.B3.解： (1)x3-xy2=x(x-y)(x+y),当x=21,y=7时，x-y=14,x+y=28.可得数 字密码为211428,212814,142128,142821,282114,281421（写出三个即可）.(2) ,密码为2434，∴.当x=27时，x2十（m-3n)x-7n=(x-3)(x+7),即x2+(m -3n)x-7n=x+4x-21.·-7m=-21.解得”m=13, n=3. 第十四章考点整合与素养提升 1.B2.23.(1)2(216(3)-0.254.解：原式=x2+x+8x=10x. 5.B6.D7.428.59.(1)解：原式=10x2+5x-10x2+2x-15x+3=- 8x+3;(2)解：原式=(xy+xy-x2y+ry)÷3y=2xy÷3xy=3xy 2 10.C11.A2.113.(1)解：原式=(1000-2)(1000+2)=10002-22= 999996;(2)解：原式=x2-4y2-3y+4y2=x2-3y14.解：原式=a2+6a+9 -a2+1-4a-8=2a+2,当a=-号时，原式=2a+2=1.15.A16.B17. 4218.(1)解：原式=x2(1-x2)=x2(1十x)(1-x)；(2)解：原式=-a(a2- 2a+1)=-a(a-1)2.19.±220.-1或3或121.(1)(4x2+1)(2x+1) (2x-1)(2)(a-2)2(a+2)22.D23.424.(1)是(2)证明：设较小的偶 数为2k,则较大的偶数为2k+2.∴.(2k十2)2-(2k)2=8k+4=4(2k+1).·k为 正整数，.2k+1为正整数.∴.“神秘数”一定是4的倍数.(3)解：2000不是“神秘 数”.理由：假设2000是“神秘数”，由(2)得4(2k+1)=2000.解得：k=249.5.,k 不是整数，.假设不成立..2000不是“神秘数”.25.解：(1)(6m十6n)cm;(2) (2m十n)(m+2n);(3)由题意，得，2m2+2n=58,mn=10,∴.m2+n2=29,.(m -192