14.2.2 完全平方公式-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

品解：原式-号y-号ry+1.当=-2y=2时，原式-名xy-号y +1=专×（一2）×8号×4X4+1=一23.6解：1设所捂的二次三项式为 A,则A=(3r-6x+3x÷3x=-2x+1.(2)当x=合时-2x+1= 1 +1+1-2},7.D84a+9.解：原式=(2-a-d+d-5b十a-2 2a2)÷a=(-5ab-2a)÷a=-5b-2a.当a=-1,b=2时，原式=-5b-2a= -5×2-2×(-1)=-8.10.解：(21xy3+☐+7x2y2)÷(-7x2y)=21xy ÷(-7x2y)+☐÷(-7x2y)+7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+☐÷(-7x2y)-y. :-3x2y2+☐÷(-7xy)-y=△十5xy-y,.“△”处被擦掉的是-3xy, “口”处被擦掉的是5xy·(-7xy),即-35xy.11.解：能复原，由题意可知 除式为-3r÷5r=-合被除式为(4-3y+6)·(-名y= 2ry+号r-3这个算式是(-2ry+2ry-3)÷(←合w小 12.解：(1)(x”-1)÷(x-1)=x”-1+x-2+…+x+1;(2)由题意可知(24 1)÷(2一1)=28+22+…+22+2+1，..1+2+22+…+22+263=264-1. 14.2乘法公式 14.2.1平方差公式 知识储备 平方差a2-b 基础练综合练素养练 1.(1)-2a(-2a)2(3b)24a2-962(2)①解：原式=(xy)2-52=x2y2- 25.②解：原式=(-2y-x)(-2y+x)=(-2y)2-x2=4y2-x2.2.B3.A 4.(a+b)(a-b)a2-b(a十b)(a-b)=a2-b25.解：(1)S=(a+b)(a- b),S2=a-b;(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.6.(1)7070704899(2)① 解：原式=(9+号)(9号）=9-（号）广=80袋②解：原式=(2023-1D(2 023+1)-20232=20232-1-20232=-1.7.C8.C9.110.解：原式= 2024 2024 2024一(2024-10(2024+1)2024-2024+1=2024.11.解：原式=a -b+(2a)2-(3b)2=a2-62+4a2-9b=5a2-106,将a=-1,b=2代入上式， 得原式=5×(-1)2-10×22=5-40=-35.12.(1)2-1216-1解：(2) 原式=2×1-合1+宁)1+号1+宁1+宁1+六)=2x11+ 2)1+1+21+动)=2×1-1+2)1+2)1+品)=2x1 1 1 1 1 3)1+1+六)=2x1-六1+品)=2x1-0)=2品. 1、 14.2.2完全平方公式 第1课时完全平方公式 知识储备 平方和2a2+2ab+ba2-2ab+b 基础练综合练素养练 1.(1)xx22x2-4x+4(2)(-a)（-a)bba2-2ab+b2(3) (-a)(-a)bba2+2ab+b2.(a-b)2a2-2ab+b2(a-b)2=a2 3.D4.(D解：原式=9+30x+25x；(2)解：原式=6二ab ()解：原式=m+mm+.5D6.1解：原式=(60+品)广-360+2 1 1 +3600=36023600:(2)原式=(300-1)2=3002-2×300×1+1=90000 -600+1=89401.7.±1±48.C9.(1)解：原式=(200+1)2-(200一 2)(200+2)=2002+400+1-(2002-4)=405;(2)解：原式=(y2-x2)(x2 y2)=-(x2-y2)2=-(x-2xy2+y)=-x+2x2y2-y.10.解：原式=y -3xy,当x=√2，y=-1时，原式=1+3√2.11.(1)13(2)712.(1)(a+b +c)2=a2+b+c2+2ab+2bc+2ac(2)解：由(1)可得a2+b+c2=(a+b+c)2 -(2ab+2bc+2ac)=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=112-2×38=45. 190 方法技巧专题（二）变形乘法公式巧求式子的值 1.A2.373.±94.(1)20(2)解：原式=(a+1)-4·a·1=3-4=5 a a 5.36.解：①a2+b=(a十b)2-2ab=62-2×2=32;②(a-b)2=(a+b)2 4ab=62-4×2=28;③a2-ab+b=a2+b-ab=(a+b)2-3ab=62-3×2= 30.7.解：.a2+b=25,(a-b)2=a2+b2-2ab=1,.2ab=a2+b-(a-b)2= 25-1=24,.(a+b)2=a2+b+2ab=25+24=49.8.(1)(a+b)2-(a-b)2= 4ab(2)①±4②解：(2m+n)2-(2m-n)2=8m,即8m1=13-5=8,∴.mm= 1. 第2课时添括号法则 知识储备 不变改变 基础练综合练素养练 1.(1)①b-c②c-b③z-y④y-之⑤y-之y-x(2)a-3b252.C 3.(1)解：原式=x2+y2+2xy-2x-2y+1(2)解：原式=(a-c)2-(2b)2= a2+c2一2ac一4b4.D5.-一16.解：将-b+c添括号时出错，正确的解答过 程如下：(a-b+c)2=[a-(b-c)]=a2-2a(b-c)+(b-c)2=a2-2ab+2ac+ b-2bc+c2=a2+b+c2-2ab+2ac-2bc.7.解：Q>P.证明：Q=(m2-m+1) (m2+m+1)=[(m2+1)-m][(m2+1)+m]=(m2+1)2-m=m+m2+1,P =(m+1)2(m-1)2=(m2-1)2=m-2m2+1,m+m2+1-(m-2m2+1)= 3m2(m≠0)，..Q-P>0,.∴.Q>P. 14.3因式分解 14.3.1提公因式法 知识储备 1.几个整式分解因式2.公共3.公因式积 基础练综合练素养练 1.C2.B3.D4.B5.C6.(1)a(a+5)(2)2ab(2a-3)(3)(m-n) (3a+2b)7.(1)a3b1a-3b+1(2)①解：原式=2ab2(2ab-5c)；② 解：原式=-3ma(a2-2a+4)；③解：原式=2(x十y)(x-2y).8.B9.D 10.(1)解：原式=6a(a-b)2(2)解：原式=a(a-b)+c(a-b)=(a+c)(a-b). 11.A12.413.2514.(1)解：原式=2023×(1+2023-2024)=2023× 0=0;(2)解：原式=318×(32-6)=38×3=315.解：(1)提公因式法；2； (2)原式=(1+x)[1+x+x(1+x)十x(1+x)2]=(1+x) (1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)=(1+x)4;(3)(1+ x)+1 14.3.2公式法 第1课时运用平方差公式分解因式 知识储备 (a+b)(a一b)和差 基础练综合练素养练 1.A2.A3.(1)6b6b(2)①解：原式=(2ab+3)(2ab-3)；②解：原式= (9a+7b)(9a-7b)；③解：原式=[(m-1)+5][(m-1)-5]=(m+4)(m- 6).4.(1)①x2-y2(x+y)(x-y)②x2-4y2(x+2y)(x-2y)(2)① 解：原式=b(2a+1)(2a-1)②解：原式=3xy(4-y)=3xy(2+y)(2-y); ③解：原式=(a-b)(x2-1)=(a-b)(x+1)(x-1).5.解：(1)不正确，正确的 结果是16一b=(4十b)(2+b)(2一b);(2)不正确，正确的结果是4x2-36=4(x +3)(x-3).6.C7.B8.D9.x2+x(答案不唯一)10.(1)32(2)10 00011.(1)(x+√2)(x-√2)(2)(x2+3)(x十3)(x-√3)12.(1)解：原式 =25x2(a-b)-36y2(a-b)=(a-b)(25x2-36y)=(a-b)(5x+6y)(5x 6y).(2)解：原式=(2m-n)2-[13(m+n)]=[2m-n+13(m+n)][2m-n 13(m+n)]=(15m+12n)(-11m-14n)=-3(5m+4n)(11m+14n).13.解： 原式=(36)2-1=(3-1)(3+1)=(38-1)(3+1)(3+1)，38-1=26,33+ 1=28,.这个数是26或28.14.解：(1)答案不唯一，如：11-92=8×5,132 112=8×6;(2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数；(3)设m,n为整数，两个奇 数可表示为2m十1和2n十1，则(2m十1)2-(2n十1)2=4(m-n)(m十n十1).① 当m,n同是奇数或偶数时，m一n一定为偶数，所以4(m一n)一定是8的倍数；② 当m,n一奇一偶时，则m十n十1一定为偶数，所以4(m十n十1)一定是8的倍 -19114.2.2完全平方公式 第1课时 完全平方公式 Φ知识储备$ 1 两个数的和（或差）的平方，等于它们的 (2)h-2a2: ,加上（或减去）它们的积的 倍.用符号表示为：(a十b)2= (a-b)2= (3)(-2m-n)2. A基础练 ©细必备知识梳理一 知识点一 对完全平方公式的认识 知识点四完全平方公式的运用 1.根据完全平方公式填空： 5.9.72变形正确的是 (1)(x-2)2= 2-2 A.9.72=92+0.72 2= B.9.72=92-9×0.7+0.72 (2)(-a+b)2= 2十2· C.9.72=(10+0.3)×(10-0.3) ·十= D.9.72=102-2×10×0.3+0.3 (3)(-a-b)2= 6.【教材P110例4变式】运用完全平方公式计算： ·十= 知识点二完全平方公式的几何意义 (60品)： 2.【教材P109“思考”变式】如 图，图中阴影部分面积可以表 示为 ,还可表示为 ,由此可得到 数学公式为 知识点三直接利用完全平方公式计算 3.下列变形中，正确的是 ( (2)299. A.(b-4c)2=b2-16c2 B.(a-2b)2=a2+4ab+4b2 C.(x+y)2=x2+xy+y2 D.(4m-n)2=16m2-8mn+n 4.【教材P110例3变式】计算： (1)(3+5x)2: 易错点○因考虑问题不全面而漏解 7.若(2x+a)2=4.x2十bx十1，则a= b= 81八年级数学·上册 【点拨】完全平方公式有两个，可以从右边展开项最 去若干个正方形A,B外，还需要以a,b 后一项“1”入手求的值，再按完全平方公式展开 为边的长方形 个 计算b的值. B综合练 ?关健能力提升一 B B 8.若a一b=4,ab=3,则a2+b2的值是() A.10 B.16 C.22 D.28 C素养练 学科素养培育一 【点津】已知两个数的和（或差），求它们的平方和， 12.【新课标·过程性学习】我们知道对于一个 可将已知等式两边同时平方展开，再用整体代入法 图形，通过不同的方法计算图形的面积可 求值 以得到一个数学等式 9.【教材P111练习T2变式】计算： (1)2012-198×202: 例如：由图1可得到(a+b)=a2+2ab+ b2. (2)(x+y)(y-x)(x2-y2). 图1 图2 (1)写出图2所表示的数学等式： (2)利用上述结论，解决下列问题：已知a十 b+c=11,bc+ac+ab=38,a2+b2+ 10.先化简，再求值： (2x+y)+(x+2y)-x(x+y)-2(x十 c2的值. 2y)(2x+y),其中x=√2，y=-1. 11.有两个正方形A,B,其边长分别为a,b(a> b).现将B放在A的内部得图①，将A,B 并列放置后构造新的正方形得图②.若图 ①和图②中阴影部分的面积分别为1和12. (1)正方形A,B的面积之和为； (2)小明想要拼一个两边长分别是(2a十b) 核心 运算能力几何直观 与(a十3b)的长方形（不重不漏），除用 素养 模型观念 抽象能力 助学助教优质高致82 方法技巧专题（二） 变形乘法公式巧求式子的值 解题技巧 6.【教材P112习题T7变式】已知a+b=6, 利用乘法公式进行计算时，常把a2十b,ab,a士b ab=2,求下列各式的值： 等看作一个整体，因此对乘法公式作如下变形： ①a2+b;②(a-b)2:③a2-ab+b. 1.a2+b的变形： (1)a2+=(a+b)2-2ab: (2)a2+b=(a-b)2+2ab: (3)a2+=2[a+b+(a-b)]. 2.ab的变形： (1)ab= [a+b-a+]: 7.已知a2+b2=25,(a-b)2=1,求(a+b)2的 (2)ab=2a+0)-a-bP]: 值. (3)ab=[a+b)2-(a-b2]. 3.(a士b)2的变形： (1)(a+b)2=(a-b)2+4ab: (2)(a-b)2=(a+b)2-4ab. 【针对练习】 1.已知a一b=8,a2十b=82,则ab的值是 ( 8.(1)请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如 A.9 B.-9 C.27 D.-27 图)，根据图形的面积关系，写出一个等量 2.若|x-y-5|+(xy-6)2=0,则x2+y2的值 关系式为 为 (2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题： 3.若4a2+b=57,ab=6,则2a+b的值为 ①若m十n=8,mn=12,则m一n的值为 ； 4.()已知a-名=4，则a2+等的值是 ②已知(2m+n)2=13,(2m-n)2=5,请 利用上述等式求mn的值. (2【T41)变式】尼知a+=3,求(a-” 的值 5.a,b均为正数，a一b=1,ab=2,则a+b的值 是 83 八年级数学·上册 第2课时 添括号法则 $知识储备$ B综合练 膏关键能力提升一 添括号法则：如采括号前面是正号，括到括号里的 4.下列添括号错误的是 各项都 符号：如果括号前面是负号，括到 A.a2-b2-b+a=a2-+(a-b) 括号里面的各项都 符号（填“不变”或“改 B.(a+b+c)(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)] 变”) C.a-b+c-d=(a-d)+(c-b) D.a-b=-(b+a) A基础练 必备知识梳理一 5.【整体思想】当x=1时，ax十b十1的值为3， 知识点一 添括号法则 则(a+b-1)(1-a一b)的值是 1.(1)利用添括号法则填空： 6.【新课标·过程纠错】计算：(a一b十c)2, ①a+b-c=a+( 解：(a-b十c) =[a-(b+c)] ②a+b-c=a-( =a2-2a(b+c)+(b+c)9 ③x-y+z=x+( ) =a2-2ab-2ac+b2+2bc+c2 ④x-y十2=x-( =a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc. ⑤(x+y-)(x-y+x)=[x+( 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错 [x-( )]. 在哪里，并写出正确的解答过程， (2)【T1(1)变式】若a-3b=5,则10-a+3b =10-( )= 知识点二添括号后运用乘法公式计算 2.为了应用平方差公式计算(x十3y一1)(x一 3y十1)，下列变形正确的是 ( A.[x-(3y+1)] B.[x+(3y+1)] C素养练 透学升在养路有一 C.[x+(3y-1)][x-(3y-1)] 7.【新课标·代数推理】若m≠0，Q=(2一m十 1)(2+m十1)，P=(m十1)2(m一1)2.猜想Q与 D.[(x-3y)+1][(x-3y)-1] P的大小关系，并证明你的猜想. 3.【教材P111练习T2变式】运用乘法公式计算： (1)(x十y-1): (2)(a+2b-c)(a-2b-c). 请完成进阶测评（五】 助学助教优质高致84