14.1.1-14.1.3&回归教材专题(4)幂的运算法则的应用-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

第十四章整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 14.1.1同底数幂的乘法 $知识储备出 知识点二逆用同底数幂乘法法则 1,同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘， 5,a6不可以写成 不变，指数 A.a5·a B.a8·a8 2.同底数暴的乘法法则的逆运用：am十"=a"· C.a·a D.a'·a (m,n都是 6.(1)若25=2m·22,则m的值为 ()】 A.1 B.2 C.3 D.4 A基础练 ©必备知识梳理一 (2)【T6(1)变式】若a3·a=a8,则x的值为 知识点一 同底数幂的乘法运算 () 1.下列各项中，两个幂是同底数幂的是( A.4 B.5 C.6 D.8 A.x2与a B.(-a)5与a3 7.若2=3,2y=5,则2= C.(2a)2与a D.x2与x2 B综合练 金关健能力提升一 2.(1)计算a2·a3的结果是 ( 8.若10=a,10'=b,则10+y+2等于 A.a2 B.a C.as D.a A.2ab B.a+b (2)【教材P95“问题1”变式】计算-22×2的 C.a+b+2 D.100ab 结果是 ( 9.(1)若3×27×39=3+8，则x= A.27 B.-27 C.21o D.-210 (2)【T9(1)变式】已知4m=32,4"=2,则m+ 3.(1)(答题模板)计算： n的值为 ①a2·a=a2+t)=a 10.【教材P96练习变式】计算： ②(-3)2×(-3)=(-3)9 3=(-3)9 (1)m·m2·m+m2·m: (2)【针对练习】计算： ①a3·a5; ②(-2)3×(-2)2； (2)8×23×32×(-2)8. ③(x-y)3·(x-y)2；④-a2·a8·a2m-1 C素养练 净学科本养培有一 11.已知：3=5,3+=15,3=11,3m=33,试判 断y,,m之间的数量关系，并说明理由. 易错点○因忽视底数不同致错 4.计算：(a一b)·(b-a)2·(b-a)3= 【点津】当底数互为相反数时，一般化指数为偶数的 幂，使其底数相同，再运用同底数幂的乘法法则计算。 67 八年级数学·上册 14.1.2 幂的乘方 $知识储备$ B综合练 餐关键能力提升一 1.暴的乘方法则：暴的乘方， 不变，指数 7.9m·27可以写为 ( ,用符号表示：(a")"=am A.9如+3w B.27m+3mC.32m+3新 D.33m+2m 2.幂的乘方法则的逆运用：a=(a")"=(a)" 8.若k为正整数，则(k十k十…十k)=() (m,n都是正整数). k个k相加 A.k2 B.k2+1 C.2k* D.k2+ A基础练 必备知识梳理一 9.已知2=a,2"=b,则22+m用a,b可以表示 知识点一 幂的乘方运算 为 1.计算(b2)3的结果正确的是 ( 10.【教材P97练习变式】计算： A.-b5 B.b5 C.b5 D.-b5 (1)2(a5)2·(a2)2-(a2)·(a3)2: 2.【教材P96例2变式】下列各式中，运算结果 不等于a"的是 () A.(a2) B.a·a C.(a) D.a+a (2)[(x+y)2]6+[(x十y)门3. 3.(1)(答题模板)(a2)3=a)×()=a. (2)【针对练习】计算： 11.若2x十3y-3=0,求4·8￥的值. ①(102)： ②-(a3)5; ③-(xm)2; ④(.x+1)2. C素养练 学科素养培育一 易错点○ 对幂的乘方法则理解不透致错 12.【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读下 4.下列四个算式中正确的有 ( 列解题过程，试比较21与35的大小 ①(a)1=a+=a8:②[(6)2]2=x2×2=b; 解：2100=(2)25=1625,35=(33)25=2725， ③[(-x)3]2=(-x)=x:④[(-y)3]3=y. 而16<27，.210<35. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 上述解题时，通过“幂的乘方”公式构造了相 【点拨】③①先根据幂的乘方法则“底数不变，指数相 同的指数，从而比较大小.试用类似的方法， 乘”计算，再根据“一”的偶次景得正，奇次幂得负处 比较3555,4#，5333的大小. 理符号 知识点二逆用幂的乘方法则 5.a12=( )2=()3=( 6.(1)x"=一4，则x2= (2)【T6(1)变式】若x=27,则x的值是 助学助教优质高数68 14.1.3 积的乘方 $知识储备$ 易错点○因不能灵活运用积的乘方法则致错 1,积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因 5.计算：(-103)2×(103)3. 式分别 ,再把所得的暴 2.积的乘方法则的逆运用：a"b”=(ab)"(n为正整 数) 【点拨】先按照积的乘方、幂的乘方的法则计算，再按 照同底数幂的乘法法则计算。 A基础练 必备知识梳理一 B综合练 么关健能力提升一 知识点一 积的乘方运算 6.如果(am·b·b”)3=ab5,那么m,n的值分 1.【教材P97“探究”变式】计算(3x)3的结果是 别是 () () A.2,4 B.2,5 C.3,5 D.3,-5 A.3.x8 B.6x C.9x D.27x 7.已知n是正整数，且x=2,则(3x3m)3十( 2.下列运算正确的是 ( 2x2")3的值为 A.(xy)3=xy B.(3a)3=9a 8.【教材P104习题T2变式】计算： (1)[(-2x2y3)3]2; C.(a2b)=a2b+1 D.(-2a2)3=-8a 3.(1)(答题模板)填空： ①(x2y3)2=x2×)·y3× ②(-3a2)2=(-3)）·(a3))= (2)(-3a2)3·a3+(-4a)2·a7-(5a3)3. (2)【针对练习】计算： ①(3a2)3; ②(-3x2)3: 9.用简便方法计算： (-0.125)×(-1号)'×(-8×（层 ③(xy)3; ④(-2×102)3. 知识点二逆用积的乘方法则 4.(1)填空：(0.25)1×41=( C素养练 学科素养培育一 )1= 10.已知2=a,5"=b,20m=c,试探究a,b,c之 (2)【T4(1)变式】计算( 号)”×(2”的结 间有什么关系， 果是 A号 B-27C.2 D.-1 69 八年级数学·上册 回归教材专题（四）幂的运算法则的应用 [针对教材P104习题T1、T2] 类型一直接利用幂的运算法则计算 (2)38r= 1.计算： (3)求33x+w的值. (1)a·a= (2)(a5)2= (3)(-a)3= (4)(2y2)3= (5)(-a2bc)3= (6)(a2)3·a= 5.求下列各式中x的值： (1)2r+1·5+1=100: (8)(-am)5·a"= 2.若(am+bb2)2=ab6,则m= ,= 3.计算： (1)(-2a"b3m)2+(a2b)"; (2)32r+2-32+1=486. (2)(x-y)·(y-x)3·[-(x-y)2]·(y-x): (二)逆用幂的运算法则比较大小 (3)-(-2x2)3·(-x2)2-x·(-x3)3. 6.已知a=811,b=271,c=91,则a,b,c的大 小关系是 () A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a 类型二逆用幂的运算法则计算 【点拔】这三个数的底数和指数都不相同，但底数 解题技巧 81,27,9都可以化为3的乘方的形式.故化为底数 (1)将指数相加的暴写成同底数暴的积，即a+ 相同，然后比较指数的大小。 =am·a";(2)将指数相乘的幂写成幂的乘方，即am =(a");(3)将相同指数暴的积写成积的乘方，即 器.Q二，比较P和Q的大小 7.已知P-88 a"b"=(ab)". (一)逆用幂的运算法则计算 4.已知3=6,3'=2 (1)3+y= 助学助教优质高数70-∠DAC.即∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE.∴.BD=CE,∠ABD= ∠ACE.设BF与AC相交于点G,则∠AGB=∠FGC,∴.∠BFC=∠BAC=60°； (3)BD=CE(或相等)40°或140°(4)延长AF到M使FM=FA,连接EM,. ∠EFM=∠BFA.,FE=FB,.△AFB≌△MFE(SAS)..ME=AB. ∠BAM=∠M,.ME∥AB.∴.∠MEA+∠EAB=180°.，∠BAC=∠DAE= 90°，∴.∠DAC+∠EAB=180°..∠MEA=∠DAC.:'△ABC和△ADE是等腰 直角三角形，AB=AC,AD=AE..EM=AC..△AEM≌△DAC(SAS). AM=DC..'DC=4,..AM=4...AF=2. 13.4课题学习最短路径问题 知识储备 线段垂线段 基础练综合练素养练 1.B2.解：图略3.解：①过点A作AC⊥河岸a,且使AC等于河宽；②连接 BC,与河岸b交于点N;③过点N作MN⊥河岸a于点M,则MN即为桥的位 置.4.65.解：作点A关于EF的对称点A',点B关于EH的对称点B'.连接 A'B,A'B'与EF,EH的交点N,M即为台球撞击点.6.解：(1)作点A关于直 线11的对称点A';(2)作点B关于直线l2的对称点B;(3)连接A'B',分别与直 线l1,l2相交于C,D两点，连接AC,CD,BD,则沿路线A→C-D→B跑才能使 总路程最短. 第十三章核心素养专练 1.证明：连接AD,:AB=AC,∠BAC=90°，D是BC的中点，.∠B=∠C= 45,∠BAD=∠CAD=2∠BAC=45°，∠B=∠BAD=∠C=∠CAD,BD =AD.又：∠B=∠CAD,BE=AF,∴.△BDE≌△ADF(SAS).∴.DE=DF, ∠BDE=∠ADF.:'∠ADB=∠BDE+∠ADE=90°，∴.∠ADF+∠ADE=90°， 即∠EDF=90°.∴.△EDF为等腰直角三角形.2.B3.解：(1)6(2)分别作 出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC分别交OM,ON于点D,E,连接 AD,AE,则线段AD,DE,EA之和即为所求的最短路径.由题意，得OB=OA= OC=5,∠BOD=∠AOD,∠COE=∠AOE,:'∠MON=∠AOD+∠AOE=30°， .∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°.∴.△OBC为等边三角形. ..BC=OB=5.AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=5km,,∴.整个过程所行的 路程为5km. 第十三章考点整合与素养提升 1.B2.①②③3.14.解：(1)图略，点C的坐标为(3,4).(2)图略.(3)设M (,0),:△ABM的面积为2，AB与x轴交于点(2,0)，号×1-2×2=2，解 得t=0或t=4...点M的坐标为(0,0)或(4,0).5.136.证明：，AD平分 ∠BAC,DELAB,DF⊥AC,.∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°，又 AD=AD,.Rt△ADE≌Rt△ADF..AE=AF,DE=DF..AD垂直平分EF 7.C8.6m9.解：(1)：∠ACB=90°，∴.∠B+∠BAC=90°.CD⊥AB, ∠CAD+∠ACD=90°..∠ACD=∠B.:AE是∠BAC的平分线，.∠CAE= ∠EAB.,∠EAB+∠B=∠CEA,∠CAE+∠ACD=∠CFE,∴.∠CFE= ∠CEF..CF=CE..△CEF是等腰三角形；(2).点E恰好在线段AB的垂直 平分线上，.AE=BE.∴·∠EAB=∠B.AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE= ∠EAB..∠CAB=2∠B.∠ACB=90°，.∠CAB+∠B=90°.∴.∠B=30°， AB=2AC.10.1011.40°或140°12.138°或42°13.40°或140°14.6 15.【问题解决】CF+CE=CD【类比探究】CF=CE+CD.理由如下；过点D作 DG∥AB交AC延长线于点G,则∠A=∠G,∠B=∠BDG.:等边△ABC, ∠A=∠B=60°..∠G=∠BDG=60°..△GDC是等边三角形.∴.DG=CG= DC.等边△EDF,.ED=FD,∠EDF=60°.∴.∠EDF=∠GDC.∴.∠EDG= ∠CDF..△EDG≌△FDC(SAS).∴.EG=CF..EG=EC+CG=EC+CD, FC-EC+CD. 第十四章整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 14.1.1同底数幂的乘法 知识储备 1.底数相加2.a”正整数 基础练综合练素养练 1.D2.(1)C(2)B3.(1)①13②2+46(2)①解：原式=a+5=a; ②解：原式=(-2)5=一32；③解：原式=(x-y)+=(x一y)5;④解：原式 187 =-a2+8+2-1=-a2m+°.4.(b-a)°5.D6.(1)C(2)B7.158.D9. (1)5(2)310.(1)解：原式=m++4+m2+5=2m;(2)解：原式=2×2×2 ×2=21°.11.解：m=y十之，理由如下：3+=15,3*=5，.3·3"=15，.3 =3,又3m=33=3×11,3"=3,3=11,.3m=3”·3=3+,.m=y+之. 14.1.2幂的乘方 知识储备 1.底数相乘 基础练综合练素养练 1.B2.D3.(1)236(2)①解：原式=10；②解：原式=-a5;③解：原式 =-x2m;④解：原式=x2m+2.4.C5.aaa36.(1)16(2)37.C8.A 9.ab10.(1)解：原式=2a"·a-a8·a=a4;(2)解：原式=2(x+y)12. 11.解：4·8=(22)·(23)=22r·2=22+y,2x+3y-3=0,.2x+3y= 3.当2x十3y=3时，原式=22+=24=8.12.解：：36=(3)1,44= (44),538=(53)1.又35=243,41=256,53=125，.53<35<4.∴.(53)1< (35)11<(44)1.即538<355<444. 14.1.3积的乘方 知识储备 乘方相乘 基础练综合练素养练 1.D8.D3.(1)①22xy°②229a(2)①解：原式=3·(a2)3= 27a；②解：原式=(-3)3·(x2)3=-27x；③解：原式=(x)3·(y)3=x y;④解：原式=(-2)3×(102)3=-8×10°.4.(1)0.2541(2)D5. 解：原式=(-1)2×(103)2×10°=10156.A7.1848.(1)解：原式=(-2) ·(x2)5·(y2)5=64x2y8;(2)解：原式=-27a°+16a°-125a°=-136a°. 9.解：原式=[(-0.125)×(-8)"]×[(-1号)'×（层）门=[-0.125×( 8]×[(-号)×（停）]=1×(-10=-1.10.解：20=(2×5)=2× 5"=(2")2X5=ab,且20"=c,∴.c=a2b. 回归教材专题（四）幂的运算法则的应用 .①0a2a”3)-a48y(5-a6c(6)a061x8)P am+2.043.(1)解：原式=4ambm十a2"bm=5a2"b"；(2)解：原式=(y x)·(y-x)3·(y-x)4·(y-x)=(y-x)12;(3)解：原式=8x·x+x·x =8x°+x1°=9x°.4.(1)12(2)216解：(3)33+=3·32=(3)3×(3)2 =63×22=864.5.(1)解：2+1·5+1=10+1,100=102r,.10+1=102,.x +1=2x,解得：x=1.(2)解：32+2-32+1=9×3r-3×32x=6×32,.6× 3=4863=81.32=3.2x=4.解得=2.6.A7.解：P-g= (8×11)8_88×118 888 8X80,.P=118 80P=Q. 14.1.4整式的乘法 第1课时单项式乘单项式 知识储备 相乘因式 基础练综合练素养练 1.C2.(1)-2313-6ab(2)①解：原式=[2×(-4)]×(x2·x)· (y·y)·z=-8x3y之.②解：原式=-8x3·(-4xy)=[-8×(-4)]·(x ·x)·y=32xy.3.27xyx34.48n5.2a2×10s6.-247.28.(1) 解：原式=2x·9.x2y2·（-xy3)=-18xy.当x=1,y=-1时，原式=- =18X1X(-1D18:(2)解：原式=一8xy三7y 103)×(4×10)×(8×10)=6.4×107(dm3).答：长方体废水池的容积是6.4× 10dm3.10.解：(1)x=-2,y=-1(2)原式=-24x3y°=192 第2课时单项式乘多项式 知识储备 每一项相加 基础练综合练素养练 1.D2.(1)x(-3y)6x2-18xy(1)①解：原式=-6x3y2+4x2y3-2xy. ②解：原式=3ab3-12ab+2a2b.③解：原式=(x2+2x-1)·9.x=9x5+ 18.x5-9x3.2m3-6m+2m4.6a-9ab+3a5.D6.D7.B8.A9. -188