模型构建专题(2)等腰三角形中的手拉手模型&13.4 课题学习最短路径问题-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

模型构建专题（二） 等腰三角形中的手拉手模型 税型展示 如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶 点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因 为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所 以通常称为“手拉手模型”，如图，在等腰三角形 图4 图5 OAB中，OA=OB,在等腰三角形OCD中，OC (2)如图3，△ABC和△ADE是等边三角形， OD,∠AOB=∠COD,将△OCD绕点O旋转一定 AD<AB,连接BD,CE,BD的延长线与 角度后，连接AC,BD(称为“拉手线”，左手拉左手， CE相交于点F.请猜想BD与CE的大小 右手拉右手). 关系，求∠BFC的度数； (3)如图4，在△ABC和△ADE中，AB AC,AD=AE,AD<AB,/BAC= ∠DAE=40°，连接BD,CE.则BD与CE 的数量关系为 ,直线 OC在△OAB内，OC在△OAB外，OC在△OAB外， BD与直线CE的夹角为 且拉手线无交点且拉手线无交点且拉手线有交，点 (4)如图5，△ABC和△ADE是等腰直角三 结论： 角形，AB<AD,∠BAC=∠DAE=90 (1)△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等)： (∠DAC<90°)，连接BE,CD,F是线段 (2)EO平分∠AED: BE的中点，连接AF.若DC=4,请你求 (3)∠AEB=∠AOB, 出AF的长. 【针对练习】 L.如图，△ABC和△BDE均为等 边三角形，连接AD,CE.若 ∠BAD=a,则∠BCE的度数 为 ( A.60 B.a C.60°-a D.60°+a 2.(1)如图1，△ABC和△ADE是等腰直角三 角形，AB<AD,∠BAC=∠DAE=90°，连接 BD,CE,构建“手拉手”模型，得到了BD= CE:在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图2的 划斜线部分，得到了BD⊥CE. 请完成重难专练（七】 图3 助学助散 优质高数62 13.4 课题学习 最短路径问题 础知识储备出 B综合练 《关键能力提升一 “两点的所有连线中， 最短”“连接直 线外一点与直线上各点的所有线段中， 4.如图，在等边△ABC中，点E 最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题」 是AC边的中点，点P是 △ABC的中线AD上的动 A基硼练 必备知识杭理 点，且AD=6,则EP+CP 知识点一“将军饮马”问题 的最小值是 1.【教材P85“问题1”变式】A,B两个小镇在河 流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在 5,(趣味数学)如图，EGH为正方形台球桌面， 河边（上修建一个自来水厂P,分别向两个小 现有一白球A和一彩球B,应怎样击打白球 镇供水.要使所用水管总长度最短，则下列图 A,才能使白球A碰到台边EF,EH反弹后 形中，自来水厂P的位置正确的是() 能击中彩球B?试画出白球A运动的路线. g D 2.如图，A,B在直线l异侧，在直线1上取一点 C素养练 净华科雀茶路直一 P,使PA+PB最小. 6.【教材P93复习题T15变式】某学校举行秋 季趣味运动会，有一个比赛项目如图所示，参 加比赛的运动员从A处出发，先跑到直线 .B 处摸地，再到直线2处摸地，最后回到B处， 假设运动员们跑的都是直线，那么他们如何 知识点二“造桥选址”问题 跑才能使总路程最短？请你画出示意图. 3.课堂上，老师出示了这样一道题：如图，从村 庄A到村庄B要经过一条小河（小河的两岸 平行).现要在河上建一座桥（桥垂直于河的 B 两岸)，应如何选择桥的位置，才能使从村庄 A到村庄B的路程最短？请在图中画出桥的 位置. ·A 用用用用辑 ◆B 请完成进阶测评（四）】 63 八年级数学·上册DE=6.AB=6.（方法二：补短法)延长DB至点F,使得BF=AB,连接AF,则 ∠F=∠BAF,∴.∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F.∠ABC=2∠C,∴.∠F= ∠C.∴.AF=AC.AD⊥FC,∴.FD=DC=8.BD=2,.FB=FD-BD=6. AB=FB=6. 13.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 知识储备 1.相等相等60°2.(1)相等(2)60 基础练综合练素养练 1.D2.A3.(1)530(2)解：.AD是等边△ABC的BC边上的中线，∴.AD 平分∠BAC,∠BAC=60.·∠DAE=2∠BAC=30,:AD=AE,∠ADE= ∠AED=180DAE-75.∠ADE的度数是75、4.185.证明：AB 2 =AC,∴.∠B=∠C.DE⊥AB,DF⊥BC,∴.∠DEA=∠DFC=90°..D为AC 的中点，.DA=DC.又.DE=DF,∴.Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴.∠A= ∠C..∠A=∠B=∠C..△ABC是等边三角形.6.①②④7.C8.60° 9.(1)证明：，△ABC为等边三角形，.∠BAE=∠C=60°，AB=AC.在△ABE (AB-AC, 和△CAD中，∠BAE=∠C,.△ABE≌△CAD(SAS);(2)解：，△ABE≌ AE=CD, △CAD,∴.∠ABE=∠DAC.,∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°，.∠BFD= ∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAC=60°.10.证明：过点D作DF∥AB交BC 于F.,等边△ABC,∴.∠A=∠C=∠ABC=60°.，DF∥AB,.∠CDF=∠A =60°，∠CFD=∠ABC=60°，.∠DFP=∠EBP.∴.∠C=∠CDF=∠CFD,∴. CD=DF=CF.:P是DE的中点，.DP=EP.在△DFP和△EBP中， ∠DFP=∠EBP, ∠DPF=∠BPE,∴.△DFP≌△EBP(AAS).∴.DF=BE.又CD=DF,∴.CD DP=EP, =BE.11.解：(1)△DBC和△EAC全等.理由：等边△ABC和等边△DCE, ∴.BC=AC,DC=EC,∠ACB=60°，∠DCE=60°，∴.∠BCD=60°-∠ACD, ∠ACE=60°一∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中， BC=AC, ∠BCD=∠ACE,∴.△DBC≌△EAC(SAS);(2)AE∥BC(3)AE∥BC.理由： DC=EC, .△ABC,△EDC为等边三角形.∴.BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60. ∴.∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC BC=AC, 中，∠BCD=∠ACE,∴.△DBC≌△EAC(SAS),∴.∠EAC=∠B=60°.又 CD=CE. ∠ACB=60°，.∠EAC=∠ACB.AE∥BC. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 知识储备 一半 基础练综合练素养练 1.52.63.证明：∠A=90°，∠ABC=2∠C,∴∠ABC+∠C=90°=3∠C. 解得∠C=30°，∠ABC=60°.，BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD=30°.∴ ∠CBD=∠C.∴.BD=CD.在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴.BD=2AD.∴.CD= 2AD.4.B5.46.解：：△ABC是等边三角形，∴.AB=BC=AC=8,∠A= ∠B=∠C=60°.D为AB的中点，∴.AD=BD=4,,DE⊥AC,EF⊥BC, ∠DEA=90°=∠EFC..∠ADE=180°-∠DEA-∠A=30°，∠FEC=180° ∠EFC-∠C=302.∴AE=2AD=号×4=2.CP=号EC=2×8-2)=3. BF=BC-CF=8-3=5.7.解：(1)过点P作PD⊥AB于点D.,∠PBD= 90°-60°=30°，∠PAB=90°-75°=15°，∴.∠APB=30°-15°=15°.∴.∠PAB= ∠APB.∴BP=AB=7海里：(2)：∠PBD=30,∠PDB=90∴PD=号PB 3.5海里.，3.5>3，.该轮船继续向东航行，没有触礁的危险. 模型构建专题（二）等腰三角形中的手拉手模型 1.B2.解：(2)BD=CE,∠BFC=60°，理由如下：△ABC和△ADE是等边三角 形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE 186 -∠DAC.即∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE..BD=CE,∠ABD= ∠ACE.设BF与AC相交于点G,则∠AGB=∠FGC,∴.∠BFC=∠BAC=60°； (3)BD=CE(或相等)40°或140°(4)延长AF到M使FM=FA,连接EM,· ∠EFM=∠BFA.,FE=FB,∴.△AFB≌△MFE(SAS).∴.ME=AB. ∠BAM=∠M,.ME∥AB.∴.∠MEA+∠EAB=180°..'∠BAC=∠DAE= 90°，.∠DAC+∠EAB=180°..∠MEA=∠DAC.,'△ABC和△ADE是等腰 直角三角形，∴.AB=AC,AD=AE..EM=AC.∴.△AEM≌△DAC(SAS).. AM=DC..DC=4,∴.AM=4.∴.AF=2. 13.4课题学习最短路径问题 知识储备 线段垂线段 基础练综合练素养练 1.B2.解：图略3.解：①过点A作AC⊥河岸a,且使AC等于河宽；②连接 BC,与河岸b交于点N;③过点N作MN⊥河岸a于点M,则MN即为桥的位 置.4.65.解：作点A关于EF的对称点A',点B关于EH的对称点B'.连接 A'B',AB'与EF,EH的交点N,M即为台球撞击点.6.解：(1)作点A关于直 线11的对称点A';(2)作点B关于直线l2的对称点B;(3)连接A'B',分别与直 线I1,L相交于C,D两点，连接AC,CD,BD,则沿路线A→C一D→B跑才能使 总路程最短： 第十三章核心素养专练 1.证明：连接AD,,AB=AC,∠BAC=90°，D是BC的中点，∴.∠B=∠C= 45,∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°，∠B=∠BAD=∠C=∠CAD,BD =AD.又.∠B=∠CAD,BE=AF,,.△BDE2△ADF(SAS)...DE=DF ∠BDE=∠ADF.,∠ADB=∠BDE+∠ADE=90°，∴.∠ADF+∠ADE=90°， 即∠EDF=90°∴.△EDF为等腰直角三角形.2.B3.解：(1)6(2)分别作 出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC分别交OM,ON于点D,E,连接 AD,AE,则线段AD,DE,EA之和即为所求的最短路径.由题意，得OB=OA= OC=5,∠BOD=∠AOD,∠COE=∠AOE,.∠MON=∠AOD+∠AOE=30°， ∴.∠BOC=∠BOD十∠AOD十∠COE+∠AOE=60°..△OBC为等边三角形. ∴.BC=OB=5.AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=5km,∴.整个过程所行的 路程为5km. 第十三章考点整合与素养提升 1.B2.①②③3.14.解：(1)图略，点C的坐标为(3,4).(2)图略.(3)设M (,0),:△ABM的面积为2，AB与x轴交于点(2,0)，号×L-2引×2=2，解 得t=0或t=4.∴.点M的坐标为(0,0)或(4,0).5.136.证明：AD平分 ∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°，又 AD=AD,.Rt△ADE≌Rt△ADF..AE=AF,DE=DF..AD垂直平分EF. 7.C8.6m9.解：(1).∠ACB=90°，.∠B+∠BAC=90°..CD⊥AB,∴. ∠CAD+∠ACD=90°.∴.∠ACD=∠B.,AE是∠BAC的平分线，.∠CAE= ∠EAB.:∠EAB+∠B=∠CEA,∠CAE+∠ACD=∠CFE,∴.∠CFE= ∠CEF.∴.CF=CE.∴.△CEF是等腰三角形；(2)点E恰好在线段AB的垂直 平分线上，.AE=BE..∠EAB=∠B.AE是∠BAC的平分线，∴.∠CAE= ∠EAB.∴.∠CAB=2∠B.:∠ACB=90°，.∠CAB+∠B=90°.∴.∠B=30°， ∴.AB=2AC.10.1011.40°或140°12.138°或42°13.40°或140°14.6 15.【问题解决】CF+CE=CD【类比探究】CF=CE+CD.理由如下；过点D作 DG∥AB交AC延长线于点G,则∠A=∠G,∠B=∠BDG..等边△ABC,∴. ∠A=∠B=60°..∠G=∠BDG=60°.∴.△GDC是等边三角形.∴.DG=CG= DC.等边△EDF,∴.ED=FD,∠EDF=60°.∴.∠EDF=∠GDC.∴.∠EDG= ∠CDF.∴.△EDG≌△FDC(SAS).∴.EG=CF.EG=EC+CG=EC+CD, FC=EC+CD. 第十四章整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 14.1.1同底数幂的乘法 知识储备 1.底数相加2.a”正整数 基础练综合练素养练 1.D2.(1)C(2)B3.(1)①13②2+46(2)①解：原式=a+5=a: ②解：原式=（一2）=-32：③解：原式=(x-y)3+=(x一y);④解：原式 -187