13.4 课题学习 最短路径问题 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册第13章《轴对称》 13.4 最短路径问题 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC最短，因为垂线段最短 3.你知道构成三角形的三边有什么关系吗？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 4.如图，如何做点A关于直线L的对称点？ A l A ′ 如图，将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 抽象成 作图：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 实际问题 C 数学问题 将军饮马问题一 如图，将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 抽象成 作图：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 实际问题 c A B l 数学问题 将军饮马问题二 l A B c 思考：能否通过图形的变化（轴对称、平移等），将问题转化为我们研究过的问题呢? B A C A B l B ′ C c ′ 方法揭晓 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． A B l B ′ C A B l A ′ C 问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 　　即　AC +BC 最短． A B l B ′ C C ′ l P A' B A 同侧转化异侧 两定点在同侧 实际问题 抽象为数学问题 通过轴对称把同侧点转为异侧点 利用“两点之间，线段最短”化折为直 确定位置 两定点在异侧 A l B P 方法总结 例1：如图，水平路面上有两棵树，树的底部分别为A，B.地上有一只昆虫沿“A→B”的路径在地面上爬行.在小树的树顶D处一只小鸟想飞下来抓住昆虫后，再飞到大树的树顶C处.小鸟在AB之间什么位置抓住昆虫，飞行的距离最短?在图中画出该处的位置.(小鸟沿直线飞行) B c D A 如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则 BF+EF的最小值为 . 巩固训练 B E A D F 如图，小河边有两个村庄Ａ、Ｂ．要在河边建一自来水厂向Ａ村与Ｂ村供水．  （1）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的距离相等，则应选择在哪建厂？   （2）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的水管最省料，应建在什么地方？ B A E F B A E F 巩固训练 课堂小结 当点A、点B在直线l异侧时，连接A、B交直线l 于点C，此时AC+BC最短 当点A、点B在直线l同侧时，过点B做直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点C,此时AC+BC最短 Lavf57.58.101 $$