第2课时 等腰三角形的判定-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

第2课时 等腰三角形的判定 Φ知识储备出 ∠A= 时，△AMP是等 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个 腰三角形 角相等，那么这两个角所对的 也相等，简称 【点拔】等腰三角形的角不确定时应分类讨论： ①∠A是顶角：②∠A是底角. 知识点二用尺规作等腰三角形 A基础练 停必备知识梳理·一 5.(1)【教材P78例3变式】已知等腰三角形的 知识点一 等腰三角形的判定 底边长为a,底边上的中线长为b,求作这个 1.在△ABC中，下列条件能判定△ABC是等腰 等腰三角形.（要求写出作法）》 三角形的是 () b A.∠A=60°，∠B=100 B.∠A=50°，∠B=100 C.∠A=40°，∠B=100° D.∠A=30°，∠B=100 2.【教材P79练习T1变式】如 图，△ABC中，∠A=36°， AB=AC,BD平分∠ABC, 则图中等腰三角形的个数是 (2)作图题.（要求：用直尺和圆规作图，保留 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 作图痕迹，不写作法和证明) 3.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上一 已知：线段a和∠a(如图). 点，过点D作直线DE⊥BC于点E,反向延 求作：△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠a. 长DE,交CA的延长线于点F,试判断 △ADF的形状，并说明理由. B综合练 膏关健能力提升一 6.如图，M,N为4×4方格纸中格点” 上的两点，若以MN为边，在方格 易错点○因考虑问题不全面而漏解 中取一点P(P在格点上)，使得 4.【分类讨论思想】如图，已 △MNP为等腰三角形，则点P的个数为 知点P是射线MN上一 动点，∠AMN=35°，当M A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 53 八年级数学·上册 7.【教材P83习题T11变式】北 (1)如图2，△ABC中，∠B=2∠C,线段AC 如图，一艘海轮位于灯塔P 东 的垂直平分线ED交AC于点D,交BC 的南偏东65°方向的M处， 于点E.求证：AE是△ABC的一条等腰 它以每小时30海里的速度向正北方向航行， 分割线； 2小时后到达位于灯塔P的北偏东50°方向的 (2)在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割 V处，则N处与灯塔P的距离为 海里 线，AD=BD,∠C=30°，请你画出所有 8.【教材P83习题T10变式】 可能的图形并求出∠B的度数。 如图，在△ABC中，BC= 10,BO平分∠ABC,CO平B4 分∠ACB,MN经过点O,与AB,AC相交于 图 图2 点M,N,且MN∥BC,△AMN的周长为15， 则△ABC的周长等于 9.在一次数学课上，王老师在屏幕上出示了一 道例题： 如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边 上的点，BE与CD交于点O,给出下列四个 条件：①∠DBO=∠ECO:②∠BDO=∠CEO: ③BD=CE:④OB=OC (1)要求同学从这四个条件中选出两个作为已 知条件，用来判定△ABC是等腰三角形. 请你在横线上用序号写出所有情形 答： (2)选择(1)中的一种情形，写出证明过程， C素养练 学科素养培育一 10.【新中考·新定义型阅读理解题】如果一个 三角形被一条线段分割成两个等腰三角形， 那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为 这个三角形的等腰分割线.如图1，当 △ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为 核心 几何直观运算能力 △ABC的等腰分割线. 素养 推理能力创新意识 助学助教优质高数544.解：图略，图①有1条对称 图1 2 轴，图②有3条对称轴，图③有5条对称轴.5.A6.解：图略7.解：图略 13.2画轴对称图形 第1课时画轴对称图形 知识储备 1.相同对称垂直平分2.点对称点对称点 基础练综合练素养练 1.C2.略3.略4.D5.解：图略6.解：图略 第2课时用坐标表示轴对称 知识储备 1.(x,-y)2.(-x,y) 基础练综合练素养练 1.(1)C(2)-2-3(3)B(4)C2.(-2,-2)3.(1)解：由题意，得 82为部释：么8：尽《2)解：由怒意：程8治解得888 12a-b=-1, ∴a十b=1.4.4.(2,-2)(-2,-2)(-2,2)5.解：图略.6.A7.0(答 案不唯一)8.解：(1)图略；(2)图略，点A2(6,4),B2(4,2),C(5,1):(3) △AB,C,和△AB,C2关于直线x=3对称.图略.9.解：(1)图略，“帅”的坐标 为（一1，一4）；(2)：棋盘有一个“车”和“马”关于y轴对称，此“车”的坐标为 (3,)“车”和“马”“将”三个棋子组成的三角形的面积为×6×1=3. 10.(-2,3) 13.3等腰三角形 13.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 知识储备 1.相等等边对等角2.平分线中线高三线合一 基础练综合练素养练 1.(1)D(2)C(3)50°或80°2.80°3.(1)DAC70B7070°(2)证 (AB=AC, 明：AB=AC,.∠B=∠C.在△ABD和△ACE中，∠B=∠C,∴.△ABD≌ BD=CE, AACE,..AD=AE.4.D 5.(1)CD 3 CAD 29 (2)L CAD 29 (3) CD3⊥6.证明：，AB=AC,AD是中线，∴.AD⊥BC,即∠ADC=90°. ∠C+∠DAC=90°.，BE⊥AC,∴.∠BEC=90°=∠C+∠EBC.∴.∠DAC= ∠BC7.B8529号或号10.75或1511.解：设∠BBD=eEB =ED,∴.∠EDB=∠EBD=a.,AD=ED,∴.∠A=∠AED=2a.∴.∠BDC= ∠A+∠EBD=3a..BD=BC,∴.∠C=∠BDC=3a..AB=AC,∴.∠ABC= ∠C=3a.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，.2a+3a+3a=180°..a= 22.5°.∠C=67.5°.12.解：(1)∠DAC的度数不会改变.理由如下：：EA EC,∴.∠C=∠EAC.∴∠AED=∠C+∠EAC=2∠C.BA=BD,∴.∠BDA= ∠BAD.:∠BAE=90,∠B=90°-∠AEB=90°-2∠C.∴∠BAD=(180 -∠B)=7[180-(90°-2∠C)]=46+∠C.∠DAE=90°-∠BAD=90°- (45°+∠C)=45°-∠C.∴.∠DAC=∠DAE+∠EAC=45°-∠C+∠C=45. 第2课时等腰三角形的判定 知识储备 边等角对等边 基础练综合练素养练 1.C2.C3.解：△ADF是等腰三角形.理由如下：，AB=AC,.∠B=∠C -184 .DE⊥BC,.∠DEB=∠DEC=90°，∴.∠F+∠C=90°，∠B+∠BDE=90°.∴. ∠F=∠BDE.又∠ADF=∠BDE,∴.∠F=∠ADF.∴.AD=AF.∴.△ADF是等 腰三角形.4.110或72.5°或35°5.(1)解：(1)作线段AB=a:(2)作线段AB 的垂直平分线MN,与AB交于点D;(3)在MN上取一点C,使CD=b;(4)连接 AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形.(2)解：图略.6.C7.608.25 9.(1)①③，①④，②③，②④(2)解：以①④为条件：，OB=OC,.∠OBC= ∠OCB,∠DBO=∠ECO,∴.∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB,即∠DBC= ∠ECB,.AC=AB,即 △ABC是等腰三角形. 10.(1)证明：如图2中， DE是线段AC的垂直平B D ) D 分线，.EA=EC,即解① 解② 解图③ △EAC是等腰三角形，∴.∠EAC=∠C,∴.∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,'∠B =2∠C,∴.∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形.∴.AE是△ABC是一条等腰 分割线；(2)解：线段AD为等腰分割线，∴△ABD和△ACD都是等腰三角 形，①如解图①，AD=CD=BD,∴.∠C=∠CAD=30°，∴.∠ADB=∠C十 ∠CAD=30°+30°=60°，AD=BD,∴.∠B=60°；②如解图②，AD=BD=AC, AD=AC,∴.∠ADC=∠C=30°，：AD=BD,∴.∠B=∠DAB,∠ADC= ∠B+∠BAD=30°，∴.∠B=15°；③如解图③，AD=BD,AC=CD,∴.∠CAD ∠ADC=75°，∠B=∠BAD..∠ADC=∠B+∠BAD,∴.∠B=37.5°.综上所 述，∠B的度数为60°或15°或37.5°. 回归教材专题（三）角平分线十平行线→等腰三角形 1.C2.A3.B4.B5.(1)①证明：：AF平分∠DAC,∴.∠DAF=∠CAF. ,AF∥BC,.∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB.∴.∠B=∠ACB.∴.AB=AC.. △ABC是等腰三角形.②解：.AB=AC,∠B=40°，∴.∠ACB=∠B=40°. ∠ACE=180°-∠ACB=140.CG平分∠ACE,∠ECG=号∠ACE=70 AF∥BC,∴.∠AGC=∠ECG=70°.(2)解：EF=BE-CF,理由如下：，BO 平分∠ABC,CO平分∠ACD,∴.∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠DCO,EO∥BC, ∴.∠EOB=∠OBC,∠OCD=∠EOC,∴.∠ABO=∠EOB,∠ACO=∠EOC,∴. EO=BE.CF=FO..EF=EO-OF,..EF=BE-CF. 重点突破专题（二）等腰三角形中的分类讨论 1.(1)D(2)17cm(3)252.43.(1)35°，35°(2)80°或20°4.(1)38°或 14°(2)69°或21°5.70°或20°【例】(1)3(2)1(3)6(4)86.A7.4 方法技巧专题（一）构造等腰三角形的常用方法 1.证明：过点D作DM∥AC交BC于M.∴.∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E., I∠FDM=∠E, F是DE的中点，.DF=EF,在△DMF和△ECF中，DF=EF, L∠DFM=∠EFC, △DMF≌△ECF(ASA),.∴.MD=CE.BD=CE,,∴.MD=BD..∴.∠B= ∠DMB.:∠DMB=∠ACB,∴.∠B=∠ACB,.AB=AC.2.证明：延长CE 交AB于点F.,AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD.,CE⊥AD,∴.∠AEC= ∠AEF=90°.又AE=AE,∴.△AEC≌△AEF(ASA).∴.∠ACE=∠AFE.又 ∠AFE=∠B+∠DCE,∴.∠ACE=∠B+∠ECD.3.证明：延长BA,CD相交 于点Q.,∠CAQ=∠BDQ=90°，∴.∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°.∴. I∠ABE=∠ACQ, ∠ACQ=∠ABE.在△ABE和△ACQ中，AB=AC, ∴.△ABE≌△ACQ ∠BAE=∠CAQ, (ASA).∴.BE=CQ.,BD平分∠ABC,∠BDC=∠BDQ=90°，.∠Q=∠BCQ. BQ=BC.又：BD⊥CQ,∴CD=DQ=2CQ.BE=CQ=2CD.4.证明：在 BC边上取点E,使BE=AB,连接ED.,BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD. (AB=EB, 在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠CBD,∴.△ABD≌△EBD,.∠A= BD-BD. ∠BED=108°..∠DEC=180°-∠BED=72°.：AB=AC,∠A=108°，∴∠C =∠ABC=180°，∠A-36,∠EDC=180°-∠DEC-∠C=72°=∠DEC.: 2 CD=CE..BC=BE+CE,BE=AB,∴.BC=AB+CD.5.解：（方法一：截长 法)在CD上截取DE=BD=2,连接AE.,AD⊥BC,∴.AB=AE..∠AEB= ∠ABC=2∠C.∠AEB=∠C+∠EAC,.∠C=∠EAC.∴.AE=EC=CD -185