13.1.2 线段的垂直平分线的性质-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

13.1.2线段的垂直平分线的性质 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 $知识储备出 3.如图，点D在BC上，DE垂直平分AC,垂足 1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 为E,DF垂直平分BA,垂足为F.求证：DB 的距离 =DC. 2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 线上 A基础练 ©停必备知识梳理一 知识点一 线段的垂直平分线的性质 知识点二线段垂直平分线的判定 1.(1)如图，直线CD是线段AB的垂直平分 4.如图，点D在△ABC 线，P为直线CD上的一点，已知线段PA= 的边BC上，且BC= 5,则线段PB的长度为 BD十AD,则点D在线 段 的垂直平分 线上 5.【教材P62练习T2变式】如图，在△ABC 中，AB=AC,O是△ABC内一点，且OB= 第1(1)题图 第1(2)题图 OC. 求证：直线AO是线段BC的垂直平分线. (2)【T1(1)变式】如图，BD垂直平分AC,AD 10,BC=4,则四边形ABCD的周长是() A.30 B.16 C.28 D.以上都不对 2.(教材P65习题T6变式) 一题多变 (1)【求周长】如图，在△ABC中，DE是边 AC的垂直平分线，若AB=6,BC=8,则 △ABD的周长为 A.6 B.8 C.12 D.14 易错点○ 因对线段垂直平分线的判定理解 不透致错 6.如图，直线1与线段AB交 于点O,点P在直线1上，且 D D B PA=PB.则下列结论正确 第2(1)题图 第2(2)题图 的有 () (2)【已知周长，求边长】如图，△ABC中，AB ①AO=BO:②PO⊥AB:③直线I是AB的 边的垂直平分线交AB于D,交AC于E, 垂直平分线：④点P在线段AB的垂直平分 AC=9cm,△BCE的周长是15cm,则BC 线上 的长是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 45 八年级数学·上册 【点津】若两个点与同一条线段的两个端点的距离 11.如图，AB=AC,点D,E分别在AB,AC 相等，则这两点都在此线段的垂直平分线上，此时， 上，且AD=AE,BE,CD相交于点O.求 过这两，点的直线是此线段的垂直平分线.单独一个 证：点O在线段BC的垂直平分线上， 点到线段两端点的距离相等，过该点的直线不一定 是此线段的垂直平分线， 知识点三经过直线外一点作已知直线的垂线 7.如图，已知钝角△ABC,求作AB边上的高. (不写作法，保留作图痕迹) B综合练 关键能力提升一 8.【新情境·交通出行】近年来，高速铁路的规 划与建设成为各地政府争取的重要项目.如 图，A,B,C三地都想将高铁站的修建项目落 户在当地，但是国资委为了使A,B,C三地 C素养练 的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高 透至升水养培有一 12.如图，△ABC中BC边的垂直平 铁站修建在到A,B,C三地距离都相等的地 分线DE与∠BAC的平分线交 方，则高铁站应建在 于点E,EF⊥AB交AB的延长 A.AB,BC两边中线的交 线于点F,EG⊥AC交AC于点G 点处 求证：(1)BF=CG:(2)AB+AC=2AF B.AB,BC两边高线的交 点处 B4- C.AB,BC两边垂直平分线的交点处 D.∠B,∠C两内角的平分线的交点处 9.如图，直线1是线段AB的垂直平分线，点C 在直线！外，且与点A在直线！的同侧，点D 是直线l上的任意一点，连接AD,BC,CD, 则下列结论正确的是 A.BC=AD+DC B.BC>AD++DC C.BC≥AD+DC D.BC≤AD+DC 10.【教材P65习题T6变 式】如图，在△ABC 中，DE垂直平分AB 交AB于点D,交BC于点E,GF垂直平分 AC交AC于F,交BC于点G,若BC=14cm, 请完成重难专练（六）】 则△AEG的周长是 助学助散优质高数46 第2课时 作轴对称图形的对称轴 $知识储备$ 作轴对称图形的对称轴就是作对称，点所连线 段的 图① 图② 图3 A基础练 必备知识梳理与 知识点一线段垂直平分线的画法 B综合练 关键能力提升一 1.如图，线段AB=6,用尺规作它 5.如图，在△ABC中，分别以 的垂直平分线步骤如下：①分别 以点A,B为圆心，a长为半径画 点A和点C为圆心，大于号 弧交于点E,F;②过点E,F作 D AC的长为半径画弧交于两 直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分 点，过这两点作直线交AC于点E,交BC于 线.则a的值可能是 () 点D,连接AD.若△ADB的周长为15，AE A.1 B.2 C.3 D.4 =4,则△ABC的周长为 () 知识点二作轴对称图形的对称轴 A.23 B.21 C.19 D.17 2.【教材P64练习T3变式】如图，已知△ABC 6.【教材P66习题T10变式】如图，A,B是公路 和△A'B'C'关于某直线成轴对称，请你作出 !两旁的两个村庄，为方便村民出行，计划在 这条直线.（不写作法，保留作图痕迹） 公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到 两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留作图痕迹，不写作法）. A B 3.如图，△ABC与△DEF关于直线I对称，请 仅用无刻度的直尺，分别在下面两个图中作 出直线. C素养练 学科素养培育一 7.【新情境·居民生活】如图，校园内有两条路 OA,OB,在交丈口附近有两块宣传牌C,D, 学校准备在S区域安装一盏路灯，要求灯柱 P的位置到两块宣传牌的距离相等，并且到 两条路的距离也相等，请你帮忙画出灯柱P 图 图2 的位置. 4.【教材P64练习T1变式】写出下列轴对称图 形各有几条对称轴，并分别画出它们所有的 对称轴。 47 八年级数学·上册PC⊥PQ.(2)①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,可得10=14-2t,2t =xt,解得x=2,t=2;②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,可得10= 4.21=14-21.解得x-94=子 7 第十三章轴对称 13.1轴对称 13.1.1轴对称 知识储备 1.互相重合对称轴2.重合对称轴对称点3.中点垂直4.对称轴 对称轴 基础练综合练素养练 1.C2.D3.B4.C5.B6.90°67.解：EM=DM,理由如下：△ABM 和△ACM关于AM所在的直线对称，∴.∠B=∠C,BM=CM.在△BME和 ∠B=∠C, △CMD中，BM=CM, ..△BME≌△CMD(ASA)..∴.EM=DM.8.D ∠BME=∠CMD, 9.52°10.解：(1)240°(2)连接AA',,∠1=∠DAA'+∠DA'A,∠2= ∠EAA'+∠EA'A,.∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+∠EAA'+∠EA'A= ∠EAD+∠EA'D.,∠EAD=∠EA'D,∴.∠1+∠2=2∠EAD=110°. ∠EAD=55.∴.∠B+∠C=180°-55°=125°.(3)26°11.(1)证明：.四边形 ABCD是长方形，.AD=BC.∠D=∠B=∠DCB=90°.根据折叠的性质得：GC =AD,∠G=∠D=∠GCE=90°，∴.GC=BC,∠G=∠B..'∠GCF+∠ECF= 90°，∠BCE+∠ECF=90°，.∠GCF=∠BCE,∴.△FGC≌△EBC(ASA): (2)解：由折叠性质得S四边形GF=S四边形DF.△FGC≌△EBC,∴.SARC=SABC, .S边形mF=S0边ECB=号S长方形D?AB=8,AD=4,S长方形AwD=8X4=32 .Sm边形GF=16. 13.1.2线段的垂直平分线的性质 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 知识储备 1.相等2.垂直平分 基础练综合练素养练 1.(1)5(2)C2.(1)D(2)6cm3.证明：，DE垂直平分AC,DF垂直平分 BA,.DC=DA,DB=DA,.DB=DC.4.AC5.证明：AB=AC,.点A 在线段BC的垂直平分线上.，OB=OC,∴点O在线段BC的垂直平分线上. 两点确定一条直线，∴.直线AO是BC的垂直平分线.6.A7. 8.C9.D10.14cm11.证明：在△ADC和△AEB中， (AD-AE, ∠A=∠A,∴.△ADC≌△AEB(SAS).∴∠ACD=∠ABE.,AB=AC,AD= AC=AB. ∠OBD=∠OCE, AE,,.BD=CE.在△BOD和△COE中， ∠BOD=∠COE,∴.△BOD≌△COE BD=CE, (AAS)..OB=OC∴.点O在线段BC的垂直平分线上.12.证明：(1)连接 BE,CE.:DE垂直平分BC,∴.BE=CE.:AE平分∠BAC,EG⊥AC,EF⊥ AB,.EF=EG,∠F=∠CGE=90°.∴.Rt△BFE≌Rt△CGE,∴.BF=CG;(2)在 Rt△AFE和Rt△AGE中，EF=EG,AE=AE,.∴.Rt△AFE≌Rt△AGE.,.AF= AG...AB+AC=AB+AG+CG=AB+AG+BF=AF+AG=2AF. 第2课时作轴对称图形的对称轴 知识储备 垂直平分线 基础练综合练素养练 1.D2.解：图略3.解：如图所示. -183 4.解：图略，图①有1条对称 图1 2 轴，图②有3条对称轴，图③有5条对称轴.5.A6.解：图略7.解：图略 13.2画轴对称图形 第1课时画轴对称图形 知识储备 1.相同对称垂直平分2.点对称点对称点 基础练综合练素养练 1.C2.略3.略4.D5.解：图略6.解：图略 第2课时用坐标表示轴对称 知识储备 1.(x,-y)2.(-x,y) 基础练综合练素养练 1.(1)C(2)-2-3(3)B(4)C2.(-2,-2)3.(1)解：由题意，得 82为部释：么8：尽《2)解：由怒意：程8治解得888 12a-b=-1, ∴a十b=1.4.4.(2,-2)(-2,-2)(-2,2)5.解：图略.6.A7.0(答 案不唯一)8.解：(1)图略；(2)图略，点A2(6,4),B2(4,2),C(5,1):(3) △AB,C,和△AB,C2关于直线x=3对称.图略.9.解：(1)图略，“帅”的坐标 为（一1，一4）；(2)：棋盘有一个“车”和“马”关于y轴对称，此“车”的坐标为 (3,)“车”和“马”“将”三个棋子组成的三角形的面积为×6×1=3. 10.(-2,3) 13.3等腰三角形 13.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 知识储备 1.相等等边对等角2.平分线中线高三线合一 基础练综合练素养练 1.(1)D(2)C(3)50°或80°2.80°3.(1)DAC70B7070°(2)证 (AB=AC, 明：AB=AC,.∠B=∠C.在△ABD和△ACE中，∠B=∠C,∴.△ABD≌ BD=CE, AACE,..AD=AE.4.D 5.(1)CD 3 CAD 29 (2)L CAD 29 (3) CD3⊥6.证明：，AB=AC,AD是中线，∴.AD⊥BC,即∠ADC=90°. ∠C+∠DAC=90°.，BE⊥AC,∴.∠BEC=90°=∠C+∠EBC.∴.∠DAC= ∠BC7.B8529号或号10.75或1511.解：设∠BBD=eEB =ED,∴.∠EDB=∠EBD=a.,AD=ED,∴.∠A=∠AED=2a.∴.∠BDC= ∠A+∠EBD=3a..BD=BC,∴.∠C=∠BDC=3a..AB=AC,∴.∠ABC= ∠C=3a.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，.2a+3a+3a=180°..a= 22.5°.∠C=67.5°.12.解：(1)∠DAC的度数不会改变.理由如下：：EA EC,∴.∠C=∠EAC.∴∠AED=∠C+∠EAC=2∠C.BA=BD,∴.∠BDA= ∠BAD.:∠BAE=90,∠B=90°-∠AEB=90°-2∠C.∴∠BAD=(180 -∠B)=7[180-(90°-2∠C)]=46+∠C.∠DAE=90°-∠BAD=90°- (45°+∠C)=45°-∠C.∴.∠DAC=∠DAE+∠EAC=45°-∠C+∠C=45. 第2课时等腰三角形的判定 知识储备 边等角对等边 基础练综合练素养练 1.C2.C3.解：△ADF是等腰三角形.理由如下：，AB=AC,.∠B=∠C -184