第12章 全等三角形 核心素养与跨学科融合专练&考点整合与素养提升-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

第十二章核心素养与跨学科融合专练 核心素养专练 01推理能力 2.(2023·遵义期未)某同学用10块高度都是 【素养解读】推理能力是指从一些事实和命通出发，依 5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面 据规则推出其他结论或命题的能力，在解决与全等三 垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等 角形有关的问题时，通常利用全等三角形的判定与性 腰直角三角板ABD(∠ABD=90°，BD= 质等知识进行推理计算， BA),点B在CE上，点A和D分别与木墙 1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD=CD. 的顶端重合. (1)求证：△ACB≌△BED: (2)两堵木墙之间的距离是 02应用意识 【素养解读】在争习全等三角形的过程中，常利用全等 三角形的知识解决生活中的实际问题，养成理论联系 实际的习惯，提升实践能力·培养学生的“应用意识” 跨学科融合专练 3.【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光 处，点F到地面的高度CF=1.5m,点A、点C 线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射 到平面镜B点的距离相等.图中点A,B,C,D 光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角 在同一条直线上.则灯泡到地面的高度AG是 r等于入射角i.这就是光的反射定律 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电 入射光线 法线 反射光线 线 筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次 墙 G 反射而 木板 是墙、木板和平面镜，手电简的灯泡在点G 0 地D 面镜A 光的反射定律 处，手电简的光从平面镜上点B处反射后， 图1 图2 恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E 助学助散优质高数 40 第十二章考点整合与素养提升 A考点整合 6.△ABC在平面直角坐标系中如图所示，AC= BC,∠ACB=90°，A(0,3),C(1,0),则点B 考点一全等三角形的性质与判定 的坐标为 1.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 7.如图，AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分 ( ) 别为D,E,BD,CE相交于点F, A.72 B.60 C.58 D.50 (1)如图1，求证：BE=CD: (2)如图2，连接AF,在不添加任何辅助线的 情况下，请直接写出图2中所有的全等三 角形 第1题图 第2题图 2.(2023·凉山州)如图，点E、点F在BC上， BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件，不能证 明△ABF≌△DCE的是 ( A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC 例2 C.AB=DC D.AF=DE 3.如图，AB∥CF,E为DF的中点，若AB=7 cm,CF=5cm,则BD是 () A.2 cm B.2.5 cm C.3 em D.3.5 cm 第3题图 第4题图 4.【新中考·条件开放】(2024·牡丹江模拟)如 图，已知∠1=∠2，AC=AE,不添加任何辅 助线，再添加一个合适的条件： ,使△ABC≌2△ADE.(只写出 种即可) 考点二全等三角形的实际应用 5.(2023·重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC 8.如图是一个工业开发 =90°，AB=AC,点D为BC上一点，连接 区局部的设计图，河的 AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作 同一侧有两个工厂A CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4, 和B,AD,BC的长表 CF=1,则EF的长度为 示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水 口，D,C为两个排污口.已知AE=BE, ∠AEB=90°，AD⊥DC,BC⊥DC,点D,E,C 在同一直线上，AD=150米，BC=350米，则 两个排污口之间的水平距离D℃是 米 第5题图 第6题图 41 八年级数学·上册 考点三角的平分线的性质与判定 C素养提升 9.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=5,BC 13.如图1，AB=14cm,AC=10cm,ACLAB, 13,AB=12,∠ACB与∠ABC的角平分线交 BD⊥AB,垂足分别为A,B,点P在线段 于点D,则点D到BC的距离为 AB上以2cm/s的速度由点A向点B运 动，同时点Q从点B出发，在射线BD上运 动，它们运动的时间为ts(当点P运动结束 时，点Q随之结束运动). (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度 第9题图 第10题图 相等，当t=2时，△ACP与△BPQ是否 10.(2023·东营模拟)如图，在Rt△ABC中， 全等？判断此时线段PC与线段PQ的 位置关系，并分别说明理由： ∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径 (2)如图2，若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为 画弧，分别交AC,BC于点E,F,再分别以 “∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为 点E,F为圆心，大于2EF的长为半径画 xcm/s,其他条件不变，当点P,Q运动 到何处时有△ACP与△BPQ全等？求 弧，两弧交于点P,作射线CP交AB于点 出相应的x和t的值 D.若BD=3,AC=10,则△ACD的面积是 B易铅专攻 11.如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°， 图2 BE,CD为三角形ABC的角平分线.BE, CD交于点F,FG平分∠BFC,有下列四个 结论：①∠BFC=120°；②BD=BG: ③△BDF≌△CEF:④BC=BD+CE.其中 结论正确的序号有 行 第11题图 第12题图 12.如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm, BC=16cm,点E在边AB上，AE=6cm,如 果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s 的速度向点C运动，同时，点Q在线段CD 上从点C到点D运动.则当△BPE与 △CQP全等时，时间t为 S. 助学助散优质高数42ADF,AC=DF.'AC//DF.:CDF=180*-ACD.:BDC=180$ ADC,ACD=ADC,..CDF=BDC.':BD=AC,AC=DF,.'DF= CD-CD. BD.在△BCD和FCD中, BDC=CDF,..△BCD△FCD(SAS)...BC BD-FD. -CF=2CE,即CE=BC. 5.【初步探索】EF=BE+DF 【拓展延伸】解:上 述结论仍然成立,理由如下:延长FD至H,使DH一BE,连接AH.. B+ ADC=180*, ADC十 ADH=180*,·' B= ADH.在△ABE和△ADH$$$ (AB-AD 中,B= ADH.'△ABE△ADH(SAS).'BAE= DAH,AE=AH. BE-DH .EAF- (AE-AH △AHF中,EAF= FAH,.'△AEF△AHF(SAS).'EF=FH=DF+ AF-AF DH-DF+BE...上述结论仍然成立. 综合与实践(二) 测量河流宽度 任务1:BC 任务2:解:(2)第二小组的方案可行,理由如下:.O是BE中点,. $OB=OE.:AB |BE,EF |BE,. ABO=FEO=90{}在△ABO和△FEC (ABO-FEO, 中,BO-EO. .△ABO△FEO(ASA),.'.EF=AB..'河宽AB的长 AOB-FOE. 度就是线段EF的长度,任务3:观测者从B点向正西走到C 点,使用测量角度的仪器测得 BCD=ACB-65{*,CD交AB 延长线于D.如图:只要测出BD的长,就能推算出河宽AB长, 理由如下:.AB BC,..ABC=DBC=90{*}在△ABC和 [ABC-BDC △DBC中, {BC-BC. .△ABC△DBC(ASA).. ACB-BCD BD=AB...河宽AB的长等于线段BD的长 第十二章核心素养与跨学科融合专练 1.证明::乙3= 4,.BEA=BEC. 在△BAE 和△BCE 中 (1-2, BE-BE. '.△BAE△BCE(ASA)...AE=CE.在△AED和△CED BEA-/BEC [AE-CE. 中,3- 4,..△AED△CED(SAS).:.AD-CD. 2.(1)证明:由题意得; DE-DE. $AB=BD,ABD=90{,AC |$CE,DE $CE,.' BED= ACB=90{}$.' BDE +DBE=90*,DBE+ABC=90*,..BDE=ABC.在△ACB和△BEE$$ [ABC-BDE 中,ACB=BED,..△ACB△BED(AAS).(2)50 cm 3.1.5m AB-BD, 第十二章考点整合与素养提升 1.A 2.D 3.A 4.AB=AD(答案不唯一) 5.3 6.(4,1) 7.证明:(1) BD AC,CE]AB,.. ADB=AEC=90*} 在△ABD与△ACE 中;$ A-A. ADB=AEC,.'△ABD△ACE(AAS)..'.AE=AD..:AC=AB,.'AC AB-AC. AD=AB-AE.即BE=DC;(2)△ABD △ACE;△BEF △CDF;△AEF △ADF;△ABF△ACF. 8.500 9.2 10.15 11.①②④ 12.1或4 13. 解:(1)△ACP△BPQ,PC PQ.理由如下:.ACAB,BD1AB,..A $ =90*$}·AP=BQ=2$2=4(cm),.'BP=AB-AP=14-4=10(cm)..$$$ AP-BQ, BP-AC.在△ACP和△BPQ中, {A-乙B,.△ACP△BPQ(SAS)..C AC-BP. = BPQ.:C+ APC=90}.'APC+ BPQ=90{}.'CPQ=90。.$$$ 182 PCIPQ.(2)①若△ACP△BPQ,则AC-BP,AP-BQ,可得10=14-2t,2 -xt,解得x-2,t-2;②若△ACP△BQP,则AC=BQ,AP=BP,可得10 20. xt,2t-14-2t,解得x- 7 7 2. 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.1 轴对称 知识储备 1.互相重合 对称轴 2.重合 对称轴 对称点 3.中点 垂直 4.对称轴 对称轴 基础练 综合练 素养练 1. C 2.D 3. B 4.C 5.B 6. 90{*}6 7.解:EM=DM,理由如下:.'△ABM 和△ACM关于AM所在的直线对称,..B=C,BM=CM.在△BME和 [B-C △CMD中,BM-CM. .△BMEoCMD(ASA).*EM-DM 8.D BME-CMD. 9.52 10.解:(1)240* (2)连接AA',.1-DAA'+DAA,2 EAA'+EA'A,:1+2=DAA'十DA'A+EAA'+EA'A= EAD+EA'D:EAD=EA'D,:1+2=2EAD=110”: EAD=55^'B十 C=180{}-55{*}=125^{*}(3)26^*11.(1)证明:.:四边形$ ABCD是长方形,.'AD=BC.D= B= DCB=90{。根据折叠的性质得:GC$ -AD,G= $D= GCE=90*,$ GC=BC,G= B$"' GCF+ E[CF=$$$ 90{*}, BCE+ ECF=90”.GCF= BCE,.'△FGC △EBC(ASA); (2)解:由折叠性质得Sm边形rcGr-S四边形EADr..△FGC△EBC,..Sroc-Src' .S边形nGr-S四边形rCB= 2S长方形AncD.'·AB-8,AD-4...St方形uco-8X4-32. .Sn形nccr-16. 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 知识储备 1.相等 2.垂直平分 基础练 综合练 素养练 1.(1)5(2)C 2.(1)D(2)6cm 3.证明:.·DE垂直平分AC,DF垂直平分 B$A..'DC=DA,DB=DA,.'.DB=DC. 4.AC 5. 证明:.:AB=AC,.'点A 在线段BC的垂直平分线上..OB=OC...点O在线段BC的垂直平分线上.·. 两点确定一条直线,..直线AO是BC的垂直平分线. 6.A 7. 8.C 9.D 10.14cm 11.证明:在入ADC和AEB中 # (AD-AE, A= A.△ADC△AEB(SAS)..ACD=ABE..:AB=AC,AD AC-AB. (OBD-OCE. AE..BD=CE.在△BOD和△COE中,BOD=COE,..△BOD△COE BD-CE. (AAS)...OB=OC...点O在线段BC的垂直平分线上. 12.证明:(1)连接 BE,CE.:DE垂直平分BC,..BE=CE..AE平分 BAC,EGAC,EF AB$.$EF=EG, F= CGE=90{}$.'Rt△BFERt△CGE,'BF=CG;(2)在$$$ Rt△AFE和Rt△AGE中,EF=EG,AE=AE,.'.Rt△AFERt△AGE.'AF= $AG $AB+AC=AB+AG+$CG=AB十AG+BF=AF+AG-2AF.$$$ 第2课时 作轴对称图形的对称轴 知识储备 垂直平分线 基础练 综合练 素养练 1.D 2.解:图略3.解:如图所示. 183