第1课时 角的平分线的作法和性质-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

12.3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的作法和性质 础知识储备出 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD平分 1.角的平分线上的点到角的两边的 相等。 ∠ACB,DE⊥AC于点E,AE=3,AB=7, 2.证明一个用文字叙述的几何命题的一般步骤： 则△ADE的周长为 (1)明确命题中 和 ,(2)根据 5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分 题意 ,并用符号表示已知和求 ∠BAD,BC=CD,CF,CE分别是△ABC 证.(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论 △ACD的高.求证：BF=DE 的途径，写出证明过程 A基础练 @必备知识梳理一 知识点一 角的平分线的作法 1.用直尺和圆规作一个角的平 分线的示意图如图所示，则 能说明∠AOC=∠BOC的 0 知识点三命题的证明 依据是 6,(答题模板)证明命题“全等三角形对应边上 ( A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 的中线相等”，下面是根据题意画出的图形， 并写出了不完整的已知和求证，请你将过程 2.如图，已知△ABC,用直尺和圆规作∠ABC 的平分线，保留作图痕迹，不写作法。 补充完整 已知：如图，△ABC≌△A'BC',AD和A'D 分别是△ABC和△A'B'C'的 求证：AD 证明：，△ABC≌△A'B'C, ..AB= '∠B= 知识点二角的平分线的性质 BC= 3.【教材P48思考变式】如图，点P是∠AOC 又AD,A'D'分别是BC,B'C'边上的中线， 的角平分线上一点，PD⊥OA,垂足为点D, ∴.BD= BC.B'D'=B'C'. 且PD=3,则点P到OC的距离是 ..BD= (AB= 在△ABD和△A'BD'中，∠B= BD= .△ABD≌△ (SAS). 第3题图 第4题图 ..AD=A'D'. 33 八年级数学·上册 B综合练 关键能力提升·一 (2)如图2，AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD 7.如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD =180°，∠ABD<90°.求证：DB=DC. ⊥OA,垂足为点D,且PD=2,点M是射线 OC上一动点，则PM的长不可能是 ( A.1 B.3 C.2 D.2.5 图 【点拨】根据垂线段最短和角平分线的性质求PM 的最小值，再解答。 第7题图 第8题图 8.如图，AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分 线的交点，OE⊥AC于E,且OE=5,则AB 与CD间的距离等于 9.(1)如图1，AD平分∠BAC,∠B+∠C= 180°，∠B=90°.可知DC与DB的大小 关系是： 微专题旦 与角平分线有关的面积问题 解题技巧 2.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥ 已知角平分线上一点到角一边的垂线段，常过 AB,垂足为E.△ABC的面积为10，AB= 该点向另一边作垂线段，构造“角平分线的性质”的 6,BC=4.则DE的长为 基本图形 3.如图，△ABC的周长是20， 【相关结论】如图，AD是 BO,CO分别平分∠ABC, △ABC的平分线，S△BD: ∠ACB,OD⊥BC于点D,且 S△AcD=AB:AC=BD:CD. OD=3,则△ABC的面积是 【针对练习】 4.(1)如图，AD为△ABC的角平分线，AB: 1.如图，在平面直角坐标系中，AD是Rt AC=3:2,BC=10,则BD= △OAB的角平分线，已知点D的坐标是 (0,一3)，AB的长是10，则△ABD的面积 为 B 第4(1)题图 第4(2)题图 (2)【T4(1)变式】如图，△ABC中，AD是 ∠BAC的平分线，E是AB的中点，△ABC 的面积是28，AB=4,AC=3,则△AED的 第1题图 第2题图 面积是 助学助教优质高数34基础练综合练素养练 1.A2.43.(1)直角CD ED ED EF Rt△ABC(2)证明：，∠ACB =∠CFE=90°，∴.∠ACB=∠DFE=90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中， AB=DE.R△ACB≌R1△DFE(HL),.AC=DF,AC-AF=DF-AF, BC=EF, 即AD=CF.4.D5.证明：.BD⊥AC,∴.∠EDF=90°.∠1=∠2，∠1+ ∠C=90°，∠2+∠E=90°，.∠E=∠C.在△DEF和△BCA中， I∠EDF=∠CBA, DE=BC, ∴.△DEF≌△BCA(ASA),.DF=AB.6.4或87.B ∠E=∠C, 8.49.1210.证明：，AE⊥BD,CF⊥BD,∴.∠AEB=∠CFD=90°.，BF= DE,∴.BF-EF=DE-EF,即BE=DF.在Rt△ABE与Rt△CDF中， ABE,R△ABE≌R△CDF(H),·∠ABG=∠CDG,在△ABG与 ∠AGB=∠CGD, △CDG中，∠ABG=∠CDG,∴.△ABG≌△CDG(AAS),.AG=CG.11.解： AB=CD. (1)过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,∴.∠PMA=∠PNB=90°. PM=PN,:Rt P(2,2),PM=PN=2.在R△AMP和R△BNP中，PA=PB, △AMP≌Rt△BNP(HL)..∠APM=∠BPN,∴.∠APB=∠APM+∠BPM =∠BPN+∠BPM=∠MPN=90°，∴.PA⊥PB;(2)(0,-4);(3)OA-OB= (OM+MA)-(BN-ON)=OM++ON=4;(4)OA+OB=4. 模型构建专题（一）全等三角形的基本模型 1.解：(1)：AD=BE,.AD+DB=BE+DB,∴.AB=DE.在△ABC和△EDF AC=EF, 中，{AB=ED,∴.△ABC≌△EDF(SSS);(2):△ABC≌△EDF,∴.∠C=∠F= BC=DF. 65°.∠A=60°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=55°.2.证明：(1)在△ABE和 ∠E=∠F, △ACF中，∠B=∠C,∴.△ABE≌△ACF(AAS).∴.∠EAB=∠FAC.. LAE-AF. ∠EAB-∠CAB=∠FAC-∠CAB,即∠1=∠2；(2)由△ABE≌△ACF,得AC ∠C=∠B, =AB.在△ACN和△ABM中，AC=AB, ..△ACN≌△ABM(ASA). CAB-BAM, 3.(1)证明：①，∠ACB=∠DCE=90°，.∠ACB+∠BCE=∠DCE+ (AC=BC, ∠BCE,即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，{∠ACE=∠BCD, CE=CD, △ACE≌△BCD(SAS).②.'△ACE≌△BCD,∴.∠CAE=∠CBD.:'∠CAE+ ∠EAB+∠ABC=90°，.∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°.∠AFB=90°. AE⊥BD.(2)60°(3)180°-a4.(1)AM+BN=MN(2)解：(1)中结论不 成立，理由如下：∠ACB=∠ACM+∠BCN=90°，∠CAM+∠ACM=90°，∴. ∠CAM=∠BCN, ∠CAM=∠BCN.在△ACM和△CBN中，∠AMC=∠BNC,∴.△ACM≌ AC=CB, △CBN(AAS).∴.AM=CN,CM=BN.MN=CN-CM,∴.MN=AM-BN, (1)中结论不成立.5.解：，∠BMA=∠BAC=∠ANC,∠BMA+∠ABM= ∠BAC+∠CAN,∴.∠ABM=∠CAN,在△ABM与△CAN中， I∠BMA=∠ANC, ∠ABM=∠CAN,..△ABM2△CAN(AAS),..BM=AN=6,AM=CN=2, AB=CA, .MN=AM+AN=8. 12.3角的平分线的性质 第1课时角的平分线的作法和性质 知识储备 1.距离2.已知求证画出图形 基础练综合练素养练 1.A2.解：图略.3.34.105.证明：，CF,CE分别是△ABC和△ACD的 —180 高，∴.CF⊥AB,CE⊥AD,∠BFC=∠E=90°，又AC平分∠BAD,.CF=CE. 又BC=DC,.Rt△BFC≌Rt△DEC.∴.BF=DE.6.中线A'D'A'B' ∠BBC安 BD'A'B′∠BB'D'A'B'D'7.A8.109. (1)DC=DB(2)证明：过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则 ∠DFC=∠DEB=90°.·AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF. ∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴.∠B=∠FCD.在△DFC和 「∠DFC=∠DEB, △DEB中，3∠FCD=∠B,∴.△DFC≌△DEB(AAS).∴.BD=DC DF=DE, 微专题（三） 1.152.23.304.(1)6(2)8 第2课时角的平分线的判定 知识储备 2.内三边 基础练综合练素养练 1.(1)平分线平分线∠POE(2)C(3)32.证明：，DE⊥AB,DF⊥AC, ∠BED=∠DPFC=9O,在Rt△DEB和R△DFC中，BB=DC,.R△DEB ≌Rt△DFC(HL),∴.DE=DF.又DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是∠BAC的平分 线.3.B4.125.110°6.解：图略.7.D8.A9.D10.(1)证明：过点 D分别作DE⊥AB,DG⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,G,F.又·BD平分 ∠ABC,CD平分∠ACM,.DE=DF,DG=DF..DE=DG..AD平分 ∠EAC,即AD是△BAC的外角∠CAN的平分线.(2)65°11.证明：(1)过点 O作OE⊥AC于点E.·OA平分∠BAC,∠B=∠AEO=90°，∴.OE=OB.点 O为BD的中点，∴.OB=OD,∴.OE=OD.又∠CEO=∠D=90°，.点O在 ∠ACD的平分线上，∴.OC平分∠ACD:(2)由(1)可知∠AOB=∠AOE,∠COE =∠C0D∠A0C-∠B0E+∠D0E=×180°=90,0A10C,(3) 在R△AOB和R1△AOE中，8A-8A:R1△AOB≌R△A0EH)AE园 AB.同理可证Rt△EOC≌Rt△DOC,∴.EC=DC,∴.AE+CE=AB+CD,即AC =AB+CD. 重点突破专题（一）构造全等三角形的常用辅助线 1.证明：过点P作PH⊥BA于H,PG⊥BC于G.则∠PHD=∠PGB=∠PGC =90°..BP平分∠ABC,PH⊥BA,PG⊥BC,.PH=PG.在Rt△PDH和Rt APEG中，PH-PE,Ri△PDH≌Rt△PEG(HD,∠PDH=∠PEG3 ∠PDB+∠PDH=180°，.∠PDB+∠PEB=180°.2.证明：在BC上取点F, 使BF=BA.连接DE.:BD平分∠ABC∠ABD=∠CBD=立∠AC-=20 ∴.∠ADB=180°-∠A-∠ABD=60°.在△ABD和△FBD中， (AB=FB, ∠ABD=∠CBD,∴.△ABD≌△FBD(SAS).∴.∠ADB=∠FDB=60°，AD= BD=BD, DF.又AD=DE,∠FDC=180°-∠ADB-∠BDF=60°，.DF=DE,∠FDC= (FD=ED, ∠ADB=∠EDC=60°.在△FCD和△ECD中，∠FDC=∠EDC,.△FCD≌ DC=DC, △ECD(SAS).∴.EC=FC..BC=BF+CF=BA+EC.3.(1)证明：延长AD 至E,使ED=AD,连接CE.AD是△ABC的中线，.BD=CD.在△ABD和 BD=CD, △ECD中，∠ADB=∠EDC,.△ABD≌△ECD(SAS).∴.AB=EC.在△ACE AD=ED, 中，AC+EC>AE,∴.AC+AB>2AD;(2)在△ACE中，AC-CE<AE<AC+ CE,∴AC-AB<2AD<AC+AB,即<AD<7生5,1<AD<6.4.证 明：延长CE至F,使EF=CE,连接DF.,CE是△ACD的中线，∴.AE=DE.在 (AE=DE, △ACE和△DFE中， ∠AEC=∠DEF,∴.△ACE≌△DFE(SAS).∴.∠A= CE=FE, 181