第4课时 利用“HL”判定两个直角三角形全等-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

第4课时 利用“HL”判定两个直角三角形全等 邵知识储备 和一条直角边分别相等的两个直角三角 形全等，简写成“ ”或“ 2.书写格式：用“HL”判定两个三角形全等时，两 个三角形符号前一定要加上“R” A基础练 瓣必备知识杭理一 知识点二选择适当的方法判定两个直角三角 知识点一用“HL”判定直角三角形全等 形全等 1.如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,则能直 4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等 接判定Rt△ABD≌Rt△CDB的方法是 的是 ( A.两条直角边对应相等 A.HL B.ASA C.SAS D.SSS B.斜边和一个锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角分别相等 5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC 第1题图 第2题图 于点D,点E在DB的延长线上，DE=BC, 2.如图，四边形ABCD中，∠D=∠B=90°，AD ∠1=∠2.求证：DF=AB. =AB,CD=4,则CB的长是 3.(1)(答题模板)如图，AB⊥CB,EF⊥DF,垂 足分别为B,F,AB=EF,AD=CE 求证：BC=FD 证明：AB⊥CB, EF⊥FD, .∠B与∠F都是 ,AD=CE,∴.AD+CD=CE+ 即AC= 易错点○因忽视分类讨论而漏解 (AC= 在Rt△ABC和Rt△EFD中， AB= 6.如图，在Rt△ABC中，∠C g ≌Rt△EFD(HL), 90°，AC=8,BC=4,PQ=AB, .BC=FD. 点P与点Q分别在AC和AC (2)【针对练习】如图，∠ACB=∠CFE=90°， 的垂线AD上移动，则当AP 时， AB=DE,BC=EF.求证：AD=CF. △ABC与△APQ全等. 【点拨】当两个全等的直角三角形的对应，点不明确 时，要分类讨论.本题可分为△CBA≌△APQ或 △CBA≌△AQP两种情况. 29 八年级数学·上册 B综合练 关键能力提升一 C素养练 秀学升士养培灯一 7.如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D, 11.如图①，已知点P(2,2),点A在 DE⊥AC于点E,若AD=CD,则图中的全等 x轴正半轴上运动，点B在y轴 三角形有 () 负半轴上运动，且PA=PB. A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 (1)求证：PA⊥PB: (2)若点A(8,0),则点B的坐标为 (3)求OA-OB的值： (4)(拓展)如图②，若点B在y轴正半轴上 第7题图 第8题图 运动，其他条件不变，直接写出OA十OB 8.【教材P56复习题T9变式】如图，∠ACB= 的值 90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别 为D,E,若BE=2cm,AD=6cm,则DE= cm. 俐② 9.如图，AD,BE是△ABC的 高，AD与BE相交于点F, 若AD=BD=6,且AF=2, 则△ACD的面积为 10.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AE⊥ BD,CF⊥BD,E,F是垂足，BF=DE,连接 AC交BD于点G,求证：AG=CG 核心 素养 几何直观推理能力运算能力 助学助教优质高数30第2课时利用“SAS”判定两个三角形全等 知识储备 1.两边夹角边角边SAS 基础练综合练素养练 1.D2.AC=AD3.(1)==AF A AC SAS(2)证明：，AD平分 AB=AC, ∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD,. AD-AD. △ABD≌△ACD(SAS).4.A5.3SAS或边角边（或两边及其夹角对应相 等的两个三角形全等)6.①7.A8.证明：DE∥BC,∴.∠BDE=∠CBA. (BD=CB. 在△EDB和△ABC中，∠BDE=∠CBA,∴.△EDB≌△ABC(SAS)..BE= DE=BA. CA.9.C10.45cm11.(1)证明：，AB∥CD,.∠ABE=∠DCF,在△ABE (AB=DC, 和△DCF中，∠ABE=∠DCF,∴.△ABE≌△DCF(SAS):(2),△ABE≌ BE=CF. △DCF,∴.∠AEB=∠DFC.∴∠AEC=∠DFB.·BE=CF,∴.BE+EF=CF+ EF,即BF=CE.又，AE=DF,.△ACE≌△DBF(SAS). 12.解：(1)不会(2)如图，当D,E运动到CB,BA的延长线上 时，(1)中的结论不会发生改变，理由如下：，∠ABD=180°一 ∠ABC=120°，∠EAC=180°-∠BAC=120°，∴.∠ABD= (AB=CA, ∠EAC.·在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE,. BD-AE. △ABD≌△CAE(SAS),∴.∠D=∠AEC.·'∠DFC=∠AEC+∠EAF,∠EAF =∠BAD,∴.∠DFC=∠D+∠DAB=∠CBA=60°. 第3课时利用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等 知识储备 1.两角夹边角边角ASA2.两角相等角角边AAS 基础练综合练素养练 L.∠AOC ASA2.(1)∠E∠DFEE∠DFE(2)证明：.点B为线段 AC的中点，∴.AB=BC..AD∥BE,∴.∠A=∠EBC.在△ABD和△BCE中， ∠A=∠EBC, AB=BC,.△ABD≌△BCE(ASA).3.C4.证明：.AD⊥CE,BE⊥ ∠DBA=∠C, CE,.∠ADC=∠E=90°.∴.∠B+∠BCE=90°..∠ACB=90°，∴.∠BCE+ I∠ADC=∠E, ∠ACD=90°.∴.∠B=∠ACD.在△ACD和△CBE中，{∠ACD=∠B,. AC=CB, △ACD≌△CBE(AAS).5.(1)AB=DE(2)∠ACB=∠F(3)∠A=∠D 6.BC=DC(答案不唯一)7.C8.(1)由作图可知∠ABF=∠ACD,,CD1 AB,,∠BDC=90°，∴∠ABF+∠BED=90°.又，∠CEF=∠BED,.∠CEF +∠ACD=90°..∠AFB=90°；(2)=；(3).BF平分∠ABC,.∠ABF= ∠CBF,由(1)知∠AFB=∠CFB=90°，∴.△AFB≌△CFB(ASA),∴.AF=FC, :AC=6,AP=号AC=,9,证明：【特例探究】：CF⊥AE,BDLAE, ∠MAN=90°，.∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+ '∠BDA=∠AFC, ∠CAF=90°.∴.∠ABD=∠CAF.在△ABD和△CAF中，∠ABD=∠CAF, AB-CA. △ABD≌△CAF(AAS).【归纳证明】，'∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+ ∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠ACF+∠CAF,∴.∠ABE=∠CAF, ∠ABE=∠CAF, ∠BAE=∠ACF.在△ABE和△CAF中，AB=CA, .△ABE≌△CAF ∠BAE=∠ACF, (ASA).【拓展应用】5 第4课时利用“HL”判定两个直角三角形全等 知识储备 1.斜边斜边，直角边HL 179 基础练综合练素养练 1.A2.43.(1)直角CD ED ED EF Rt△ABC(2)证明：∠ACB =∠CFE=90°，.∠ACB=∠DFE=90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中， AB=DER△ACB≌Rt△DFE(HL),.AC=DF,.AC-AF=DF-AF, BC=EF, 即AD=CF.4.D5.证明：∴.BD⊥AC,.∠EDF=90°.：∠1=∠2，∠1+ ∠C=90°，∠2+∠E=90°，.∠E=∠C.在△DEF和△BCA中， ∠EDF=∠CBA, DE=BC. .△DEF≌△BCA(ASA),.DF=AB.6.4或87.B ∠E=∠C, 8.49.1210.证明：：AE⊥BD,CF⊥BD,.∠AEB=∠CFD=90°.：BF= DE,.BF-EF=DE-EF,即BE=DF.在Rt△ABE与Rt△CDF中， AB=R:RL△ABE≌RL△CDF (HI),∠ABG=∠CDG,在△ABG与 [∠AGB=∠CGD, △CDG中，∠ABG=∠CDG,∴.△ABG≌△CDG(AAS),∴.AG=CG.11.解： AB=CD, (1)过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,.∠PMA=∠PNB=90°. (PM=PN.:Rt P(2,2),PM=PN=2.在R△AMP和Rt△BNP中，PA=PB, △AMP≌Rt△BNP(HL)..∠APM=∠BPN,∴.∠APB=∠APM+∠BPM =∠BPN+∠BPM=∠MPV=90°，∴.PA⊥PB;(2)(0,-4):(3)OA-OB= (OM+MA)-(BN-ON)=OM+ON=4;(4)OA+OB=4. 模型构建专题（一）全等三角形的基本模型 1.解：(1)AD=BE,.AD+DB=BE+DB,∴.AB=DE.在△ABC和△EDF (AC=EF, 中，AB=ED,∴.△ABC≌△EDF(SSS);(2),△ABC≌△EDF,.∠C=∠F= BC=DF. 65°.，∠A=60°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=55°.2.证明：(1)在△ABE和 ∠E=∠F, △ACF中，∠B=∠C,∴.△ABE≌△ACF(AAS).∴.∠EAB=∠FAC.. AE-AF, ∠EAB-∠CAB=∠FAC-∠CAB,即∠1=∠2：(2)由△ABE≌△ACF,得AC 「∠C=∠B, =AB.在△ACN和△ABM中，AC=AB, ,.△ACN≌△ABM(ASA), ∠CAB=∠BAM, 3.(1)证明：①，∠ACB=∠DCE=90°，.∠ACB+∠BCE=∠DCE+ (AC=BC, ∠BCE,即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，{∠ACE=∠BCD, CE=CD. △ACE≌△BCD(SAS).②'△ACE≌△BCD,∴.∠CAE=∠CBD..∠CAE+ ∠EAB+∠ABC=90°，∴.∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°.∴.∠AFB=90°. AE⊥BD.(2)60°(3)180°-a4.(1)AM+BN=MN(2)解：(1)中结论不 成立，理由如下：'∠ACB=∠ACM+∠BCN=90°，∠CAM+∠ACM=90°， ∠CAM=∠BCN, ∠CAM=∠BCN.在△ACM和△CBN中，∠AMC=∠BNC,∴.△ACM≌ AC=CB, ACBN(AAS)..'.AM-CN,CM=BN..MN=CN-CM,..MN=AM-BN, (1)中结论不成立.5.解：.∠BMA=∠BAC=∠ANC,∠BMA+∠ABM= ∠BAC+∠CAN,∴.∠ABM=∠CAN,在△ABM与△CAN中， 「∠BMA=∠ANC, ∠ABM=∠CAN,.△ABM≌△CAN(AAS),,∴.BM=AN=6,AM=CN=2, AB=CA. ∴.MN=AM+AN=8. 12.3角的平分线的性质 第1课时角的平分线的作法和性质 知识储备 1.距离2.已知求证画出图形 基础练综合练素养练 1.A2.解：图略.3.34.105.证明：，CF,CE分别是△ABC和△ACD的 -180