第2课时 直角三角形的性质与判定-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

第2课时 直角三角形的性质与判定 Φ知识储备$ 易错点○因忽视直角顶点的位置不唯一致错 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角 5.【分类讨论思想】如图，已 2.直角三角形的判定：有两个角 知∠AOD=30°，点C是射 的三角 形是直角三角形。 线OD上的一个动点，在 点C的运动过程中，△AO℃恰好是直角三角 A基础练 必备知识梳理一 形，则此时∠A所有可能的度数为 知识点一 直角三角形的两个锐角互余 【点拔】由于直角顶点不确定，故要分类讨论：即①点 1.(1)如图，在△ABC中，若∠C= A是直角顶点；②，点C是直角顶点 90°，则可得 X 知识点二有两个角互余的三角形是直角三角形 =90° 6.(1)在△ABC中，∠B=54°，∠C=36°，则 符号语言表示为：，∠C=90°， △ABC的形状是 () =90° A.锐角三角形 B.直角三角形 (2)【T1(1)变式】在Rt△ABC中，∠C=90°， C.钝角三角形 D.不能确定 若∠A=4∠B,则∠A= (2)【T6(1)变式】在△ABC中，若∠A=60°， 2.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板 ∠B=2∠A,则△ABC是 三角形 叠放在直尺上，则∠1+∠2 ( A.60° B.75 C.90 D.105° 7.【本课时T4变式】如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，BD平分∠ABC,且∠1=∠2， 求证：△ABD是直角三角形， 第2题图 第3题图 3.【教材P14例3变式】如图，在△ABC中，∠C =90°，AE平分∠BAC,BD⊥AE交AE的延 长线于点D.若∠1=24°，则∠EAB=() A.66 B.33° C.24 D.12° 4.【教材P17习题T10变式】如图，AB∥CD, AE平分∠BAC,已知∠E=90°，求证：CE平 B综合练 今关健能力提升一 分∠ACD 8.【教材P14“思考”变式】若四个三角形分别满 足以下条件：①∠A十∠B=∠C:②∠A ∠B=∠C;③∠A=∠B=2∠C;④∠A· ∠B:∠C=1:2:3,则其中直角三角形的 个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 9 八年级数学·上册 9.如图，在△ABC中，∠ACB C素养练 学科素养培有一 =90°，将三角形纸片 B 12.【新课标·用类比方法计算与证明】如图1， ABC沿CD折叠，使点B △ABC中，有一块直角三角板PMN放置 恰好落在AC边上的点E处.若∠A=24°，则 在△ABC上(P点在△ABC内)，使三角板 ∠EDC= PMN的两条直角边PM,PN恰好分别经 10.【教材P14例3变式】如图1，在△ABC中， 过点B和点C AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E. 试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定 (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由； 的数量关系？ (2)如图2，如果∠ABC是钝角，其余条件不 (1)特殊探究：若∠A=50°，则∠ABC+ 变，(1)中的结论是否仍然成立？请说明 ∠ACB= ·∠PBC+∠PCB= 理由. ,∠ABP+∠ACP= (2)类比探索：请探究∠ABP十∠ACP与 ∠A的关系； (3)类比延伸：如图2，改变直角三角板 图1 图2 PMN的位置，使P点在△ABC外，三 角板PMN的两条直角边PM,PV仍 然分别经过点B和点C,(2)中的结论 是否仍然成立？若不成立，请直接写出 你的结论， 图1 图2 11.【教材P16习题T4变式】如图，AE,AD分 别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°， ∠C=70°，求∠BAC和∠DAE的度数 核心 几何直观模型观念 素养 运算能力 推理能力 助学助教优质高致10DE+ACDE.又AB=AC,号AC·BG=AC.(DE+DP),即DE+DF =BG.4.(1)5(2)解：(2)由题意，得①AC+BC=27-9=18,即AC+2CD= 18.②AC+CD=19-6=13.∴.CD=5,.AC=13-CD=13-5=8.5.解：(1) 由中线平分三角形的面积，可得S6w=5n=号S,S=SaE 3m-号sam7·日Sa-号×号×1=子(m.（(246证明：cD 是△ABC的平分线，∠BCD=∠ACD=寸∠ACB.:∠ECD=∠EDC, ∠EDC=∠ACD.∴.ED∥AC.∴.∠BED=∠ACB=2∠ACD. 11.2与三角形有关的角 11.2.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 知识储备 180° 基础练综合练素养练 1.AB∠BCD∠ACE两直线平行，内错角相等平角定义180°等量代 换2.D3.B4.(1)C(2)24°5.75°6.807.57.5°8.解：由题意，得： ∠BAC=∠CAE-∠BAE=90°-30°=60°.∠BCA=∠ACF-∠BCF=90° 50°=40°..∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-60°-40°=80°.答：从B地 看A,C两地的视角∠ABC是80°.9.D10.B11.解：(1)在△ABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-42°=78°.，BE,CD分别平分 ∠ABC,∠ACB,∠FBC=7∠ABC=2I,∠FCB=合∠ACB=39.在△BFC 中，∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°.(2)70°12.解： (1)68°(2)，∠ADE=∠AED=75°，∴.∠DAE=180°-∠ADE-∠AED= 30°.：∠ADC=180°-∠DAE-∠C=82°，∠CDE=∠ADC-∠ADE=82° 75°=7°.13.解：(1)：∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180 又∠AOB=∠COD,∴.∠A+∠B=∠C+∠D;(2)图2中有：ABCD,ABED, EBCD共计3个“8”字图形.(3)：BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∴.∠ABE= ∠CBE=号∠ABC,∠CDE=∠ADE=号∠ADC.:∠A+∠ABE=∠E+ ∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+∠CBE,∴·∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=2∠E +∠ADE+∠CBE.“∠A+∠C=2∠E.即∠E=(∠A+∠CO. 第2课时直角三角形的性质与判定 知识储备 1.互余2.互余 基础练综合练素养练 1.(1)∠A∠B(2)∠A∠B(3)72°2.C3.C4.证明：AB∥CD,. ∠BAC+∠ACD=180°.∠E=90°，∴.∠2+∠3=90°..∠1+∠4=90°.：AE 平分∠BAC,∴.∠1=∠2.∴∠3=∠4.∴.CE平分∠ACD.5.60°或90°6.(1) B(2)直角7.证明：：∠BAC=90°，.∠BAD+∠1=90°.BD平分 ∠ABC,∴.∠ABD=∠2..'∠1=∠2，.∠BAD+∠ABD=90°..∠ADB= 90°.即△ABD是直角三角形.8.C9.69°10.解：(1)∠1=∠2.理由如下： AD⊥BC,CE⊥AB,.△ABD和△BCE都是直角三角形.∴.∠1十∠B=90°， ∠2+∠B=90°.∴.∠1=∠2.(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：AD⊥BC, CE⊥AB,.∠D=∠E=90°.∴.∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°.又 ∠ABD=∠CBE,∴.∠1=∠2.11.解：，∠B=36°，∠C=70°，∴.∠BAC=180 -∠B-∠C=74.,AE,AD分别是△ABC的高和角平分线，∴∠CAD= ∠BAD=37°.：在Rt△AEC中，∠EAC=90°-∠C=20°..∠DAE=∠CAD ∠EAC=37°-20°=17°.答：∠BAC是74°，∠DAE=17°.12.解：(1)130°90 40°(2)结论：∠ABP+∠ACP=90°-∠A.证明：.90°+（∠ABP+∠ACP) +∠A=180°，∠ABP+∠ACP+∠A=90°..∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)不成立：存在∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB =180°-∠A,:∠MPN=90°，∴.∠PBC+∠PCB=90°..（∠ABC+∠ACB) -(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°.即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP -∠ABC∠PCB=90°-∠A,∴.∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 175