检测2一元函数的导数及其应用单元检测（能力卷）-2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第二册课程）（人教2019A版专用）

检测2一元函数的导数及其应用单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数在处的导数存在，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024-2025河南高三上学期12月联考数学试卷）曲线在处的切线经过点，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2024·四川眉山·一模）若函数在时取得极小值，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为 （　　） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·辽宁·期中）若函数在上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·湖南岳阳·期末）已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·河南新乡·模拟预测）已知函数的定义域为，且其图象是一条连续不断的曲线，，记为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．若，则 D．若在上单调递减，则恰有三个零点 10．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 11．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的图象关于对称 C．有三个零点 D．是的一个零点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）若曲线在处的切线同时与圆相切，则 ． 13．（2024高三·全国·专题练习）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 14．（2024高三·全国·专题练习）曲线与在交点处存在公切线，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)设割线的斜率为，曲线在点处的切线斜率为，判断与的大小关系，并说明理由； (2)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求. 16. (15分) （24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由． 17. (15分) （24-25高三上·河南·期中）已知函数，其中，. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围. 18. (17分) （24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 19. (17分) （24-25高三上·贵州·阶段练习）函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测2一元函数的导数及其应用单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数在处的导数存在，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024-2025河南高三上学期12月联考数学试卷）曲线在处的切线经过点，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2024·四川眉山·一模）若函数在时取得极小值，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为 （　　） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·辽宁·期中）若函数在上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·湖南岳阳·期末）已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·河南新乡·模拟预测）已知函数的定义域为，且其图象是一条连续不断的曲线，，记为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．若，则 D．若在上单调递减，则恰有三个零点 10．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 11．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的图象关于对称 C．有三个零点 D．是的一个零点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）若曲线在处的切线同时与圆相切，则 ． 13．（2024高三·全国·专题练习）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 14．（2024高三·全国·专题练习）曲线与在交点处存在公切线，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)设割线的斜率为，曲线在点处的切线斜率为，判断与的大小关系，并说明理由； (2)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求. 16. (15分) （24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由． 17. (15分) （24-25高三上·河南·期中）已知函数，其中，. (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围. 18. (17分) （24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 19. (17分) （24-25高三上·贵州·阶段练习）函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C D D A A ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据瞬时变化率的定义即可求解. 【详解】． 故选：C 2．C 【分析】求导，由导数几何意义得到函数在处的切线斜率，结合两点间斜率公式得到方程，求出实数的值. 【详解】，由导数几何意义知， 在处的切线斜率为， 当时，切线经过点，故有，解得. 故选：C． 3．D 【分析】根据函数求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，还原函数解析式明确定义域，求导列表，可得答案. 【详解】由函数，求导可得， 由题意可得，则，解得， 所以，则， ， 令，解得或2， 可得下表： 1 2 正 0 负 0 正 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 则函数的极大值为. 故选：D. 4．C 【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可. 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 5．D 【分析】理解导函数和函数的意义，结合图像即可求解. 【详解】由题意，， 又因为，由图可当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以①当时，且， ②当时，且； 综上，; 故选：D. 6．D 【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可 【详解】由，得， 又在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需求出的最小值即可， 又在单调递减，所以，则， 所以，故. 故选：D 7．A 【分析】由已知，问题为在上有解，令，利用导数可得在上单调递增，可得，即可得到答案. 【详解】函数在上存在零点， 则有解，即在上有解， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 8．A 【分析】先讨论得出的单调区间，然后根据已知列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，定义域为，. 若，则恒成立，则在上单调递增，与已知不符，舍去； 当时，由可知，或（舍去）. 当时，有，所以在上单调递减； 当时，有，所以在上单调递增. 由已知函数在上不是单调函数， 所以应有，所以. 故选：A. 9．ABD 【分析】利用赋值法可得，，可判断ABC；利用单调性以及，结合函数是奇函数，可得恰有三个零点，判断D. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，得， 令，得， 所以，即为奇函数，故B正确； 对于C，令，得， 令，得，所以，故C错误； 对于D，因为在上单调递减，又， 所以存在，满足在上单调递增，在上单调递减， 因此在上只有一个零点1，又是奇函数， 所以恰有三个零点，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点晴：解有关抽象函数的有关命题，赋值法是常用的方法. 10．ACD 【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可得. 【详解】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】利用函数对称性的定义可判断B选项；利用导数与极值的关系可判断A选项；数形结合可判断C选项；利用三角恒等变换计算的值，可判断D选项. 【详解】对于B选项，函数的定义域为，， 所以，，故函数的图象关于对称，故B错误； 对于函数，求导可得：， 对于ACD选项，令，解得，可得下表： 极大值 极小值 则，， 所以，函数有两个极值点，故A正确， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数有三个零点，故C正确， ，故D正确. 故选：ACD. 12．1或 【分析】先利用导数的几何意义求出在处的切线方程，再利用与圆相切可求得的值. 【详解】由，得，，则， 所以曲线在处的切线方程为， 依题意，直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得或， 故答案为：1或 13． 【分析】求，根据条件可得和4是的根，即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为， 即的解集为， ∴所以和4是的两根， ∴． 故答案为：−4. 14．2 【分析】运用导数几何意义，结合导数运算来判定单调性和求最值，计算即可， 【详解】设两曲线的公切点为，因为，， 依题意得，， 由，解得，将代入， 整理得，令，则，令， 则，令，解得（舍负）， 当时，；当时，， 所以有最小值，所以方程有唯一解，此时，解得． 故答案为：2. 15．(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用直线的斜率公式可求，利用导数的定义可求，可得结论； （2）利用导数的定义可求点处的切线斜率，进而求得切线方程，求得其在轴和轴的截距，从而可得，求解即可. 【详解】（1）易知，所以割线的斜率， 点处的切线斜率， 所以． （2）点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为，即， 其在轴和轴的截距分别为和， 所以切线与两坐标轴所围三角形的面积为，故，解得． 16．(1) (2)单调递增区间为；单调递减区间为和 (3)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）利用导数讨论函数的单调性即可； （3）构造函数，利用二阶导数讨论函数的单调性，即可下结论. 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为，且． 令，得． 与的情况如下： - - 0 + 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和． （3）当且时，，证明如下： 令，则． 设，则． 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 从而，即． 所以的单调递增区间为和． 当时，，即； 当时，，即． 综上，当且时，． 17．(1) (2) 【分析】（1）直接求导代入得到斜率，再写出点斜式方程即可； （2）等价转化为在上必存在变号零点，再设新函数求导研究即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 所以的图象在处的切线方程为， 即. （2）当时，，定义域为， 所以， 因为在区间上存在极值， 所以在上必存在变号零点， 令，则在上必存在变号零点， 因为，所以，解得， 当时，，且在上单调递增， 又，故存在，使得， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为. 18．(1) (2)见解析 【分析】（1）当时，先求导，再求，利用点斜式即可写出切线方程； （2）分，，，四种情况，结合求导讨论即可求解． 【详解】（1）若，则，， 又，故， 所以在处的切线方程为， 即； （2），， 当时，，令，即，解得，令，解得， 所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，，在上单调递增， 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减． 综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减． 19．(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义计算可得； （2）求出函数的导函数，令，，利用导数说明函数的单调性，从而得到的单调性，求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 则，又， 所以在处的切线方程为； （2）因为，， 令，，则， 因为在上单调递增，，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， ，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 又，，所以， 所以，即的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$