检测1一元函数的导数及其应用单元检测（基础卷）-2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第二册课程）（人教2019A版专用）

检测1一元函数的导数及其应用单元检测（基础卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2a 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（   ） A． B． C． D．或 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河南新乡·一模）函数的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·四川内江·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．[0,8] 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高三上·湖北·期中）如图为襄阳凤雏大桥，连接襄阳襄城、樊城，既缓解交通压力又是汉江上美丽的风景线，她的悬链类似双曲函数的图像．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论正确的是（    ） A． B．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 C．若点P在曲线上，为曲线在点P处切线的倾斜角，则 D． 10．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．曲线在点处切线的斜率为 C．在单调递增 D． 11．（2024·广东·模拟预测）设函数，则（    ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．的图象关于点中心对称 D．当时， 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l与轴交点的坐标为 ． 13．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 14．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若函数有极值，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 16. (15分) （24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 17. (15分) （24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 18. (17分) （2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)设函数在区间上是减函数，求a的取值范围． 19. (17分) （24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)设函数，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测1一元函数的导数及其应用单元检测（基础卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2a 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（   ） A． B． C． D．或 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河南新乡·一模）函数的图象在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·四川内江·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．[0,8] 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高三上·湖北·期中）如图为襄阳凤雏大桥，连接襄阳襄城、樊城，既缓解交通压力又是汉江上美丽的风景线，她的悬链类似双曲函数的图像．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论正确的是（    ） A． B．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 C．若点P在曲线上，为曲线在点P处切线的倾斜角，则 D． 10．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．曲线在点处切线的斜率为 C．在单调递增 D． 11．（2024·广东·模拟预测）设函数，则（    ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．的图象关于点中心对称 D．当时， 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l与轴交点的坐标为 ． 13．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 14．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若函数有极值，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 16. (15分) （24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 17. (15分) （24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 18. (17分) （2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)设函数在区间上是减函数，求a的取值范围． 19. (17分) （24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)设函数，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C D B D D ABC BCD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解. 【详解】. 故选：D. 2．D 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】∵， ∴， ∴，，解得． 故选：D. 3．D 【分析】根据条件，利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】由题知切线的斜率，设切点为，则， 又，所以，解得或，当时，，时，， 所以切点坐标为或． 故选：D． 4．C 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，进而可切线与坐标轴交点，即可得三角形面积. 【详解】由，得，， 则的图象在点处的切线方程为，即， 令，得，令，得， 则该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 故选：C. 5．D 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：D 6．B 【分析】先求得函数的导函数，进而求出其单调递减区间，再借助集合的包含关系即可求解. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 又函数在上单调递减，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 7．D 【分析】将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解． 【详解】不妨设， 因为对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，则．定义域为， 则原问题转化为在上单调递增； ， 当时，，在单调递增； 当时，需在上恒成立，即在上恒成立， 对于图象过定点，对称轴为， 故要使得在上恒成立， 需满足且， 解得， 综合可得，即的取值范围为,． 故选：D. 【点睛】方法点睛：遇到双变量函数不等式，需要集中变量转化为函数值大小关系，从而构造函数，转化为新函数单调性判断问题，再结合导数确定单调性即可得所求. 8．D 【分析】根据极值点个数与导函数零点个数的关系，计算可得结果. 【详解】易知， 因为有两个极值点，故有两个变号零点， 故在上有两个不同的解， 故所以. 故选：D. 9．ABC 【分析】对于A,D直接代入验证即可；对于 B，利用奇偶性的定义即可判断；对于C，利用导数的几何意义结合基本不等式及正切函数的性质即可判断. 【详解】选项A中：左边，A对； 选项B中：关于对称且有. 恒成立，所以双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数，B对； 选项C中：设，则，即，所以，C对； 选项D中：左边，右边，左边≠右边，D错 故选：ABC 10．BCD 【分析】根据偶函数的定义可判断A，利用导数的几何意义可判断B，利用函数的导数的正负可判断C，利用函数单调性比较函数值的大小可判断D. 【详解】函数的定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； ，， 所以曲线在点处切线的斜率为，B选项正确； 时，，，所以， 故在单调递增，C选项正确； ，在单调递增，则有，得，D选项正确. 故选：BCD. 11．BC 【分析】根据零点的定义直接判断A选项，求导判断函数的单调性与极值情况，可判断BD选项，根据函数图像的对称性可判断C选项. 【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，故A 选项错误； 对于B，由， 令，解得或， 当或时，，即在和上单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以是的极小值点，故B选项正确； 对于C，因为，则的图象关于点中心对称，故C选项正确； 对于D，当时，单调递减，则当时，单调递减， 又当时，，所以，故D选项错误； 故选：BC. 12． 【分析】先根据导数的几何意义求出切线l的方程，进而求解即可. 【详解】由，， 而，则， 所以切线l的方程为， 令，得， 即l与轴交点的坐标为. 故答案为：. 13． 【分析】由函数的单调性结合题设即可列出关于m的不等式，解不等式即可得解. 【详解】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 故答案为：. 14． 【分析】根据极值的概念可转化为导数零点情况，根据判别式可得解. 【详解】由， 则， 由函数有极值， 即有变号零点， 即， 解得或， 故答案为：. 15．(1) (2)和. 【分析】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【详解】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 16．(1) (2)增区间为，减区间为. 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）求导，根据导数判断函数单调性即可得解. 【详解】（1）当时，， 则，即， 又， 则切线方程为，即； （2）当时，，， 则，， 令，解得或（舍），         则 极大值 的增区间为，减区间为. 17．(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义及其极值定义计算即可得解； （2）利用函数单调性与导函数的关系可得当时，，计算即可得解. 【详解】（1），则有， 解得，即； （2）由，， 由在区间上单调递增，故当时，， 令，解得或， 故或， 对，该不等式组无解， 对，解得， 综上所述，. 18．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求，讨论的范围，根据的正负可确定函数的单调区间. （2）根据（1）的分析可得，解不等式组即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，，. 当，即时，恒成立，在R上为增函数； 当，即或时，由得，， 由得，或，由得，， 所以在上为增函数，在上为减函数. 综上得，当时，在R上为增函数； 当或时，在上为增函数，在上为减函数. （2）由（1）得，当或时，在上为减函数， 故， 所以，解得， 所以a的取值范围是． 19．(1)的单调增区间为，单调减区间为. (2) 【分析】（1）先求出，再求出其导数，讨论其符号后可得的单调区间. （2）原不等式等价于，利用导数可求，利用二次函数的性质可得，从而得到的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，故 且. 当时，，故在为增函数； 当时，，故在为减函数. 故的单调增区间为，单调减区间为. （2） ， 因为，故， 所以在上为增函数，故， 图像的对称轴为， 故当时，. 因为存在，对任意的，总有成立， 故，即，故 学科网（北京）股份有限公司 $$