6.2 常用三角公式 (第2课时)（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

6.2 常用三角公式 (第2课时) 题型一 辅助角公式 1．将下列各式化成的形式： (1)； (2) 2． ． 3．求证： (1)； (2)． 4．已知为锐角，且，则 . 5．已知，，，则 6．已知为定值，对任意恒成立，则为第 象限角． 题型二 利用二倍角公式化简求值 7．利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 8．利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 9．求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ． 10．下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 题型三 三角函数的概念、诱导公式与二倍角公式 11．已知角终边上一点，则 ． 12．已知，则 ． 13．的值为 . 14．如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为．    (1)求的值； (2)求的值． 题型四 简单的给求值、求角型 15．已知，则 . 16．已知，则 . 17．已知，则 . 18．已知，则 ． 题型五 两角差公式与二倍角公式综合 19．已知，则 . 20．已知，则 ． 21．已知，，且，则 ． 22．若，则 ． 23．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 24．已知，，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．3 D．2 25．已知， (1)求和值； (2)求的值. 题型六 升幂或降幂型 26．化简 . 27．化简 ． 28．已知，则的值是 . 29．若，则 . 30．已知，则 ． 31．已知，，则 ． 32．若，则（      ） A． B． C． D． 33．若，，则（    ） A． B． C． D． 题型七 sinαcosα升幂或降幂型 34．化简求值： . 35．已知，则 . 36．已知，，且，则的最小值为 37．已知角，均为锐角，且，满足，的值为 ． 38．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型八 三倍角公式 39．求 . 40．通过两角和的正､余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式.例如：. (1)根据上述过程，推导出关于的表达式； (2)求的值； (3)求的值. 题型九 证明恒等式 41．求证：． 42．证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 43．化简与证明： (1)化简：； (2)证明：． 一、填空题 1．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，．若，则的值为 ． 2．已知锐角，满足，， 则的值为 . 二、单选题 3．已知，且，则（    ） A． B．或7 C．或7 D． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 5．证明： (1) (2) (3)已知，，求证． 6．在平面直角坐标系中，以轴的正半轴为始边作锐角和钝角，它们的终边分别与单位圆交于两点. (1)当时，求的值； (2)当时，求角的值； (3)当时，记角，求满足等式的所有的值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 常用三角公式 (第2课时) 题型一 辅助角公式 1．将下列各式化成的形式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用辅助角化简变形求解即可， （2）先利用辅助角化简变形求解，再利用诱导公式变形即可 【解析】（1） （2） 2． ． 【答案】（其中） 【分析】运用辅助角公式计算. 【解析】，其中． 故答案为：（其中）. 3．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用辅助角公式求解； （2）利用辅助角公式求解. 【解析】（1）证明：. （2）证明： . 4．已知为锐角，且，则 . 【答案】/ 【分析】先根据两角和的正弦公式及辅助角公式化简，进而可得出答案. 【解析】因为， ， 又， 所以，所以，即， 因为，所以，所以，所以. 故答案为：. 5．已知，，，则 【答案】/ 【分析】由、，借助，可先将消去，再结合辅助角公式，计算出的值，即可得的值. 【解析】由，得， 得①， 由，得， 得②， ①②得：， 即， . 故答案为： 6．已知为定值，对任意恒成立，则为第 象限角． 【答案】二 【分析】利用辅助角公式计算可得，再根据角的关系可得为第二象限角． 【解析】易知 ， 所以或． 当时，解得； 当时，解得，，因为为定值，所以此时不符合条件， 综上可知为第二象限角． 故答案为：二 题型二 利用二倍角公式化简求值 7．利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式求解即可. （2）利用二倍角的余弦公式求解即可. （3）利用二倍角的正切公式结合诱导公式求解即可. 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）原式． 8．利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）直接利用三角函数的二倍角公式求出结果． 【解析】（1）； （2）； （3）． 9．求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 / / 【分析】根据二倍角公式即可求解. 【解析】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 故答案为： 10．下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用二倍角正弦公式判断A,应用二倍角余弦公式判断B,C,由二倍角正切公式计算化简判断D. 【解析】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：D. 题型三 三角函数的概念、诱导公式与二倍角公式 11．已知角终边上一点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据任意角三角函数定义可得，再结合倍角公式运算求解. 【解析】因为角终边上一点，则， 所以. 故答案为：. 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据诱导公式可得，在结合倍角公式分析求解. 【解析】由题意可得：，即， 所以. 故答案为：. 13．的值为 . 【答案】 【分析】利用诱导公式及余弦的二倍角公式化简可得值. 【解析】由题意，， 故答案为：. 14．如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为．    (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由任意角三角函数定义结合题意可得答案. （2）由题结合二倍角正切公式可得答案. 【解析】（1）由题结合任意角三角函数定义可得： ； （2）由题可得：， 则. 题型四 简单的给求值、求角型 15．已知，则 . 【答案】/ 【分析】直接运用二倍角余弦公式进行求解即可. 【解析】因为， 所以， 故答案为： 16．已知，则 . 【答案】 【分析】方法一：由已知可得，结合同角三角函数的平方关系可求得，进而代入计算可求值.方法二：利用1的代换化为齐次式可得，计算可求值. 【解析】方法一：由，得.因为，所以， 则. 方法二： . 故答案为：. 17．已知，则 . 【答案】 【分析】由求得，进而利用二倍角公式可得的值. 【解析】因为，所以， 所以。 故答案为：. 18．已知，则 ． 【答案】 【分析】结合二倍角余弦公式化简等式求，再利用二倍角余弦公式求. 【解析】由题得， 所以， 解得或， 又，则， 故． 故答案为：. 题型五 两角差公式与二倍角公式综合 19．已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求出的值. 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为：. 20．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】使用余弦的诱导公式和二倍角公式即可得到结果. 【解析】． 故答案为：. 21．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】利用正切的二倍角公式和两角差的公式进行求解即呆. 【解析】因为，，， 所以，， 因为， 所以，，因此， 因为， 所以， 故答案为： 22．若，则 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的和差公式化简求值即可得解. 【解析】因为， 所以，解得， 所以 ． 故答案为：. 23．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，可得，由，可得，代入，即可得答案. 【解析】解：因为， 所以， 即. 又，则， 因为， 所以，所以. 故选：D. 24．已知，，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据余弦和差公式化简得到，由正切二倍角公式和得到，从而得到方程，求出实数m的值. 【解析】， 即， ，故， 则， 由于，故， 解得或， 因为，所以，故， 即，解得. 故选：C 25．已知， (1)求和值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先由已知求出，即可由结合两角差的余弦公式求出，接着求出，进而结合正弦倍角公式即可求出. （2）先由（1）结合余弦倍角公式求出，再由结合两角和的余弦公式即可求解. 【解析】（1）因为，所以， 所以由得， 所以， 所以， 所以. （2）由（1），，， 所以， 所以. 题型六 升幂或降幂型 26．化简 . 【答案】 【分析】利用二倍角的正弦公式可化简所求代数式. 【解析】 故答案为：. 27．化简 ． 【答案】2 【分析】运用降幂公式将化成，整理后再用诱导公式将化成，化简即得. 【解析】． 故答案为：2. 28．已知，则的值是 . 【答案】/0.64 【分析】利用二倍角的正、余弦公式即可得到答案. 【解析】由题得，则， 两边同时平方可得，故. 故答案为：. 29．若，则 . 【答案】 【分析】根据题意利用降幂公式结合诱导公式运算求解. 【解析】由题意可得：. 故答案为：. 30．已知，则 ． 【答案】 【分析】及角的范围即可求解. 【解析】因为，所以，所以， 又，所以. 故答案为:. 31．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可. 【解析】解：由，，得， 所以． 故答案为： 32．若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由降幂公式求出，再结合诱导公式求解即可． 【解析】由已知得，，即， 则， 故选：D． 33．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据降幂公式化简题设可得，进而结合可得，进而结合同角三角函数关系求解即可. 【解析】由，则， 即，即， 解得或， 因为，所以， 则， 所以. 故选：D. 题型七 sin αcos α升幂或降幂型 34．化简求值： . 【答案】 【分析】直接利用二倍角公式、降幂公式和诱导公式化简求解即可 【解析】解：， 故答案为： 35．已知，则 . 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【解析】， . 故答案为：. 36．已知，，且，则的最小值为 【答案】 【分析】利用和差公式、二倍角公式和同角三角函数基本关系化简得到，然后利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可. 【解析】由，得， 则， 则. 因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立， 从而. 又， 所以当取得最大值时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：. 37．已知角，均为锐角，且，满足，的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】根据给定条件，对角进行配凑变换，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求值即得. 【解析】由， 得， 则， 由角，均为锐角，且，得，则，于是， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将角分别变形为. 38．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用诱导公式化为角的三角函数，再用二倍角公式、诱导公式及和角的正弦公式变形成关于的方程即可得解. 【解析】， 依题意得，解得， 所以. 故选：B 题型八 三倍角公式 39．求 . 【答案】 【分析】由，化简得到，，化简得到，从而将原式化简为，利用，求出，即可求解. 【解析】因为， 从而得到：， 则 由于， ， 所以， 因为 因为 所以， 即， 解得：或(舍去) 所以 40．通过两角和的正､余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式.例如：. (1)根据上述过程，推导出关于的表达式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式、二倍角的正余弦公式和同角的平方关系计算即可求解； （2）由、和同角的平方关系计算可得，解方程即可； （3）由（1）得，结合两角和的正弦公式计算即可求解. 【解析】（1） ； （2），即， ， ，即， 整理得； （3）由（1）得， . 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练常握三角函数恒等变换的相关公式，从而得解. 题型九 证明恒等式 41．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数基本关系证明即可. 【解析】证明：左边右边． 42．证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)解析 (3)解析 (4)解析 【分析】（1）直接利用倍角公式的变换求出结果； （2）利用倍角公式的变换求出结果； （3）利用倍角公式的变换和同角三角函数的关系式的变换求出结果； （4）利用同角三角函数的关系式的变换和倍角公式的变换求出结果． 【解析】（1）右边 左边， 故成立． （2）右边 左边， 故成立； （3）左边 右边， 故成立． （4）左边 右边， 故成立． 43．化简与证明： (1)化简：； (2)证明：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式即可化简求得. （2）由正、余弦的二倍角公式化简即可求证. 【解析】（1）原式． （2）证明 ： 左边 ＝右边， 所以原等式成立． 一、填空题 1．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，．若，则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】根据三角函数的定义可得，进而由图可得，利用二倍角公式即可化简求解 【解析】由于的坐标为，故，故在单位圆上，设终边所对角为， 由于，故,， 所以，故， ， 故答案为： 2．已知锐角，满足，， 则的值为 . 【答案】 【分析】根据已知结合同角关系消去得，再根据二倍角公式化弦为切得，然后利用同角三角函数关系求得，然后代入计算可得. 【解析】因为，，所以， 又，所以， 所以，即，又， 所以，又为锐角，解得，或（舍去）， 所以，所以. 故答案为： 二、单选题 3．已知，且，则（    ） A． B．或7 C．或7 D． 【答案】B 【分析】根据同角平方和关系，即可联立方程求解正余弦值，即可求解正切值，或则利用辅助角公式可得或，即可分类讨论，结合正切的和差角公式求解. 【解析】解法一：由，得， 则．因为，所以， 即，解得或， 当时，，则； 当时，，则， 故选：B． 解法二：因为，其中，，所以或， 当，即，时，，，所以， 所以； 当，即，时，，则，同理，所以， 所以， 故选：B． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由三角函数平方关系结合已知求出，从而求出，再由即可求出，最后由两角和的正切公式代入表达式即可求解. 【解析】一方面由题意，且注意到， 联立得，解得， 所以， 另一方面不妨设，且， 所以有，解得或（舍去），即， 由两角和的正切公式有， 所以 . 故选：B. 三、解答题 5．证明： (1) (2) (3)已知，，求证． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 根据题意，利用三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解. 【解析】（1） 证明：由 所以. （2） 证明：由 所以. （3） 证明：因为，可得， 把代入得， 即， 整理得，所以，所以 两边平方可得． 6．在平面直角坐标系中，以轴的正半轴为始边作锐角和钝角，它们的终边分别与单位圆交于两点. (1)当时，求的值； (2)当时，求角的值； (3)当时，记角，求满足等式的所有的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由二倍角的余弦公式结合三角函数的定义计算即可； （2）由三角函数的定义结合两角和的正弦展开式计算即可； （3）先由两角和的正弦展开式和同角的三角函数关系化简已知等式，再结合特殊角的三角函数值计算即可； 【解析】（1）由题意知， （2）， ， ， ， （3）当时，，故， ， 所以， 故，从而， 由，知， 由，得，即， 故且， 即或. 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$