26.3用频率估计概率（2种题型基础练+能力提升练）（题型专练）数学沪科版九年级下册

26.3用频率估计概率（2种题型基础练+能力提升练） 题型一、由频率估计概率 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（    ） A．8 B．12 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率、几何概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为12， 故选：B． 二、填空题 2．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）在一只不透明的袋子中共有2个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋中随机摸出1个球，记下颜色，然后放回袋中，搅匀后再摸出一个球，再记下颜色，再放回，再搅匀……如此反复实验，若摸到红球的频率稳定在0.75附近，则袋中红球的个数是 ． 【答案】6 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】设袋中红球有个，利用频率估计概率，得到摸到红球概率为0.75，再根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设袋中红球有个，根据题意，得 ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 所以袋中白球有6个， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键． 三、解答题 3．（2020·安徽安庆·模拟预测）在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色不放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 0.25 (1)估算口袋中白球的个数为______． (2)用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率． 【答案】(1)口袋中白球的个数为3个 (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率、由频率估计概率 【分析】（1）先利用表格中数据估算出得到白球的频率，然后再求白球的个数即可； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：由表格中数据可得到，摸到黑球的频率稳定在0.25， 故1÷0.25﹣1＝3（个）． 答：口袋中白球的个数为3个． （2）解：画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， ∴两次都摸到白球的概率为：． 【点睛】本题主要考查了频率与概率、树状图法与列表法求概率等知识点，解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 题型二、求某事件的频率 一、单选题 1．（21-22九年级上·安徽六安·期中）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【知识点】求某事件的频率 【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近， ∴ 解得 n=3 故选：B． 【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式． 二、解答题 2．（23-24九年级下·安徽·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.605 0.601 （1）请将表中的数据补充完整， （2）请估计：当n很大时，摸到白球的概率约是　 　．（精确到0.1） 【答案】（1）0.58，0.59；（2）0.6. 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率 【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6． 【详解】解：（1）填表如下： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 故答案为0.58，0.59； （2）当n很大时，摸到白球的概率约是0.6， 故答案为0.6． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在分别标有号码2，3，4…10的9个球中，随机取出2个球，记下它们的号码，则较大号能被较小号整除的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：先利用列举法得到所有36种等可能的结果数，再找出较大标号被较小标号整除有（2，4）、（2，6）、（2，8）、（2，10）、（3，6），（3，9）、（4，8），（5，10）， 然后根据概率公式求解． 详解：在分别标有号码2、3、4、…10的9个球中，随机取出两个球，共有8+7+6+5+4+3+2+1=36种等可能的结果数，其中较大标号被较小标号整除有（2，4）、（2，6）、（2，8）、（2，10）、（3，6），（3，9）、（4，8），（5，10）， 所以较大标号被较小标号整除的概率==． 故选：B． 点睛：本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 2．（20-21九年级上·全国·课后作业）通过大量重复抛掷两枚均匀硬币的试验，出现两个反面的成功率大约稳定在    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由频率估计概率 【分析】列出可能出现的情况，根据概率公式即可得出答案. 【详解】抛掷两枚均匀的硬币，可能出现的情况为：正正，反反，正反，反正， ∴出现两个反面的概率为， ∴抛掷多次以后，出现两个反面的成功率大约稳定在． 故选A． 【点睛】考查利用频率估计概率大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（        ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 【答案】D 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，根据概率公式计算即可．求出黄球的个数，即可求解． 【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右 ∴黄球的个数为 ∴布袋中白球可能有 故选：D 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为(    ) A．90个 B．24个 C．70个 D．32个 【答案】B 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【详解】试题分析：设黄球数为x个， ∵重复360次，摸出白色乒乓球90次， ∴摸出白球的频率为＝， ∴估计摸出白球的概率为， ∴＝， 解得x＝24． 故选B． 点睛：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再利用频率等于原白球数除以总球数进行求解． 5．（2022·安徽合肥·三模）在一个不透明的口袋中，放置了红球，白球共5个，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了红球出现的频率如下图，现从中无放回的抽取两个球．抽到一红一白的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量、列表法或树状图法求概率 【分析】先根据红球出现的频率，求出红球和白球的个数，然后画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵根据红球出现的频率图象可知，从5个小球中摸到红球的概率为， ∴口袋中有红球（个），白球个数为：（个）， 根据题意画出树状图，如图所示： ∵共有20种等可能的情况，其中抽到一红一白的情况数有6种情况， ∴抽到一红一白的概率为：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，画树状图或列表格求概率，根据题意求出红球和白球的个数，列出表格或画出树状图，是解题的关键． 6．（2023·安徽合肥·一模）九年级同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚硬币，正面朝上的概率 B．掷一枚正方体的骰子，出现点数是3的倍数的概率 C．将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“9”的概率 D．从装有3个红球和1个白球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是白球的概率 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】求出各选项的概率，与统计图比较即可得到结论． 【详解】解：A．抛一枚硬币，正面朝上的概率是，故选项不符合题意； B．掷一枚正方体的骰子，出现点数是3的倍数的概率为，即频率在附近波动，故选项符合题意； C．将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“9”的概率为，故选项不符合题意； D．从装有3个红球和1个白球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是白球的概率为，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键． 7．（23-24九年级·全国·课后作业）投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=，则下列说法正确的是(　　) A．p一定等于 B．p一定不等于 C．多投一次，p更接近 D．投掷次数逐步增加，p稳定在附近 【答案】D 【知识点】由频率估计概率 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果． 【详解】投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在附近． 故选：D． 【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生． 8．（2022九年级·安徽·专题练习）某种幼树在相同条件下移植试验的结果如下表:则下列说法正确的是（   ） 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.923 0.8829 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 A．由于移植总数最大时成活的频率是0.902，所以这种条件下幼树成活的概率为0.902 B．由于表中成活的频率的平均数约为0.89，所以这种条件下幼树成活的概率为0.89 C．由于表中移植总数为1500时，成活数为1335，所以当植树3000时，成活数为2670 D．从表中可以发现，随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90 【答案】D 【知识点】由频率估计概率、求一组数据的平均数 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此判断可得． 【详解】解：从表中可以发现，随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90， 故选D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的结论是否成立． 9．（21-22九年级上·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.70 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 并得出了四个结论，其中正确的是（    ） A．试验1500次摸到白球的频率一定比试验800次的更接近0.6 B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6 C．当试验次数为2000时，摸到白球的次数一定等于1200 D．这个盒子中的白球定有28个 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，据此求解即可． 【详解】解：A. 试验1500次摸到白球的频率不一定比试验800次的更接近0.6，故不正确； B. 观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，故正确； C. 当试验次数为2000时，摸到白球的次数不一定等于1200，故不正确； D. 这个盒子中的白球定估计有40×0.6=24个，故不正确； 故选B． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． 10．（2024·安徽宿州·二模）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率 【分析】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； B、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：；故此选项符合题意． C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 11．（2023·安徽蚌埠·二模）在一个不透明的袋子里有1个红球，2个白球和若干个黑球．小宇将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个，记下颜色后放回袋中，在多次重复以上操作后，小宇统计了摸到红球的频率，并绘制了如图折线图．则从袋子中随机摸出两个球，这两个球一红一白的概率为 ． 【答案】/0.2 【知识点】由频率估计概率、列表法或树状图法求概率 【分析】根据折线图可知摸到红球的概率为0.2，然后可得不透明袋子中球的个数，进而根据列表法可进行求解． 【详解】解：由折线图可知摸到红球的概率为0.2， ∴不透明袋子中球的个数为（个）， ∴黑球的个数为5-1-2=2（个）， 列表如下： 红 白1 白2 黑1 黑2 红 / √ √ √ √ 白1 √ / √ √ √ 白2 √ √ / √ √ 黑1 √ √ √ / √ 黑2 √ √ √ √ / 由表可知随机摸出两个球的可能性有20种，摸出两个球为一红一白的可能性有4种，则摸出两个球为一红一白的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率及用频率估计概率，熟练掌握利用列表法求解概率是解题的关键． 12．（21-22九年级下·安徽蚌埠·期中）如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m，宽为2m．为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右．由此可估计宣传画上世界杯图案的面积为 ． 【答案】3.2m2． 【分析】利用频率估计概率得到估计骰子落在世界杯图案中的概率为0.4，然后根据几何概率的计算方法计算世界杯图案的面积． 【详解】∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右， ∴估计骰子落在世界杯图案中的概率为0.4， ∴估计宣传画上世界杯图案的面积=0.4×(4×2)=3.2(m2)． 故答案为：3.2m2． 【点睛】考查了频率估计概率，解题关键是理解：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 13．（20-22九年级下·全国·课后作业）在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 黑棋数 1 3 0 2 3 4 2 1 1 3 根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为 枚． 【答案】40 【知识点】由频率估计概率 【分析】根据表格中的数据求出摸出黑棋的概率，然后求出棋子的总个数，再减去黑棋子的个数即可． 【详解】黑棋子的概率==，棋子总数为10÷=50，所以，白棋子的数量=50﹣10=40（枚）． 故答案为40． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 14．（20-21九年级上·全国·单元测试）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除颜色不同外，其余都相同，其中有4个是白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，大量重复上述实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是 . 【答案】10 【知识点】由频率估计概率 【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4， ∴=0.4， 解得：n=10. 故答案为10. 【点睛】此题考查利用频率估计概率，掌握运算法则是解题关键 三、解答题 15．（2021九年级·全国·专题练习）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个． (2)在这次摸球实验中，从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 【答案】(1)，2； (2)树状图见解析，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为． 【知识点】已知概率求数量、列表法或树状图法求概率、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，画树状图计算概率： （1），根据多次试验的结果可得常数，再根据多次试验的频率估计概率，求出红球的个数； （2），先画出树状图得到所有等可能性的结果数，并找到恰好摸到1个白球，1个红球的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近，因此接近的常数就是， ∴摸到白球的概率为， 设红球由x个， 由题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：，2； （2）解：画树状图得：   共有9种等可能得结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况， 摸到一个白球一个红球的概率为：. 16．（2023·安徽合肥·三模）某企业准备购进药品自动分装机，现有甲乙两款产品供选择，为了解这两款自动分装机的分装效果，对它们各进行50次分装检测，获得了它们的分装质量指标值，并对样本数据（分装质量指标值）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．该分装质量指标值对应等级如下： 分装质量指标值 等级 次等 二等 一等 二等 次等 说明：其中一等，二等为分装质量合格（其中等级是一等的为分装质量优秀）；次等为分装质量不合格． b．甲款机器样本数据的频数分布统计表如下（不完整）： c．乙款机器样本数据的频数分布直方图如下： 甲款机器样本数据的频数分布表 分组 频数 频率      2 32 0 合计 50 d．两款机器样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲款机器 乙款机器 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)若用甲款机器分装，估计分装质量的合格率为多少？若乙款机器分装5万次，估计质量优秀的有多少万次？ (3)根据图表数据，你认为哪款机器分装质量较好，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；万次 (3)甲款机器分装质量较好，理由见解析（答案不唯一） 【知识点】用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、运用方差做决策、频数分布表 【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以先求得的值，然后再求的值； （2）根据频数分布表可以求得从用甲款机器分装的产品中任取一件，估计该产品质量合格率，根据频数分布直方图可以求得乙款机器分装产品共5万次中质量优秀的次数； （3）根据频数分布直方图和分布表可以解答本题，注意本题答案不唯一，只要合理即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；。 （2）从用甲款机器分装的产品中任取一件，估计该产品质量合格率为：， 乙款机器分装产品共5万次，质量优秀的件数有：（万次）。 答：用甲款机器分装，估计分装质量的合格率为；若乙款机器分装5万次，估计质量优秀的有万次。 （3）我认为甲款机器分装质量较好， 理由：甲款机器分装质量抽样产品的方差小于乙款机器，质量的稳定性更好。 【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体、概率，运用方差进行决策，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到黑球的频率会接近____________(精确到)，估计摸一次球能摸到黑球的概率是_____________；袋中黑球的个数约为_________只； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在左右，则小明后来放进了____________个黑球． 【答案】（1）0.4，0.4；20；（2）25 【知识点】由频率估计概率 【分析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为摸到黑球的概率；用总数乘以摸到黑球的频率即可得到黑球的个数； （2）设向袋子中放入了x个黑球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得． 【详解】（1）观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.4附近，故摸到黑球的频率会接近0.4．袋中黑球的个数约为50×0.4=20(只)． （2）设放入黑球x个，根据题意得： 0.6， 解得：x=25， 经检验：x=25是原方程的根． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键． 18．（2023·安徽·一模）现如今，通过“微信运动“发布自己每天行走的步数，已成为一种时尚，“健身达人”小华为了了解他的微信朋友圈里大家的“建步走运动“情况，随机抽取了20名好友一天行走的步数，记录如下： 5640 6430 6320 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 6834 7325 6830 8648 8753 9450 9865 7290 7850 对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表： 组别 步数分组 频数 A 5500≤x＜6500 2 B 6500≤x＜7500 10 C 7500≤x＜8500 m D 8500≤x＜9500 2 E 9500≤x＜10500 n 请根据以上信息解答下列问题： (1)填空：m＝　 　，n＝　 　． (2)补全频数分布直方图． (3)根据以上统计结果，第二天小华随机查看一名好友行走的步数，试估计该好友的步数不低于7500步(含7500步)的概率． 【答案】(1)5，1；(2)见解析；(3). 【知识点】由频率估计概率、频数分布直方图 【分析】（1）由题干所给数据即可得； （2）依据以上所得m、n的值即可补全图形； （3）用C、D、E组的频数和除以数据的总数可得． 【详解】解：(1)由题意知，7500≤x＜8500的人数m＝5，9500≤x＜10500的人数n＝1， 故答案为5，1； (2)补全频数分布直方图如下： (3)估计该好友的步数不低于7500步(含7530步)的概率为． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 19．（20-22九年级上·全国·课后作业）小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 出现的次数 （1）计算“点朝上”的频率和“点朝上”的频率． （2）小颖说：“根据实验得出，出现点朝上的机会最大”；小红说：“如果投掷次，那么出现 点朝上的次数正好是次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）两人的说法都是错误的，见解析. 【知识点】由频率估计概率 【分析】（1）根据概率的公式计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率； （2）根据随机事件的性质回答． 【详解】（1）“点朝上”出现的频率是， “点朝上”出现的频率是； （2）两人的说法都是错误的，因为一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并客观存在．随机事件发生的可能性大小由随机事件自身的属性即概率决定．因此去判断事件发生的可能性大小不能由此次实验中的频率决定． 【点睛】用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．频率能反映出概率的大小，但是要经过n次试验，而不是有数的几次，几次试验属于随机事件，不能反映事物的概率． 20．（2022·安徽淮北·一模）2022北京冬残奥会是历史上第13届冬残奥会，于2022年3月4日至3月13日举行．比赛共设6个大项，即残奥高山滑雪、残奥冬季两项、残奥越野滑雪、残奥单板滑雪、残奥冰球、轮椅冰壶．小明为了解同学们是否知晓这6大项目，随机对学校的部分同学进行了一次问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个类别，根据调查结果，绘制出如图所示的条形统计图和扇形统计图． 请根据图表中的信息回答下列问题： (1)求本次调查的样本容量． (2)求图中a的值． (3)求图“基本了解”类别所对应的圆心角大小． (4)若某同学对项目了解类别为“非常了解”或者“比较了解”的话，则可称为“奥知达人”，现从该校随机抽查1名学生，求该学生是“奥知达人”的概率． 【答案】(1)400 (2)120 (3)72° (4)0.35 【知识点】由频率估计概率、求扇形统计图的圆心角、求条形统计图的相关数据、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（1）根据类别为“非常了解”的同学有20人，所占百分比为5%，用20除以5%即可求解， （2）根据类别为“比较了解”的频数为即可求得的值， （3）根据扇形统计图求得类别为“基本了解”所占百分比为乘以360度即可求解， （4）根据类别为“非常了解”与“比较了解”所占百分比之和为35%，利用频率估算概率即可． 【详解】（1）解：∵类别为“非常了解”的同学有20人，所占百分比为5%， ∴本次调查的样本容量为：． （2）∵类别为“比较了解”的同学占30%， ∴类别为“比较了解”的频数为． ∴． （3）结合扇形统计图，类别为“基本了解”所占百分比为 ， 故对应圆心角的大小为． （4）类别为“非常了解”与“比较了解”所占百分比之和为35%， 根据样本估计总体的原则，从该校随机抽查1名学生， 该学生是“奥知达人”的概率为0.35． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，根据样本估计总体，频率估算概率，掌握以上知识是解题的关键． 21．（2020·安徽·模拟预测）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩： 　4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．    根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a=_____，b=____，c=____． （2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异． 【答案】（1）7.5，8，8；（2）200人；（3）八年级的学生成绩更优异． 【知识点】由频率估计概率、利用合适的统计量做决策、求众数、求中位数 【分析】（1）由图表可求解； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异． 【详解】解：（1）由图表可得：，，， 故答案为：7.5，8，8； （2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为：（人， 答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人； （3）八年级的合格率高于七年级的合格率， 八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键． 22．（21-22九年级下·安徽淮南·期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 63 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.63 0.62 0.593 a 0.601 0.599 b (1)计算：　 　；　 　； (2)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　；（精确到0.1） (3)求不透明的盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【答案】(1)0.604，0.601 (2)0.6 (3)不透明的盒子里黑球有16个，白球有24个 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率、求某事件的频率 【分析】（1）利用摸到白球的频率为，求解a，b即可； （2）当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，由表格可以发现概率为0.6，所频率会接近0.6； （3）白球个数=摸到白球的概率×盒子里球的总数，再令总数减去白球的数量即为黑球数量； 【详解】（1）解：，； （2）解：由表可以发现：摸到白球的频率， ∴摸到白球的概率P（白球），即当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； （3）解：∵摸到白球的概率， ∴白球个数，黑球． ∴不透明的盒子里黑球有16个，白球有24个． 【点睛】本题考查频率，频数和概率，重点要理解频率和频数之间的关系，频率和概率之间的关系，以及根据概率推算出盒子里的各种球的数量． 23．（20-22八年级下·安徽·期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘,并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： (1)计算并完成表格： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率m/n 0.68 0.74 △ 0.69 0.705 △ (2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少? (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少? (4)在该转盘中,表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少?(精确到1°) 【答案】（1）0.68 ， 0.701 ；（2）0.7；（3）0.7；（4）252°. 【知识点】由频率估计概率 【分析】（1）根据频率的算法，频率=，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）根据概率的求法计算即可； （4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比计算即可． 【详解】（1）填表如下： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率m/n 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （2）当n很大时，频率将会接近（68+111+136+345+564+701）÷（100+150+200+500+800+1000）=0.7， 故答案为0.7； （3）获得铅笔的概率约是0.7， 故答案为0.7； （4）扇形的圆心角约是0.7×360°=252°． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.3用频率估计概率（2种题型基础练+能力提升练） 题型一、由频率估计概率 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（    ） A．8 B．12 C．0.4 D．0.6 二、填空题 2．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）在一只不透明的袋子中共有2个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋中随机摸出1个球，记下颜色，然后放回袋中，搅匀后再摸出一个球，再记下颜色，再放回，再搅匀……如此反复实验，若摸到红球的频率稳定在0.75附近，则袋中红球的个数是 ． 三、解答题 3．（2020·安徽安庆·模拟预测）在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色不放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 0.25 (1)估算口袋中白球的个数为______． (2)用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率． 题型二、求某事件的频率 一、单选题 1．（21-22九年级上·安徽六安·期中）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 二、解答题 2．（23-24九年级下·安徽·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.605 0.601 （1）请将表中的数据补充完整， （2）请估计：当n很大时，摸到白球的概率约是　 　．（精确到0.1） 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在分别标有号码2，3，4…10的9个球中，随机取出2个球，记下它们的号码，则较大号能被较小号整除的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（20-21九年级上·全国·课后作业）通过大量重复抛掷两枚均匀硬币的试验，出现两个反面的成功率大约稳定在    A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（        ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为(    ) A．90个 B．24个 C．70个 D．32个 5．（2022·安徽合肥·三模）在一个不透明的口袋中，放置了红球，白球共5个，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了红球出现的频率如下图，现从中无放回的抽取两个球．抽到一红一白的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·安徽合肥·一模）九年级同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚硬币，正面朝上的概率 B．掷一枚正方体的骰子，出现点数是3的倍数的概率 C．将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“9”的概率 D．从装有3个红球和1个白球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是白球的概率 7．（23-24九年级·全国·课后作业）投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=，则下列说法正确的是(　　) A．p一定等于 B．p一定不等于 C．多投一次，p更接近 D．投掷次数逐步增加，p稳定在附近 8．（2022九年级·安徽·专题练习）某种幼树在相同条件下移植试验的结果如下表:则下列说法正确的是（   ） 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.923 0.8829 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 A．由于移植总数最大时成活的频率是0.902，所以这种条件下幼树成活的概率为0.902 B．由于表中成活的频率的平均数约为0.89，所以这种条件下幼树成活的概率为0.89 C．由于表中移植总数为1500时，成活数为1335，所以当植树3000时，成活数为2670 D．从表中可以发现，随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90 9．（21-22九年级上·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.70 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 并得出了四个结论，其中正确的是（    ） A．试验1500次摸到白球的频率一定比试验800次的更接近0.6 B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6 C．当试验次数为2000时，摸到白球的次数一定等于1200 D．这个盒子中的白球定有28个 10．（2024·安徽宿州·二模）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 二、填空题 11．（2023·安徽蚌埠·二模）在一个不透明的袋子里有1个红球，2个白球和若干个黑球．小宇将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个，记下颜色后放回袋中，在多次重复以上操作后，小宇统计了摸到红球的频率，并绘制了如图折线图．则从袋子中随机摸出两个球，这两个球一红一白的概率为 ． 12．（21-22九年级下·安徽蚌埠·期中）如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m，宽为2m．为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右．由此可估计宣传画上世界杯图案的面积为 ． 13．（20-22九年级下·全国·课后作业）在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 黑棋数 1 3 0 2 3 4 2 1 1 3 根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为 枚． 14．（20-21九年级上·全国·单元测试）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除颜色不同外，其余都相同，其中有4个是白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，大量重复上述实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是 . 三、解答题 15．（2021九年级·全国·专题练习）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个． (2)在这次摸球实验中，从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 16．（2023·安徽合肥·三模）某企业准备购进药品自动分装机，现有甲乙两款产品供选择，为了解这两款自动分装机的分装效果，对它们各进行50次分装检测，获得了它们的分装质量指标值，并对样本数据（分装质量指标值）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．该分装质量指标值对应等级如下： 分装质量指标值 等级 次等 二等 一等 二等 次等 说明：其中一等，二等为分装质量合格（其中等级是一等的为分装质量优秀）；次等为分装质量不合格． b．甲款机器样本数据的频数分布统计表如下（不完整）： c．乙款机器样本数据的频数分布直方图如下： 甲款机器样本数据的频数分布表 分组 频数 频率      2 32 0 合计 50 d．两款机器样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲款机器 乙款机器 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)若用甲款机器分装，估计分装质量的合格率为多少？若乙款机器分装5万次，估计质量优秀的有多少万次？ (3)根据图表数据，你认为哪款机器分装质量较好，请说明理由． 17．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到黑球的频率会接近____________(精确到)，估计摸一次球能摸到黑球的概率是_____________；袋中黑球的个数约为_________只； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在左右，则小明后来放进了____________个黑球． 18．（2023·安徽·一模）现如今，通过“微信运动“发布自己每天行走的步数，已成为一种时尚，“健身达人”小华为了了解他的微信朋友圈里大家的“建步走运动“情况，随机抽取了20名好友一天行走的步数，记录如下： 5640 6430 6320 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 6834 7325 6830 8648 8753 9450 9865 7290 7850 对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表： 组别 步数分组 频数 A 5500≤x＜6500 2 B 6500≤x＜7500 10 C 7500≤x＜8500 m D 8500≤x＜9500 2 E 9500≤x＜10500 n 请根据以上信息解答下列问题： (1)填空：m＝　 　，n＝　 　． (2)补全频数分布直方图． (3)根据以上统计结果，第二天小华随机查看一名好友行走的步数，试估计该好友的步数不低于7500步(含7500步)的概率． 19．（20-22九年级上·全国·课后作业）小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 出现的次数 （1）计算“点朝上”的频率和“点朝上”的频率． （2）小颖说：“根据实验得出，出现点朝上的机会最大”；小红说：“如果投掷次，那么出现 点朝上的次数正好是次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？ 20．（2022·安徽淮北·一模）2022北京冬残奥会是历史上第13届冬残奥会，于2022年3月4日至3月13日举行．比赛共设6个大项，即残奥高山滑雪、残奥冬季两项、残奥越野滑雪、残奥单板滑雪、残奥冰球、轮椅冰壶．小明为了解同学们是否知晓这6大项目，随机对学校的部分同学进行了一次问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”四个类别，根据调查结果，绘制出如图所示的条形统计图和扇形统计图． 请根据图表中的信息回答下列问题： (1)求本次调查的样本容量． (2)求图中a的值． (3)求图“基本了解”类别所对应的圆心角大小． (4)若某同学对项目了解类别为“非常了解”或者“比较了解”的话，则可称为“奥知达人”，现从该校随机抽查1名学生，求该学生是“奥知达人”的概率． 21．（2020·安徽·模拟预测）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩： 　4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．    根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a=_____，b=____，c=____． （2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异． 22．（21-22九年级下·安徽淮南·期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 63 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.63 0.62 0.593 a 0.601 0.599 b (1)计算：　 　；　 　； (2)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　；（精确到0.1） (3)求不透明的盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 23．（20-22八年级下·安徽·期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘,并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： (1)计算并完成表格： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率m/n 0.68 0.74 △ 0.69 0.705 △ (2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少? (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少? (4)在该转盘中,表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少?(精确到1°) 试卷第8页，共14页 试卷第7页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$