17.1 一元二次方程 （同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

17.1 一元二次方程 主讲： 沪科版八年级数学下册 第17章 一元二次方程 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 理解一元二次方程的概念.（难点） 2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点） 情景导入 分别指出下面的方程叫做什么方程？ ⑴3x+4=1； ⑵ 6x-5y=7 ⑶ 解：⑴是一元一次方程， ⑵是二元一次方程， ⑶是分式方程. 新知探究 问题1 某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t，计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番（即为 200t）． 要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 新知探究 设这个队2010～2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，那么：2010年无公害蔬菜产量为100+100x=100(1+x)(t)；2011年无公害蔬菜产量为100(1+x)+100(1+x)·x= 100(1+x)2(t)，如图. 根据题意，2011年无公害蔬菜产量为200t，得 100(1+x)2 =200 即 (1+x)2 =2 整理，得 x2 +2x-1 =0 新知探究 问题2 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的6块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 设小路的宽是xm，则横向小路面积是32x m2，纵向小路的面积是2×20xm2,两者重叠的面积是2x2m2.由于花坛的总面积是570m2.则 整理，得 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570 x2-36x＋35=0 方程x2 +2x-1 =0，x2-36x＋35=0都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. 像x2 +2x-1 =0，x2-36x＋35=0这样的方程，都是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都可以化为　 ax2+bx +c = 0(a≠0) 的一般形式（又叫做标准形式）． 其中ax2叫做二次项， a是二次项的系数； bx叫做一次项， b是一次项的系数； c叫做常数项.a，b，c是任意实数，且a≠0 ． 概念归纳 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时, bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 想一想 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 例题讲解 例题讲解 例2（课本例题） 把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化为一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项. 解： 去括号，得 3x2-3x=2x-4-4. 移项、合并同类项，得方程的一般形式 3x2-5x+8=0. 它的二次项系数是3；一次项系数是-5；常数项是8. 例3:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程. (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 例题讲解 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 概念归纳 例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2020的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 例题讲解 课堂练习 1. 判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？ 解：方程（1）中∵ 不是整式，∴ 它不是一元二次方程； 方程（2）化简整理后是7x-3=0，是一元一次方程，不是一元二次方程； 方程（3）中，未知数的最高次数为3，∴ 它不是一元 二次方程； 课堂练习 解：方程（4）中含两个未知数，即含有两个元，∴ 它不是一元二次方程； 方程（5）中，当m≠-1 时，它是关于x的一元二次方程，当m＝-1时，它不是关于x的一元二次方程； （6）是关于x的一元二次方程. 2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项： 解：（1）.二次项系数是5，一次项系数是-6，常数项是8. （2）.二次项系数是-2，一次项系数是0，常数项是. （3）.二次项系数是1，一次项系数是-1，常数项是0. （4） +（ ）x- .二次项系数是1，一次项系数是 ，常数项是- . 3. 将48张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，设这些桌子排了x行，写出排成的行数所满足的方程，并将其化为标准形式． 解：根据题意列方程得 x(x+2)=48. 标准形式为 . 4. 下面哪些数是方程的根？ -3，-2，-1，0，1，2，3. 解：-2和1是方程的根. 分层练习 知识点1 一元二次方程的定义 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是( ) C A. B. C. D. 2.[2024杭州期中] 关于的方程 是一元二次 方程，则 满足( ) C A. B. C. D.为任意实数 知识点2 一元二次方程的一般形式 3.方程 转化为一元二次方程的一般形式是 ___________. 4.将方程改写成 的形式，则 ，， 的值分别为( ) C A.2，4，7 B.2，4， C.2，，7 D.2，， 5.[2024徐州月考] 关于的一元二次方程 化 为一般形式后不含一次项，则 的值为( ) C A.0 B. C.3 D. 知识点3 一元二次方程的解（根） 6.已知一元二次方程有一个根是，则 的 值是( ) B A.2 B. C.1 D. 7.[2024南充] 已知是方程 的一个根，则 的值为____. 知识点4 列一元二次方程 8.[2024眉山] 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该 村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩 产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水 稻亩产量年平均增长率为 ，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 9. “指尖上的非遗——细纹刻纸”，片 纸可缩世界景，一刀能刻古今情.在一 幅长，宽 的细纹刻纸的四 周外围镶嵌宽度相同的边框，制成的 一幅长方形挂图，如图所示.如果要使挂图的面积是 ，设边框的宽度为 ，则列出的方程为________ ____________________. 易错点 忽视二次项系数不为零而致错 10.若关于的一元二次方程 的一 个根是，则 的值为( ) A A.2 B. C.2或 D. 【点拨】 关于的一元二次方程 的一个根是 ， 且，解得 . 本题容易忽视一元二次方程二次项系数不为0的约束条件. 11.把一元二次方程 化成一般 形式. 【解】 ， ， ， ， 一元二次方程 的一般形式 是 . 12.设,,分别是关于 的一元二次方程的二次项系数、一次 项系数、常数项，且, ,写出该一 元二次方程. 【解】设，， ，则 ，解得， ， . 方程为 . 13.关于的方程 . （1）当 为何值时，方程为一元二次方程； 【解】由关于的方程 为一元 二次方程，得解得 . 当时，关于的方程 为一元二次方程. （2）当 为何值时，方程为一元一次方程. 由关于的方程 为一元一次方 程，得 或或 ， 或或 ， 当或或时，关于 的方程 为一元一次方程. 14.已知 . （1）化简 ； 【解】 . （2）若是方程的一个根，求 的值. 是方程 的一个根， ，即 . . 15. 阅读下列材料： 问题：已知方程 ，求一个一元二次方程，使它 的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以 . 把代入已知方程，得 ． 化简，得 ， 故所求方程为 . 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用材料中提供的“换根法”求方程（要求：把所求方程化为 一般形式）. （1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它 的根分别是已知方程根的相反数，若所求方程的根为 ，则 所求方程为_______________________. 【解】 （2）已知关于的一元二次方程 有 两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分 别是已知方程根的倒数． 设所求方程的根为，则 ， 所以 . 把代入方程 ， 得,去分母得 . 若,则 为一元一次方程，不合题意， 所以 . 故所求方程为 . 习题 1．根据下列问题中的条件，列出关于 x 的方程，并将其化为标准形式． （1）一个长方形的长比宽多 2，面积是 120，求这个长方形的长 x； 解：由题意得 x (x – 2) = 120， 化为标准形式为 x2 – 2x – 120 = 0． （2）一个直角三角形的两条直角边之和为 7，它的面积为 6，求这个三角形的其中一条直角边长 x； 解：由题意得 x (7 – x) = 6， 化为标准形式为 x2 – 7x + 12 = 0． （3）某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡 90 张，求这个小组的同学数 x； 解：由题意得 x (x – 1) = 90， 化为标准形式为 x2 – x – 90 = 0． （4）一个小组的同学元旦见面时，每两人都握手一次，所有人共握手 10 次，求这组同学数 x； 解：由题意得 x (x – 1) = 10， 化为标准形式为 x2 – x – 20 = 0． （5）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2∶1，在温室内，前侧内墙保留 3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留 1 m 宽的通道，要使蔬菜种植区域的面积为 288 m2，求矩形温室的长 x； 解：由题意得 (x – 4)( x – 2) = 288， 化为标准形式为 x2 – 8x – 560 = 0． 2．将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项： （1）4x2 = 3x； （2）(x – 1)2 – 9 = 0； 解：（1）4x2 – 3x = 0，二次项系数是 4，一次项系数是 – 3，常数项是 0． （2）x2 – 2x – 8 = 0，二次项系数是1，一次项系数是 – 2，常数项是 – 8． （3）x (x + 2) = 3 (x + 2)； （4）(x + 1)2 – 2 (x + 1) = 0． 解：（3）x2 – x – 6 = 0，二次项系数是 1，一次项系数是 –1， 常数项是 –6. （4）x2 – 1 = 0，二次项系数是 1，一次项系数是 0， 常数项是 –1. 3．已知关于 x 的方程 x2 – (2m + 1)x – (2m – 1) = 0 的一个根为 1，求 m 的值. 解：将 x = 1 代入原方程， 得 1 – (2m + 1) – (2m – 1) = 0， 解得 m = ． 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 根 使方程左右两边相等的未知数的值. 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$