二次函数实际问题中的应用辽宁省中考新题型寒假集训题专项练习2024-2025学年北师大版九年级数学下册

二次函数实际问题中的应用辽宁省中考新题型寒假集训题专项练习2024-2025学年北师大版九下 一、单选题 1．一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当秒时，乒乓球所经过的路程为（   ） A．1.5米 B．米 C．米 D．米 2．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（   ） A．m B．2m C．m D．1m 二、填空题 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．已知点，若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 4．如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．则的最大值是 平方米． 5．如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，这些钢索中最短的一根长8.1米，那么这些钢索中最长的一根长 米． 6．建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 7．如图是抛物线形拱桥，以顶点建立平面直角坐标系满足，此时拱顶离水面，若再下降时，水面宽度增加 ． 8．如图1，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图2，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部的宽度为米，高度为米，，长米，则离地面的垂直高度为 米． 9．如图，小亮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线路径运动．实心球到达最高点时，与小亮的水平距离是，高度是．若实心球的落地点为，则 ． 三、解答题 10．已知二次函数的最大值为4，且抛物线过点，点是轴上的动点，抛物线与轴交点为，顶点为． (1)求该二次函数的解析式、及顶点的坐标： (2)求的最大值； (3)当取最大值时，对应的点的坐标是__________； (4)设是轴上的动点．若线段与函数的图象只有一个公共点，直接写出的取值范围． 11．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． (1)设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） (2)设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ (3)临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 12．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度（单位： m）满足关系式，其中（s）是物体运动的时间，（）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． (1)小球被发射后_________s时离地面的高度最大（用含的式子表示）； (2)若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度； (3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同，小明说“这两次间隔的时间为2 s”．已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 13．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元．经调查发现，每天的销售量（个）与每个商品的售价（元）之间满足一次函数关系，其部分数据如表所示： 每个商品的售价（元） … 30 40 50 … 每天的销售量（个） … 100 80 60 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设商场每天获得的总利润为（元），求与之间的函数关系式； (3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大?最大利润是多少? 14．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图甲），一件商品的成本（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图乙）． 根据图象提供的信息解答下面问题： (1)一件商品在6月份出售时的利润是多少元？（利润售价成本） (2)求出图（乙）中表示的一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式； (3)请求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式．若该公司能在一个月内售出此种商品6万件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元？ 15．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若使商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ (2)若想获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？最大利润为多少元？ 16．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个矩形的最大面积是多少？ 17．为了促进大蒜产业发展，某村成立了大蒜产业合作社．今年大蒜丰收，为了取得较高利润，该合作社对本地市场进行调查．调查发现：当售价为2.4万元/吨时，每天可售出13吨，若每吨每涨0.2万元，每天的销量将减少1吨；据合作社测算，每吨平均投入种植等成本1万元．为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价不低于2.4万元/吨，不高于4.5万元/吨．设大蒜的批发价为（万元/吨），每天获得的利润为（万元），请解答下列问题： (1)用含的代数式表示每天大蒜的销售量为_____（吨），并求出每天获得的利润（万元）与批发价（万元/吨）之间的函数关系式：_______． (2)若该村每天批发大蒜要盈利15万元，求大蒜的批发价应定为多少万元/吨? (3)当大蒜的批发价定为多少万元时，每天所获的利润最大，并求出最大利润． 18．初二一班同学到实践基地参加综合实践活动．基地讲解员：“同学们看到的大棚的横截面顶部为抛物线，大棚的一端固定在离地面高1m的墙体处，另一端固定在离地面高2m的墙体处．”该班同学对横截面建立如图所示平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度与其离墙体的水平距离之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为4m． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)某同学发现一树苗，树顶刚好触碰到大棚顶部（如图），通过测量她发现该树苗与墙体之间的水平距离为0.5米，请求出该树苗的高度． 19．市民广场雕塑安装喷水装置从顶端点处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为，下面的表中记录了关于x，y的五组数据： 1 2 3 4 5 3 (1)求雕塑高； (2)求水柱喷水的半径． 20．“立定跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系（起跳点为原点，地面所在直线为轴，起跳点所在的竖直方向为轴），从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为．已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为． 21．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 22．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元，该网店每月销售这种裤子获得的利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，该网店每月销售这种裤子获得的利润最大？最大利润是多少？ 23．小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． (1)求该抛物线的解析式； (2)在距离喷水头水平距离为4米的位置处放置一个障碍物，试问当障碍物的高度小于多少米时，水流能越过该障碍物． 24．如图，某农户要建一个矩形菜地，菜地的一边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长为，设菜地边的长为，菜地面积为． (1)求出y与x的函数关系式； (2)当x为多少米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是多少？ 25．我市首衡城是华中地区最大的农副产品集散地和批发市场．某品牌水果经销商计划在2024年中秋节期间开展“阳光玫瑰”葡萄的促销活动，经过调查统计发现，在首衡城批发“阳光玫瑰”葡萄的最低价格为每斤10元，若按每斤20元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售． (1)若降价4元，则每天的销售利润是_____元； (2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰”葡萄每天盈利630元，那么每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价应降价多少元？（其它成本忽略不计） (3)当售价降价多少元时，该水果商每天销售“阳光玫瑰”葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽为，水位上升就达到警戒线，这时水面宽米． (1)建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)若洪水到来时，水位以每时的速度上升，从警戒线开始，再持续多久就达到拱桥顶？ 27．图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 28．某商场购进一批单价为元的商品，在商场试销发现：每天销售量y(件) 与销售单价 x(元/件)之间满足如图所示的函数关系： (1)求y 与 x 之间的函数关系式； (2)写出每天的利润 w 与销售单价x 之间的函数关系式；售价定为多少时，才能使每天的利润 w 最大？每天的最大利润是多少？ 29．随着时代的进步，我国交通出行结构发生根本性变化．汽车出行成为交通常态．某数学兴趣小组观察校门口的汽车发现，很多车部贴上了保持车距的贴纸．小组成员产生了一个困惑——“保持怎样的车距才能保障道路安全?”为解决这一困惑．小组成员分上开展活动： 成员小金查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度与刹车距离的关系如下表．（刹车距离：从发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离．） 某型号汽车行驶速度x（m/s）与刹车距离y（m）的关系 行驶速度（） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（） 0 3.25 9 17.25 28 41.25 57 (1)任务1： 小金认为该型号汽车的行驶速度（）与刹车距离（）之间存在函数关系，请你协助小金画出函数图像，并直接写出该函数解析式． (2)任务2： 成员小芳发现小区门口路段限速．请你帮小芳计算，如果该型号汽车以最高限速行驶，至少保持多少车距才能保障道路安全? (3)任务3： 实际驾驶过程中，驾驶员难以预估与前车的距离，且难以实时计算不同行驶速度对应的安全距离．是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案?小组成员带着困惑与陈老师进行交流，陈老师分享了他保持车距常用的方案“2秒定律”——跟车行驶时设定一个参照物，前车超越参照物后，后车如果在两秒内到达该参照物，说明与前车的距离不足，反之距离充足．你认为陈老师常用的“2秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶（）?如果适用，说明理由；如果不适用，请求出“2秒定律”的适用范围． 30．如图1，在中，，，．点P从点A出发，以2的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以1的速度沿线段运动，当点Q到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围（面积不取0）； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：_______； (3)若与x的函数图象与直线有一个交点，则n的取值范围是________． 31．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 32．如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形花圃，墙长为6米，其中边大于或等于墙长，中间用篱笆隔开．设的长为x米，的长为y米，矩形花圃的面积为s米．    (1)直接写出y关于x，s关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围； (2)当的长为多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 33．羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8                竖直高度y/m (1)根据上述数据，求y与x之间的函数关系式； (2)已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网？请说明理由． 34．如图，儿童公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． (1)求水线最高点与点之间的水平距离； (2)当喷水口在处时， 求水线的最大高度； 身高的小安要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 35． “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距为反应距离与制动距离之和，即，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度 有关，如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 任务一 （1）①利用材料二判断最适合描述、分别与的函数关系的是 　　； ．、 ．、 ．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与的函数关系式． 任务二（2）在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 任务三（3）某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到） 36．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为40m的栅栏围住．设边长为m，绿化带的面积为． (1)如图1，若墙长为19m． ①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； ②当绿化带的面积为时，求的值； ③填空：当满足条件的绿化带的面积最大时，此时_________（m），绿化带的最大面积为_________（）； (2)填空：如图2，若墙长为24m，当满足条件的绿化带的面积最大时，此时_________（m），绿化带的最大面积为_________（）． 37．某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，矩形的面积与边长函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整． (1)列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为，面积为，则有_____； (2)上述函数表达式中，自变量的取值范围是_____； (3)列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 写出_____； (4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象．请你根据以上过程猜想矩形面积的最大值应是_____．用所学的函数知识验证你的猜想． 38．中国的基建速度震惊世界，大大地激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．    (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则 ． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． 39．某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）． (1)若． ①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为，该球在运行过程中离地面的最大高度为_______m； ②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为，求此球落地点离发球机的水平距离； (2)球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）是最佳接球区间，若，求出当a满足什么条件时，距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 40．如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，小红在枯水期测得河道宽度米，河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为7.5米，以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题：    (1)求河道轮廓的函数表达式，并求此时最大水深为多少米？ (2)在丰水期，测得水面到的距离为米，求此时水面截痕的长； (3)在（2）的条件下，小红乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小红抛球的力道和角度不改变，要想让小球飞到河岸上（即点右侧），求小红的小船至少要向右划行多少米？ 41．图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙． (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 42．足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.4米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 43．“动若脱兔”是一个成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．兔子跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)兔子一次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式； (2)若兔子起跳点2米处有一个高度为米的木桩，请问兔子是否能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演？ (1)求该运动员腾空路线的解析式； (2)求该运动员落地时距离起跳点的水平距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 答案 C A 1．C 【分析】先由待定系数法求出函数关系式，再代入即可求出结论． 本题考查的是二次函数的应用，确定函数表达式是本题解题的关键． 【详解】解：设， 将代入上式得： 解得：， 则函数的表达式为：， 当时，， 即乒乓球所经过的路程是米． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：，把代入，求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：如图，以水池中心为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入抛物线解析式得：， ∴， ∴， ∴当时，， 即：水管的长为m； 故选A． 3． 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数与线段交点问题，读懂题意，数形结合，作出图形，由线段与抛物线只有一个公共点即可得到，从而得到答案，根据题意作出图形、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， ， 作，如图所示： 在上， 令， ∵， ∴或， 点，，若线段与抛物线只有一个公共点， ， 故答案为：． 4． 【分析】本题考查了二次函数的应用．长可表示为，于是得到，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ，且， 自变量的取值范围为：， ， ∵， ∴当，S有最大值，最大值为， 答：长10米时，矩形茶园的面积有最大值为平方米． 故答案为：． 5．22.5 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，由题意，抛物线过点，求出函数解析式，求出顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，如图： 由题意，得：抛物线过点， 设抛物线的解析式为：，把代入，得： ， 解得：， ∴， ∴当时，有最大值为22.5， ∴这些钢索中最长的一根长为22.5米； 故答案为：22.5 6． 【分析】本题考查了二次函数的应用，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用待定系数法可得抛物线解析式为，把代入可得，据此即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴当水面上升米后水面宽度为米， 故答案为：． 7．/ 【分析】本题考查了实际问题与二次函数．根据二次函数的图象分别求得当或时，x的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当时，， 此时水面宽度为， 再下降，即当时，， 此时水面宽度为， 水面宽度增加：， 故答案为：． 8． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用抛物线形的图形建立直角坐标系，并求解解析式是解题的关键．以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，设抛物线的解析式为，将代入求出解析式，再利用，长米，将代入求出即可． 【详解】解：如图，以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， ∵的宽度为米，高度为米， ∴，，， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得：， 所以抛物线的解析式为， ∵，长米， ∴将代入， 得：， 即离地面的垂直高度为米， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意设出二次函数的解析式为，待定系数法求出函数解析式，再令，求出自变量的值，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意设二次函数的解析式为，点， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得：或（舍去）； ∴； 故答案为：． 10．(1)； (2) (3) (4)或或 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质，二次函数动点问题等． （1）先利用对称轴公式得出，即顶点坐标为，再将其代入二次函数得到，再将代入得到，继而得到本题答案； （2）根据三角形三边关系，可知当三点共线时有最大值； （3）求出直线与轴交点坐标即为答案； （4）先整理二次函数，再分三种情况讨论，①当线段过点时，②线段与有一个公共点时，联立方程组，令，③当线段过点时，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的最大值为4，且抛物线过点， ∴对称轴为：， ∴将代入得：，即：， ∴将代入得：，即：， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式：， ∴顶点的坐标：； （2）解：∵抛物线与轴交点为，二次函数解析式为， ∴令，即， ∴， ∵， ∴由构成三角形三边关系可知：， ∴当三点共线时有最大值，； （3）解：∵，， ∴设直线解析式为 ，解得：， ∴， ∵点是轴上的动点， ∴将代入， ∴； （4）解：∵， ∴， ， 设线段所在直线解析式为：， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴①当线段过点时，即点与点重合时，线段与函数有一个公共点，此时， 当线段过点时，即点与重合时，，此时线段与函数有两个公共点， ∴当时，线段与函数有一个公共点； ②线段与有一个公共点时，则 ，整理得：， ∴，解得：， ∴当时，线段与也有一个公共点； ③当线段过点时，即点与重合时，线段只与有一个公共点，此时， ∴当时，线段与也有一个公共点， 综上所述：的取值范围是或或． 11．(1) (2)销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元 (3)0.8 【分析】（1）根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可； （2）根据，销量×每件利润=总利润，列式，配方，利用二次函数最值求法得出答案； （3）根据“该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套”得到x的范围，根据题意列式，找到当时，w有最大值，即可求解． 本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质，是解题关键． 【详解】（1）解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套， ∴日销售量为，即， 故答案为：， （2）解：由题意，∵日销售量为， ∴销售该文具的日利润为， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为2250． 答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元． （3）解：由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套， ∴， ∴， 又此时日销量利润， ∴对称轴为直线． ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴， ∴． 12．(1) (2) (3)小明的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用： （1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）把，代入求解即可； （3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断. 【详解】（1）解： ， ∴当时，h最大， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 当时，， ∴， ∴（负值舍去）； （3）解：小明的说法正确．    理由如下： 由（2），得， 当时，， 解方程，得，， ∴两次间隔的时间为， ∴小明的说法正确． 13．(1) (2) (3)当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式； （3）将所得函数解析式配方成顶点式即可得最值情况． 【详解】（1）解：由题意可设与之间的函数关系式为， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得： ， 即w与x之间的函数表达式是； （3）解：，， ∵， ∴其图象开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为1800， 答：当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元． 14．(1)4 (2)（，t为整数） (3)W，获利220000元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的列出函数解析式是解题的关键： （1）用6月份的售价减去成本计算即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）利用利润等于售价减成本，列出函数解析式，根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由图可知，这件商品六月份出售时的利润（元）； （2）由题意和图可知，抛物线的顶点坐标为， 设Q与t之间的关系式为， 把代入，得：， 解得a， ∴（，t为整数）； （3）由题意得，，设， ∵点满足此式， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴在5月份时出售这件商品的最低利润为元， 一个月内售出60000件这种商品的最少利润（元）， 答：一个月内售出6万件这种商品的最少利润是220000元． 15．(1)若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元 (2)每件衬衫降价15元时，最大利润是元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求二次函数的解析式及二次函数的应用等知识点， (1)设每件衬衫应降价元，根据每件的利润×销售量=平均每天的盈利，列方程求解即可； (2)根据：总利润=单件利润×销售量列出函数关系式，配方成二次函数顶点式可得函数最值情况，进而即可得解； 熟练掌握根据题意准确抓住相等关系式并加以应用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元，则依题意，得： , 整理，得，, 解得：, 答：若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元； （2）解：设每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多为, 则, ， ， 时，商场赢利最多，此时（元）， 答：每件衬衫降价15元时，最大利润是元. 16． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的性质，由矩形的性质可得，，进而由得到，，设，则，再由得到，得到，即可得，最后根据二次函数的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是． 17．(1)， (2)定为4万元/吨 (3)当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元 【分析】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，读懂题意，准确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据“批发价为万元/吨时，每天可售出吨，每吨每涨万元，每天的销量将减少1吨” 用含x的代数式表示每天大蒜的销售量即可，再根据销售量乘以每吨的利润列出每天获得的利润y (万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式可得，解方程后根据即可得到答案； （3）由题意得到，根据和二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：每天大蒜的销售量为（吨）， 故答案为： 根据题意得， ∴每天获得的利润y(万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：根据题意可得， 解得． ∵， ∴， 答：若该村每天批发大蒜要盈利15万元，大蒜的批发价应定为4万元/吨； （3）解：， ∵，即抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值， 最大值为， ∴当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元． 18．(1) (2)该树苗的高度为1米 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数的解析式． （1）将分别代入建立方程组，解方程组即可得到答案； （2）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得点A的坐标为，点B的坐标为， 把分别代入， 得， 解得 该抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意得，把代入， 得， 答：树苗的高度为1米． 19．(1)雕塑为 (2)水柱喷水的半径为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设水柱抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）依据同意，结合（1）所求解析式，由当时，，可得或，进一步计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意，设水柱抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴水柱抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴． ∴雕塑为； （2）解：由题意，结合（1）， ∴令时，， ∴或(舍去)， ∴， ∴， ∴水柱喷水的半径为． 20．(1) (2)该运动员落地时距离起跳点的水平距离为． 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与轴的交点问题． （1）由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，得，将时，，代入其中，利用待定系数法即可求解； （2）令，求出的值，即可得解． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设该运动员腾空路线的解析式为， 当时，，代入得， 解得， ∴函数关系式为； （2）解：令， 即， 解得，， ∴该运动员落地时距离起跳点的水平距离为． 21．(1) (2)①；② 【分析】（1）将，代入，得，计算求解即可； （2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可； ②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得过点，， 将，代入，得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）①解：设， 将，代入，得， 解得， ∴； ②解：由题意得 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键． 22．(1)； (2)当销售单价降为元时，每月获得最大利润为元． 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据销售单价每降元，则每月可多销售条，求得每月的销售量，再每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每条裤子的售价为x元，则每月的销售量：， 由题意得：； （2）解：∵， ，抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 当销售单价降为元时，每月获得最大利润为元． 23．(1) (2)1米 【分析】本题考查抛物线的应用．掌握用待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象性质，是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把代入抛物线解析式，求出y值，即得障碍物小于的高度． 【详解】（1）解：由题意，抛物线顶点为， ∴可设该抛物线的表达式为． 将点代入， 得， 解得， 故该抛物线的表达式为； （2）解：当时， ． 故当障碍物的高度小于1米时，水流能越过该障碍物． 24．(1) (2)当x为米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）根据矩形的面积公式建立二次函数的解析式即可； （2）根据二次函数的解析式结合可得，再根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：， ∵墙长度等于， ∴， 解得， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当x为米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是． 25．(1)600 (2)3元 (3)当每斤降价2元时，水果商每天销售该葡萄获得的利润最大，最大利润是640元 【分析】（1）根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低4元，则可增加40斤，再根据每斤利润销量可得解； （2）设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价元，根据每天盈利630元列方程，解出x的值即可求解； （3）设水果商每天获得的利润为元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得． 本题考查了二次函数的实际应用问题，一元二次方程的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，根据等量关系列方程及二次函数，利用二次函数的图象及性质求解是解题的关键． 【详解】（1）（元）， ∴若降价4元，则每天的销售利润是600元； （2）设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价元， 根据题意得： 整理得：， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降3元； （3）设水果商每天获得的利润为元， 根据题意得：， ， 当时，， 答：当每斤降价2元时，水果商每天销售该葡萄获得的利润最大，最大利润是640元． 26．(1)图见解析； (2)5小时 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系，设所求抛物线的解析式为：，把，则代入解方程组即可； （2）由（1）可求得点坐标，进而可得拱桥顶到正常水位的距离，进而求出时间． 【详解】（1）解：如图所示，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系， 设所求抛物线的解析式为：， 由，可设， 由，水位上升就达到警戒线， 则， 把、的坐标分别代入得： ， 解得：， ； （2）， 拱桥顶到的距离为， 小时， 所以再持续小时到达拱桥顶． 27．(1)①；②不能 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）①根据题意，设石块运行的函数关系式为，将代入解析式，待定系数求得； ②将代入，得出，将代入，得出，即可求解． （2）根据抛物线过原点，可得，将分别代入求得的值，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为， 将代入，得，解得． 所以抛物线的解析式为． ②石块不能飞跃防御墙． 理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙． （2）解：∵过点 ∴ ∴ ∴ 依题意分别代入， 即或 解得： 或 ∴． 28．(1) (2)售价定为元时，才能使每天的利润 w 最大，最大为元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用二次函数解决利润问题，利用利润每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式是解题的关键． （1）先利用待定系数法求一次函数解析式； （2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润w，然后根据二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）设y 与 x 之间的函数关系式为， 则由图象可知，当时，， 当时，， ∴， 解得， ∴． （2）已知每件的利润为， 由（1）可知，销售量， ∴， ， 其中， ∴当时，为最大值， ∴售价定为元时，才能使每天的利润 w 最大，最大为元． 29．(1)见解析， (2)至少保持米车距才能保障道路安全 (3)不适用，“2秒定律”的适用范围为（或） 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）按照描点、连线的步骤画出函数图像，结合表格中数据确定该函数解析式即可； （2）首先确定，故当时，可有，即可确定答案； （3）由图像可知，当图像位于图像下方时，意味着与前车距离充足，即适用于“2秒定律”；当图像位于图像上方时，意味着与前车距离不足，即不适用“2秒定律”，联立与并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：描点、连线，如图所示， 设该函数解析式为， 将点代入， 可得，解得， ∴函数解析式为； （2）， 当时，， ∴如果以最高限速60km/h行驶，至少保持米车距才能保障道路安全； （3）不适用 由图像可知，当图像位于图像下方时， 意味着与前车距离充足，即适用于“2秒定律”； 当图像位于图像上方时， 意味着与前车距离不足，即不适用“2秒定律”， 联立与可得：， 整理可得， 解得，， 由图像可知，当时，图像位于图像下方， ∵， ∴“2秒定律”的适用范围为（或）． 30．(1) (2)作图见解析，性质：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合． （1）分两种情况分别计算即可； （2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质； （3）平移，找到与的函数图象有两个交点的范围即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时，， 此时，， ∴； 当点在线段上时，， 此时，， ∴， ∴； 综上所述， （2）解：函数图象如图所示， 性质：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一）， 故答案为：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一）； （3）解：平移，如图所示： 当过时，没有交点，此时函数解析式为，， 当过时，有两个交点，，则， ∴此时函数解析式为， 若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 当过时，有1个交点，则，则， 综上：若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是或， 故答案为：或． 31．(1) (2)米 【分析】（1）根据题意，得到，，得到抛物线的对称轴为设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程即可求抛物线的解析式． （2）根据题意，得点E与的距离为米，当时，求自变量的值，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，矩形的性质，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． ∴米，顶点P的纵坐标为6， ∴，， ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． （2）解：根据题意，得点E与的距离为米， 当时， ， 解得，（舍去）， 故点E与隧道左壁之间的距离为米． 32．(1)，， (2)当的长为9米时，矩形花圃的面积最大，且最大面积为平方米 【分析】（1）由题意知，，，可求，由，可求，进而可得，由题意知，，整理作答即可； （2）由题意知，，然后求最值即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 整理得，， ∵， ∴，则， 由题意知，， ∴，，； （2）解：由题意知，． ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 答：当的长为9米时，矩形花圃的面积最大，且最大面积为平方米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，一元一次不等式的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，一元一次不等式的应用，二次函数的最值是解题的关键． 33．(1) (2)羽毛球能越过球网，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意找出顶点坐标，再利用待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）由表格可知抛物线的顶点为，即得出抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值即可； （2）令时，求出y的值，再与羽毛球场的球网高度比较即可． 【详解】（1）解：由表格得：抛物线的顶点为，且过点， ∴， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：羽毛球能越过球网， 理由：当时，， ∴羽毛球能越过球网． 34．(1)； (2)水线的最大高度为；为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足，理由见解析． 【分析】（）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，易得喷水口在处的抛物线经过点和，那么可得抛物线的对称轴，结合点的坐标可得水线最高点与点之间的水平距离； （）根据抛物线上下平移，对称轴不变以及经过点和点求得当喷水口在处时的水线所在的抛物线的解析式，水线的最大高度即为对称轴与抛物线交点的纵坐标到轴的距离； 取，代入得到的抛物线解析式，求得对应的的值，即可判断出为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足的条件； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，解一元二次方程，建立平面直角坐标系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ∵， ∴点坐标为和，点坐标为， ∴所得抛物线的对称轴为：直线， ∵， ∴点的坐标为， ∴水线最高点与点之间的水平距离为； （2）解：设喷水口在处时，喷出的抛物线形水线的解析式为， ∵经过点，，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标为，故水线的最大高度为； 答：水线的最大高度为； 当时，， ∴，， ∴为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足． 35．任务一：①B，②，，任务二：超速，理由见解析，任务三：应限速 【分析】本题考查一次函数与二次函数求解，判断是否超速可根据最高速度对应的制动距离与实际制动距离进行比较是解题的关键． （1）①根据材料二分析可选； ②，将，代入可求，，将，代入可求； （2），代入与作比即可； （3）如果想所有类型的车停车距离均小于，则制动距离应取相同速度下的最高值，故刹车系数取，列式得，计算即可． 【详解】（1）①根据材料二发现，随着速度的增大，成比例随着增长，大致呈线性变化， 越来越大，且非线性变化，故B选项合适； ②设，将，代入得：， 解得：， ， 设，将，代入得， 解得：， 故； （2）超速，理由： ， 当时， ， 超速； （3）要求所有类型汽车急刹车停车距离至多，取最大刹车系数为， ， 列式得， 解得， 故应限速． 36．(1)①，其中；②16③19，199.5 (2)20，200 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）①根据矩形的面积公式，列出函数解析式，根据墙长求出的取值范围即可； ②令，进行求解即可； ③利用二次函数求最值即可； （2）根据墙长为24m，得到，利用二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意，， ∴， ∵墙长为19m， ∴； ②∵， 当时，， 解得：， ∵不合题意； ∴； ③∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为：； 故答案为：19，199.5； （2）由题意，得：， ∴当时，有最大值为：200； 故答案为：20，200 37．(1) (2) (3) (4)图见解析，当时，y有最大值，最大值为4． 【分析】本题考查二次函数的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型． （1）由题意，长方形的另一边长为，可得函数解析式； （2）上述函数表达式中，表示长方形的边长，则，由题知，，则，可得自变量的取值范围是； （3）把代入，可得； （4）根据图表可画出函数图象．化成顶点，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的一边长为，面积为，则另一边长为， ∴． 故答案为：； （2）解：由题意得，，则， ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：； （3）解：时，， 故答案为：； （4）解：函数图象如图所示： 由图象可知矩形面积的最大值应是4． ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为4． 38．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确求出抛物线解析式是解题关键． （1）根据桥拱与抛物线形状相同，可直接确定a的值； （2）由题意可确定点B的横坐标为，从而可求出y的值，即得出的长． 【详解】（1）解：∵桥拱与抛物线的形状相同， ∴； （2）解：由（1）可知函数解析式为． ∵水面的宽度为， ∴点B的横坐标为． 将代入，得：， ∴桥拱顶点到水面的高度． 39．(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数图像及性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，读懂题意． （1）①根据二次函数函数性质及题干可知本题答案； ②根据题意得出，求出该球运行路线的解析式为，令，再求解即可． （2）利用题意得，结合二次函数顶点坐标公式求得，再根据题意将点坐标代入即可得到本题答案． 【详解】（1）解：①∵抛物线的顶点在直线上移动，， ∴抛物线的顶点在直线上移动， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为， ∴此时抛物线与轴交点为， ∴根据对称性：， ∴该球在运行过程中离地面的最大高度为； ②∵发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为， ∴由①知：，即：， ∴解得：， ∴该球运行路线的解析式为：， ∴令，则，解得：或（舍）， ∴此球落地点离发球机的水平距离为； （2）解：若， ， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴，整理得：， ， ∵篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）是最佳接球区间， 又∵距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下， ∴将代入中得：，解得：， ∴将代入中得：，解得：， ∴当时，距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 40．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题题意，建立函数模型是解题的关键． （1）利用抛物线对称性求出点坐标，在用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）由题意可以推出点和点的纵坐标为，代入值求出和的横坐标，从而求出长度； （3）先求出船在中间时小球的运动轨迹抛物线解析式，再设向右划行米，然后将点代入即可求出值． 【详解】（1）解：如解图，过点作轴于点，由二次函数图象的对称性可得． ， ， ∵， ． 设二次函数表达式为， 将代入得 ， 解得， 二次函数表达式为． ， 二次函数图象的顶点纵坐标为，此时最大水深为（米）．    （2）解： 丰水期时水面到的距离是3.6米， 令， 即， 解得，， ， 此时水面截痕的长为16米． （3）解：由题易知小球的轨迹是抛物线，如解图，设的中点为，小球轨迹的顶点是点， ． 由（2）知， 小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过，两点， ，两点关于对称轴对称， ． 设小球的轨迹抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ． 设向右划行米，小球落到点，此时抛物线表达式为， 将代入可得， 解得（舍去）或． 答：小红的小船至少要向右划行米．    41．(1) (2)不能 (3)米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时y的值，再与的长进行比较即可得到结论； （3）先求出直线的解析式为．作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，设点，则点的坐标为，求出的最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点代入到中得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：在中，当时，， ∵，， 石块不能飞越防御墙． （3）解：由题意可知点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线的解析式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点， 设点，则点的坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为， 在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 42．(1) (2)球能射进球门 【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求出函数解析式是解题的的关键． （1）求出抛物线的顶点坐标为，设抛物线，把点代入求得，即可得到抛物线的函数表达式； （2）求出抛物线与y轴交点的纵坐标，与球门高度比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：∵（米）， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线，把点代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴球能射进球门． 43．(1) (2)兔子能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先求出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）求出时，的值，再根据比较大小即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，即为， ∴可设该抛物线的解析式为， 把代入得∶， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， 因为， 所以兔子能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$